ям, будет лежать на кривой χ+ (правой ветви кривой χ* на рис. 17, в), оптимальное по быстродействию управление будет иметь вид

1; если точка (x10, x20) окажется на кривой χ− – вид 2; левее кривой

χ*, объединяющей χ+ и χ− – вид 3; правее кривой χ* – вид 4.

В первых двух случаях переключение отсутствует, в последних двух - имеет место одно переключение в момент времени, когда

фазовая траектория достигает кривой χ*. Следовательно, кривая χ* является на фазовой плоскости (рис. 17) линией переключения для

оптимального управления. Уравнение кривой χ* дает условие переключения для оптимального управления:

x1 = − x2 x2 . 2um

Теперь можно записать уравнение оптимального по быстродействию закона управления следующим образом:

u(x

)= u

x2

x2

, x

m

sign

− x

−

.

1

2

1

2um

Структурная схема оптимальной по быстродействию системы стабилизации показана на рис. 18.

Рис. 18

3.6.3. Расчетный пример

Пример 26. Объект управления описывается уравнениями

х1 = x2 ,	x2 = u .	(33)
Управление подчинено ограничению −1≤ u ≤ 2 .
Требуется определить оптимальное управление и		соответст-

55

вующую траекторию (x1, x2 ), обеспечивающие стабилизацию

объекта за минимальное время (x1 (T)=x2 (T)=0, T → min ) при начальных условиях x1 (0)= –1,5; x2 (0)=3.

С учетом результатов, полученных в п. 3.6.2, отметим, что оптимальное управление в данной задаче может принимать значения

–1 и 2, причем возможно не более одного переключения. Возмож-

ные варианты:			2) u= –1, t [0; T];
1) u=2, t [0; T];
3)	2	t [0; τ),	4)	-1		t [0; τ),
	u =	t (τ; T];		u =	2	t (τ; T].
	-1

Законы изменения переменных состояния объекта при воз-

можных значениях управляющего сигнала будут иметь вид:
u=2: x2 =2t+c1 , x1 =t2 +c1 t+c2 ,					(34)
u= –1: x2 = –t+c3 , x	= −t2 / 2 + c	t + c	4	.	(35)
1	3

Применим сначала формальный численный метод решения задачи.

Предположим, что имеет место один из простейших случаев, когда оптимальное управление постоянно. Тогда для полного решения задачи требуются три неизвестные: две константы, например, c1 и c2 , а также T по имеющимся четырем граничным условиям. Решение, очевидно, может быть найдено по любым трем из них. Признаком допустимости решения окажется его соответствие четвертому условию.

Рассмотрим первый из указанных выше вариантов управления

(u=2): x1 (0) = c1 = –1,5; x2 (0) = c2 = 3; x1 (T)=2T–1,5=0,

T=0,75. Проверим выполнение оставшегося граничного условия: x1 (T)=T2 +c1 T+c2 =0,5625–1,125+3=2,4375 ≠0. Вариант не соответствует условиям задачи.

Аналогичный вывод может быть получен и для второго варианта (u= –1).

Перейдем к более трудоемким для расчета вариантам. Для третьего варианта

2 t [0; τ),								2t + c			t [0; τ],
u = -1 t (τ;T];				x2			=	-t + c1			t [τ;T];
										3
	t2		+ c t			+ c		2		t [0; τ],
x1				1
	= -	t2	+ c		3	t	+ c		4	t [τ;T]
	2

56

требуется найти шесть неизвестных: четыре константы, а также

значения τ и T. Для их определения используем четыре граничных условия и два условия припасовывания:

x1 (0)=c2 = –1,5, x2 (0)=c1 =3, x1(T)= - T22 +c3T +c4 = 0 ,

x2 (T)=–T+с3 =0;

x1(τ+0 )= − τ22 +c3τ+с4 = x1(τ−0 )= τ2 +3τ−1,5 ,

x2 (τ+0 )= −τ + c3 = x2 (τ−0 )= 2τ + 3 .

Полученная система уравнений имеет отрицательные значения

τ. Данный вариант не дает решения задачи. Для четвертого варианта

−1 t [0; τ),						x2		−t + c1 t [0; τ],
u =	2 t (τ;T];						=		2t + c3 t [τ; T];
				2
	x1	t			+ c1t + c2				t [0; τ],
		= -	2
			2		+ c3t + c4				t [τ; T]
		t

аналогично находим:

x1 (0)=c2 =-1,5, x2 (0)=c1 =3, x1 (T)=T2 +с3 T+c4 =0, x2 (T)=2T+с3 =0;

x1 (τ+0 )= τ2 + c3τ + с4 = x1 (τ−0 )= −τ2 / 2 + 3τ −1,5 , x2 (τ+0 )= 2τ+c3 = x2 (τ−0 )= −τ+3.

Получаемое квадратное уравнение для τ дает решения: τ1=1,

τ2=5. Им соответствуют T1=0, T2=6. Допустимым, очевидно, является только второе решение. Определив на основе используемых условий с3 и c4 , получим окончательный ответ:

	−1		t [0; 5),				− t + 3	t [0; 5],
u	=	2	t (5; 6];			x2	=	t [5; 6];
							2t −12
				t	2	3t −1,5 t [0; 5],
									(36)
		x1	= -	2 +
				2	−12t + 36 t [5; 6].
			t

Достигнутое значение критерия оптимальности Tmin=6.

Более удобным и наглядным оказывается решение рассматриваемой задачи с использованием фазовой плоскости. Воспользу-

57

емся некоторыми результатами, полученными для задачи о максимальном быстродействии в п. 3.6.2.

Уравнения фазовых траекторий для рассматриваемого приме-

ра:

при u=2: x1 −c2 = 14 (x22 −c12 ); при u=–1: x1 −c2 = − 12 (x22 −c12 ).

Через начало координат проходят траектории χ+, описываемая

уравнением	x	= x2	/ 4 и χ−, описываемая уравнением
	1	2

x1 = −x22 / 2 . Вместе они образуют на фазовой плоскости кривую

χ (рис. 19, а). Оптимальный по быстродействию вариант управления определяется положением точки, соответствующей начальным условиям, относительно данной кривой.

На рис. 19 для удобства решения задачи на кривые χ+ и χ− в соответствии с (34)...(35) нанесены точки с интервалом в единицу времени.

Положение начальной точки позволяет установить, что реше-

-1 t [0; τ),

ние задачи достигается при управлении u = ( ]

2 t τ; T .

Смещение кривой χ− до совмещения с начальной точкой (рис. 19, б) позволяет графически найти значения τ=5, T=6,

x1(τ)=1, x2(τ)= –2. Далее соотношения (34)...(35) позволяют легко получить полные результаты решения задачи (36).

Рис. 19

58