Получим

уравнение

экс-

тремали:

x = t / 2 + c1 ,

x = t2 / 4

+ c t + c

2

.

Исполь-

1

зуем

граничное

условие

и

условия

трансверсальности

для нахождения значения T и

уравнения допустимой

экс-

тремали:

x(0)

= с1 = 0 ,

x(T)=T 2 / 4 + c2 ,

− x(T) + x(T)+ 2x(T)=

2

= −T 2 / 4 +T + 2 T / 2 = 0,

T=8,

x(T)=82 / 4 + c2 =8 ,

c2= –8, x = t2 / 4 −8 .

ука-

Условие

Лежандра

Рис. 14

зывает на минимум.

Таким образом, на кривой

(кривая d на рис. 14)

x = t2 / 4 −8

обеспечивается минимум величиной

1 t2

t2

1

Smin = ∫

+

−8

.

4

4

dt = 21

3

0

3.4.Вариационные задачи на условный экстремум

Ввариационных задачах на условный экстремум на функцию X, помимо граничных условий, накладываются дополнительные ограничения в форме некоторых уравнений (уравнений связи) или неравенств. Такие задачи наиболее часто распространены на практике. Так в задачах синтеза систем управления такими уравнениями являются уравнения объекта управления.

Наиболее просто учитываются ограничения в форме уравнений. Здесь аналогично задачам на достижение условного экстремума функции применяется принцип неопределенных множителей Лагранжа, развитый с учетом разновидностей уравнений связи в вариационных задачах. Общий подход состоит в том, что задача на условный экстремум функционала вида (3) сводится к задаче на безусловный экстремум нового функционала

35

t1		(11)
J1(X)= ∫F1(X, X,t)dt ,
t0

причем вид функции F1 (функции Лагранжа) зависит от вида уравнений связи.

Рассмотрим основные виды таких задач.

Задача Лагранжа (задача с дифференциальными связями):

		t1
	обеспечить экстремум функционала	J (X)= ∫		при
			f0 (X, X,t)dt
		t0

граничных условиях xi (t0 )=xi 0 , xi (t1 )=xi 1 , i=1,2,...,n, причем допустимые кривые должны удовлетворять уравнениям связи

	, j=1,2,...m<n.	(12)
g j (X, X,t)= 0

Условия (12) являются независимыми и не противоречат заданным граничным условиям.

Если хотя бы одно уравнение (12) содержит производную, такая задача называется задачей Лагранжа с дифференциальными связями. В частном случае, когда уравнения (12) имеют вид gj =gj (X,t), т. е. не содержат производных, имеем задачу Лагранжа с голономными связями.

Функция Лагранжа в задаче Лагранжа вводится следующим образом:

		m		(13)
F1(X, X,t)= f0	(X, X,t)+ ∑ψ j (t)g j (X, X,t),

j=1

где ψj (t) – произвольные функции времени, выступающие здесь как аналог неопределенных множителей Лагранжа в задаче обеспечения экстремума функции.

Экстремум функционала (11) ищут на основе рассмотренной в подразд. 3.3 системы необходимых и достаточных условий, причем при поиске допустимых экстремалей здесь возникает ситуация, когда имеется n+m неизвестных функций: xi (t), i=1,2,...,n

и ψj (t), j=1,2,...,m. Для их нахождения имеются m уравнений связи, а также n уравнений Эйлера-Лагранжа, составляемых дифференцированием функции F1. Отметим, что для получения ре-

зультата функции ψj находить, вообще говоря, не требуется, и в ряде конкретных задач их удается исключить в ходе решения.

Условия трансверсальности и Лежандра также применяются к функции F1.

36

Пример	21.		Обеспечить	экстремум			функционала
5 2	−t	dt	при граничных условиях x1 (0)=0, x2 (0)=1 с
J (x1, x2 )= ∫x2 e
0
учетом уравнения связи x1 = x2 .
				2	−t		− x2 ).
Составим функцию Лагранжа: F1 = x2 e						+ ψ1(x1

Найдем частные производные и составим систему уравнений Эйлера-Лагранжа и необходимые условия трансверсальности (левый конец в задаче закреплен, правый подвижен):

∂F1

∂F1

∂F1

∂F1

−t

= 0 ,

= −ψ1 ,

= ψ1 ,

;

= 0 ,

∂x1

∂x2

= 2x2e

−ψ1

∂x1

∂x2

− ψ1 −

d

−t

)= 0 ;

∂F1

= ψ1(5)= 0 ,

dt

(2x2e

t = 5

∂x1

∂F1

= 2x2

(5)e

−5

= 0 .

∂x2

t = 5

После интегрирования ψ1 =c1 ,

−t

= c1t + c2 . Применив ус-

2x2e

ловия трансверсальности, получим c1 =0, c2 =0 и x2 = 0 . После-

довательно интегрируя последнее уравнение и уравнение связи, получим уравнения экстремали: x2 =c3 , x1 =c3 t+c4 .

С учетом граничных условий находим допустимую экстре-

маль: x1 = t , x2 =1 .

Составим матрицу (7) и проверим выполнение условия Лежандра:

F.. =		0	0−t				, ∆1 =∆2 =0.
xx		0	2e

Вывод о характере экстремума сделать не удается. Тем не менее, с учетом неотрицательности интегранта значение функционала, доставляемое найденной допустимой экстремалью J=0, очевидно, является минимумом.

Таким образом, на кривой X = (t;1) обеспечивается минимум

величиной Smi n =0.

Изопериметрическая задача (задача с интегральными связя-

		t1
	ми): обеспечить экстремум функционала	J (X)= ∫
			f0 (X, X,t)dt
		t0

37

при граничных условиях xi (t0 )=xi 0 , xi (t1 )=xi 1 , i=1,2,...,n, причем допустимые кривые должны удовлетворять уравнениям связи в форме интегральных уравнений:

t1		.
			j=1,2,...k.	(14)
∫G j		X, X,t dt = wj ,
t0

Отметим, что в отличие от задачи Лагранжа, количество уравнений связи здесь не ограничено.

Функция F1 вводится в данной задаче непосредственно в соответствии с принципом неопределенных множителей Лагранжа:

		k		(15)
F1(X, X,t)= f0	(X, X,t)+ ∑λ jG j (X, X,t),

j=1

где λj – произвольные постоянные коэффициенты.

Пример 22. Обеспечить экстремум функционала J (x)= 1∫x2dt

0

при граничных условиях x(0)=0, x(1)=1 с учетом уравнения свя-

1

зи ∫xdt = 0 .

0

Составим функцию Лагранжа: F1 = x2 +λ1x .

Найдем частные производные и составим уравнение Эйлера (концы в задаче закреплены, условия трансверсальности не требуются):

		∂F1	= λ1 ,	∂F1	= 2x; λ1		−2x = 0 .
		∂x		∂x
						получим:		x = λt / 2 + c1 ,
Интегрированием			уравнения
x = λt2 / 4 + c t + c	2	.
1

Уравнения экстремали в изопериметрических задачах содержат дополнительные константы – множители Лагранжа. Количество таких констант соответствует количеству уравнений связи, которые и используются вместе с граничными условиями или условиями трансверсальности для нахождения коэффициентов уравнения допустимой экстремали.

Применим граничные условия:

x(0)=c2 =0, x(1)=λ/4+c1 =1, λ=4–4c1 .

Подставим последнее выражение в уравнение экстремали: x=t2 -c1 t2 +c1 t, а результат – в уравнение связи:

38

1	(t2	−c t2				3	− c1t	3	+ c1t	2		1 =	1 − c1	+ c1 = 0 , c1 = –2,
∫			+c t)dt = t
		1	1		3		3		2			0	3 3	2
0

λ=12.

Врезультате уравнение допустимой экстремали: x = 3t2 − 2t .

Проверим выполнение условия Лежандра: ∂2 F1 = 2 > 0 .

∂x∂x

Таким образом, на кривой				обеспечивается мини-
			x = 3t2 − 2t
1 2	dt =	1	2
мум величиной Smin = ∫x		∫	(6t − 2) dt = 4 .
0		0

Если в задаче одновременно присутствуют уравнения связи

(12) и (14), функция F1		вводится в форме
			m		k
F1(X, X,t)= f0	(X, X,t)+ ∑ψ j (t)g j (X, X,t)+ ∑λ jG j (X, X,t).
			j=1		j=1

Для нахождения экстремума функционала к функции F1 применяются условия (5) ... (10) с учетом размерности задачи и полноты граничных условий.

Пример 23. Обеспечить экстремум функционала

5

J (x1, x2 )= ∫x22e−tdt при граничном условии x2 (0)= –2 с учетом

0

1

уравнений связи x1 = x2 , ∫x1dt =1.

0

Составим функцию Лагранжа: F1 = x22e−t +ψ1(x1 − x2 )+λ1x1 . Найдем частные производные и составим систему уравнений Эйлера-Лагранжа и необходимые условия трансверсальности (ле-

вый конец в задаче частично закреплен, правый подвижен):

∂F1

= λ1

,

∂F1

= −ψ1 ,

∂F1

= ψ1 ,

∂F1

−t

;

∂x1

∂x2

= 2x2e

∂x1

∂x2

λ1

= 0 , − ψ1

−

d

−t

)= 0

;

− ψ1

dt

(2x2e

∂F1

t

= 0

= ψ1(0)= 0

,

∂F1

t =1

= ψ1(1)

= 0 ,

∂x1

∂x1

39

	∂F1		= 2x2 (1)e	−1	=	0 .
	∂x2	t =1
							−t		λ t2
После интегрирования ψ1 =λ1 t+c1 ,				2x2e				=		+c1t +c2 .
									2

Применив условия трансверсальности, получим c1 =0, λ1 =0,

c2 =0 и x2 = 0 .

Последовательно интегрируя последнее уравнение и уравнение связи, составим уравнения экстремали: x2 =c3 , x1 =c3 t+c4 .

С учетом граничных условий находим допустимую экстре-

маль: x1 = 2 − 2t , x2 = −2 .

Аналогично примеру 21 можно сделать окончательный вывод: на кривой X = (2 − 2t; − 2) обеспечивается минимум величиной

Smi n =0.

Задача Майера (задача управления конечным состоянием): найти векторную функцию X(t)=(x1 (t),x2 (t),…,xn (t)), удовле-

			j=1,2,...m<n и
творяющую уравнениям связи g j (X, X,t)= 0 ,
граничным	условиям xi (t0 )=xi 0	(i=1,2,...,n), xi (t1 )=xi 1
(i=2,3,...,n),	значение первой составляющей которой при t=t1

максимально (минимально). Отметим, что начальные условия могут быть заданы полностью или частично. Примеры такой задачи приведены во введении (примеры 3,4).

Задача Майера сводится к задаче Лагранжа, например, пред-

ставлением	x1	t1	и	далее	принимается
		(t1 )= ∫x1dt
		t0
t1				принцип	Лагранжа в
J (X)= ∫x1dt → max (min), применяется
t0

форме (13), составляются уравнения Эйлера-Лагранжа, условия трансверсальности и т. д. Вернемся к примеру 3.

Пример 3 (формализация задачи Майера и переход к задаче Лагранжа). Введем переменные состояния, образующие вектор-

ную функцию X(t)=(x1 (t),x2 (t),x3 (t),x4 (t)): x1 =h, x2 =v, x3 =m, x4 =u. Уравнения связи примут вид:

x1 = x2 ,

40

	x2 =	cx4	− g ,
		x3
	x3 = −x4 .
Заданы	граничные условия: x1 (0)=0,			x2 (0)=0, x3 (0)=m0 ,
x1 (t1 )=H,	t0 =0; значение t1 , а также остальные граничные усло-
вия не заданы. Требуется обеспечить x2 (t1 )→ min .
Вводя критерий оптимальности в форме				J (X)	t1	,
					= ∫x2dt → min
					t0

получаем задачу Лагранжа.

Задача Больца: найти векторную функцию X(t)=(x1 (t),x2 (t),…,xn (t)), удовлетворяющую уравнениям связи

	,	j=1,2,...m<n, и граничным условиям
g j (X, X,t)= 0

ϕl (t0 , X(t0 ),t1, X(t1 ))= 0 , l=1,2,...,k, которая доставляет экстре-

мум функционалу J (X)= t∫1 f0 (X, X,t)dt + Ψ(t0 , X(t0 ),t1, X(t1 )). От-

t0

метим, что в частных случаях граничные условия могут иметь вид, рассмотренный в предыдущих задачах.

Для перехода к задаче Лагранжа здесь вводится дополнительная составляющая вектора X

x	(t)= ϕl (t0 , X(t0 ),t1, X(t1 )).	(16)
n+1	t1 −t0

Независимость функции (16) от времени t далее учитывается в форме дополнительного уравнения связи xn+1 = 0 . С учетом (16)

оптимизируемый функционал приводится к стандартному виду

	t1			t1
	J (X)= ∫		(t1	− t0 )= ∫[f0		]dt ,
		f0 (X, X,t)dt + xn+1			(X, X,t)+ xn+1
	t0			t0
	а на основе	(16) вводится дополнительное			граничное условие

	xn + 1 (t0 )-xn + 1 (t1 )=0.
	Пример 24. Определить характеристический полином САУ,
		T0	2	2		2
	для которой функционал	J (x)= ∫(a0 x			)dt +αx		(T0 )→ min .
				+ a1x
		0

Заданы ненулевое значение x(0)=x0 , положительные a0, a1, α, конечное T0.

41

Обозначим исходную переменную x=x1 и введем дополнитель-

ную переменную		x = αx2	(T	)/ T	. В задаче появится одно урав-
нение	связи	2	0	0		примет	вид
		x2 = 0 ,		а	функционал

J (x1, x2 )= T∫0(a0 x12 + a1x12 + x2 )dt .

0

Составим функцию Лагранжа, найдем ее производные, составим уравнения Эйлера-Лагранжа и условие трансверсальности:

F1 = a0x12 + a1x12 + x2 +ψ1x2 ;

∂F1

= 2a0 x1 ,

∂F1

=

1,

∂F1

=

2a1x1 ,

∂F1

= ψ1 ;

∂x1

∂x2

∂x1

∂x2

1 − ψ1 = 0 ,

2a0 x1

−2a1x1 = 0 ;

∂F1

= 2a1x1(T0 )= 0 .

∂x1

t =T0

Отметим, что поскольку уравнение для x1 оказалось изолированным, первое дифференциальное уравнение решать не требуется и можно ограничиться только одним условием трансверсальности. Решение последнего уравнения дает общее выражение для

выходного сигнала САУ: x=x1 =c1 ek t +c2 e- k t , где k = a0 a1 . Применим граничное условие и условие трансверсальности:

x(0)=c1 ek 0 +c2 e- k 0 =c1 +c2 =x0 ,

x(0)= c1kek0 −c2ke−k0 = c1k −c2k = 0 , c1=c2=x0/2.

Таким образом, здесь в отличие от примера 16 обе константы c1 и c2 оказываются ненулевыми, в выражении для выходного сигнала содержатся экспоненты как с отрицательным, так и с положительным показателем степени, а характеристический полином САУ должен иметь вид D(s)=(s+k)(s–k).

Отметим, что с точки зрения теории управления такая система является асимптотически неустойчивой [2]. Действительно, если работа системы рассматривается на ограниченном интервале времени, работоспособной и, как в рассмотренном примере, оптимальной может быть и неустойчивая с точки зрения классического предельного подхода система.

42