1.5 Деформация растяжения и сжатия

Этот вид деформации показан на рис.1.5.

Δl = l1- l – абсолютная продольная деформация.

Δd = d – d1 – абсолютная поперечная деформация.

ε = Δl/l – относительная продольная деформация.

ε¹ = Δd/d – относительная поперечная деформация.

Очевидно, что эти две деформации взаимосвязаны. Первым эту связь установил Пуассон.

Рис. 1.5

Запишем коэффициент Пуассона.

μ = ε¹/ ε = 0,25…0,33 ≈ const.

При растяжении или сжатии внутри стержня возникают только нормальные силы, а значит только нормальные напряжения. Поэтому можем записать условие прочности.

σ = Ν/Α ≤ [σ] - условие прочности при растяжении (сжатии) (1.2)

Между напряжением и относительной продольной деформацией существует зависимость, которую первым установил Гук. Запишем закон Гука.

σ = Е*ε (1.3)

- напряжение пропорционально относительной продольной деформации. Здесь Е – модуль упругости первого рода или просто модуль упругости. Он характеризует жесткость материала, то есть его способность сопротивляться деформированию.

Для стали Е = 2*10⁵ МПа.

Закон Гука можно записать и в другом виде. Подставив вместо σ = Ν/Α, а вместо ε = Δl/l, получим

Δl = Ν*l/( Е*Α) (1.4)

Формула (1.4) позволяет определить абсолютную продольную деформацию, то есть ответить на 3-й вопрос сопромата.

Методика решения практических задач

Существует два вида расчетов: проверочный и проектировочный.

При проверочном расчете заданы все внешние силы, задан материал, известны все размеры проверяемой детали. Необходимо ответить на вопрос – выдержит деталь приложенные нагрузки или нет.

В проектировочном расчете известны нагрузки, задан или выбран материал. Необходимо подобрать оптимальные сечения детали.

Методику решения составим на конкретном примере. Кроме двух видов прочностных расчетов определим деформации стержня.

Расчетная схема показана на рис.1.6.

Дано: стержень выполнен из стали 45, имеющей σ_в = 598 МПа,

σ_Т = 363 МПа, Е = 2*10⁵ МПа; стержень нагружен тремя силами

F₁ = 1000 H, F₂ = 2000 Н, F₃ = 5000 Н; длины участков стержня

а = 100 мм, в = 150 мм, с = 200 мм; диаметр стержня 16 мм.

Стержень будет работать в неопасных условиях.

Определить:

1. выдержит стержень приложенные нагрузки ?

2. подобрать минимальные сечения по участкам стержня

3. определить деформации каждого участка и стержня в целом

При решении любой задачи у Вас перед глазами должны быть: расчетная схема; исходные данные и условие

а) б) в) г) прочности.

Рис.1.6

Запишем условие прочности

σ = Ν/Α ≤ [σ]

Всегда начинайте с определения допустимых напряжений.

В нашем случае условия работы конструкции неопасные, принимаем n = 2, тогда [σ] = σ_в/n = 598/2 = 299 МПа

Известен диаметр стержня, можем найти площадь сечения

А = π*d²/4 = 3,14*16²/4 = 201 мм²

Используя метод сечений, найдем нормальные силы на участках стержня.

В нашей расчетной схеме стержень жестко защемлен, поэтому рекомендуется правило.

Если в расчетной схеме есть жесткая заделка (защемление), то в методе сечений отбрасывают именно ее, чтобы не определять реакции в этой заделке.

N₁ = F₁ = 1000 Н; N₂ = F₁ + F₂ = 1000 + 2000 = 3000 Н;

N₃ = F₁ + F₂ – F₃ = 1000 + 2000 – 5000 = - 2000 Н.

Эпюра нормальных сил показана на рис.1.6,б.

Видим, что 1-й и 2-й участки стержня растягиваются, а 3-й участок сжимается.

Наиболее опасным является 2-й участок, поскольку в нем возникает максимальная по модулю внутренняя сила. Определим напряжения на этом участке.

σ₂ = N₂/ А = 3000/201 = 14,9 МПа

Запас прочности n = σ_в/ σ₂ = 598/14,9 = 40

Нужен Вам такой запас прочности, если Ваша конструкция работает в неопасных условиях ?

Перейдем к проектировочному расчету. Подберем оптимальные сечения стержня.

В исходных данных не известен диаметр стержня.

В условии прочности выделим площадь сечения

Α ≥ Ν/[σ]

Α₁ ≥ Ν₁/[σ] = 1000/299 = 3,34 мм²; Α₂ ≥ Ν₂/[σ] = 3000/299 = 10,03 мм²;

Α₃ ≥ Ν₃/[σ] = 2000/299 = 6,69 мм².

Определим диаметры участков стержня

d ≥ √4*А/π

d₁ ≥ √4*А1/π= √4*3,34/3,14 = 2,1мм

d₂ ≥ √4*А2/π= √4*10,03/3,14 = 3,6мм

d₃ ≥ √4*А3/π= √4*6,69/3,14 = 2,9мм

Определили минимальные диаметры, получился тонкий трехступенчатый стержень (рис.1.6,в), который выдерживает приложенные нагрузки при принятых неопасных условиях работы. Очевидно, если условия работы были бы более опасными, мы приняли бы больший запас прочности и получили большие диаметры стержня.

Определим деформации участков стержня и всего стержня. Для этого воспользуемся 2-й записью закона Гука

Δl = Ν*l/( Е*Α)

Δl_а = Ν₁*а/( Е*Α₁) = 1000*100/(2*10⁵*3,34) = 0,15 мм

Δl_в = Ν₂*в/( Е*Α₂) = 3000*150/(2*10⁵*10,03) = 0,23 мм

Δl_с = Ν₃*с/( Е*Α₃) = - 2000*200/(2*10⁵*6,69) = - 0,3 мм

Δl = Δl_а + Δl_в + Δl_с = 0,15 + 0,23 – 0,3 = 0,08 мм.

В нашем случае получили, что длина стержня почти не изменилась, поскольку растяжение на 1-м и 2-м участках компенсировалось сжатием 3-го участка. Эпюра деформаций показана на рис.1.6,г.

Если в Ваших практических задачах Вас не устроит слишком большая деформация, можете подобрать сечение, исходя из допустимой деформации. Очевидно, что повторный прочностной расчет не потребуется.

Рассмотрим еще один пример.

Предположим, что Вам необходимо сделать стеллаж. А чтобы он не упал вместе с грузом, нужно поставить подкосы. Расчетная схема показана на рис.1.7.

Исходные данные: на стеллаже находится распределенная нагрузка q = 5000 Н/м; ширина стеллажа в = 0,8 м; угол наклона подкоса α = 35^о; материал подкоса Ст 3, имеющая σ_в = 370 МПа.

Задача: подобрать площадь сечения подкоса.

Решение.

В первую очередь необходимо оценить

Рис.1.7 условия работы конструкции с точки зрения опасности.

Под этим стелажем будут ходить люди, поэтому надежность его крепления должна быть высокой. Условие работы конструкции как минимум средней опасности. Принимаем n = 5. Тогда [σ] = σ_в/n = 370/5 = 74 МПа.

Из условия прочности выразим площадь.

Α ≥ Ν/[σ]

Осталось определить Ν.

Составим уравнение моментов относительно точки О.

Q* в/2 + Ν*h = 0, где Q = q*в – результирующая распределенной нагрузки; h = в*Sinα.

Ν = - q*в/(2* Sinα) = - 5000*0,8/(2*0,57) = - 3510 Н.

Теперь находим площадь подкоса.

Α ≥ Ν/[σ] = 3510/74 = 48 мм².

Площадь сравнительно мала, проходит стальной пруток диаметром всего 8 мм.

Такой результат должен Вас насторожить. Тонкий пруток выдерживает сжатие, но может не проходить по устойчивости, то есть просто изогнется.

Вопросами устойчивости гибких стержней мы с вами займемся в конце раздела. В этой конкретной задаче еще необходимо проверить опорные элементы под настил стелажа на изгиб. Этот вид деформации тоже не оставим без внимания.

Видим, что при рассмотрении более-менее серьезной конструкции расчетами по одному виду деформации не обойтись. Необходимо владеть методиками расчета по всем видам деформаций.