1.11. Определение перемещений при изгибе по способу Верещагина

Существует несколько способов (методов) определения перемещений при изгибе: метод начальных параметров; энергетический метод; метод Мора и способ Верещагина. Графо- аналитический способ Верещагина по сути является частным случаем метода Мора при решении сравнительно простых задач, поэтому его еще называют способом Мора – Верещагина. Ввиду краткости нашего курса рассмотрим только этот способ.

Запишем формулу Верещагина

y = (1/EJ)*ω_г*М_1г, (1.14)

где y – перемещение в интересующем сечении;

E – модуль упругости;J –осевой момент инерции;

Рис.1.21

EJ – жесткость балки на изгиб;ω_г – площадь грузовой эпюры моментов;М_1г– момент, снятый с единичной эпюры под центром тяжести грузовой.

В качестве примера, определим прогиб консольной балки под действием силы, приложенной на свободном конце балки.

Построим грузовую эпюру моментов.

М(z) = - F* z. 0 ≤z≤ l.

М(0) = 0. М(l) = - F* l.

ω_г – площадь грузовой эпюры, то есть площадь полученного треугольника.

ω_г = - F* l* l/2 = - F* l²/2.

М_1г– можно получить только с единичной эпюры.

Правило построения единичной эпюры:

1. с балки убираются все внешние силы;

2. в интересующем сечении прикладывают единичную силу (безразмерную) по направлению предполагаемого перемещения;

3. строят эпюру от этой единичной силы.

Центр тяжести прямоугольного треугольника лежит на 2/3 с вершины. Из центра тяжести грузовой эпюры спускаемся на единичную эпюру и отмечаем М_1г. Из подобия треугольников можно записать

М_1г/(- 1*l) = 2/3 l/ l, отсюдаМ_1г= - 2/3 l.

Подставим полученные результаты в формулу (1.14).

y = (1/EJ)*ω_г*М_1г = (1/EJ)*( -F*l²/2)*( - 2/3 l) =F*l³/3EJ.

Расчет перемещений проводится после прочностного расчета, поэтому все необходимые данные известны. Подставив численные значения параметров в полученную формулу, Вы найдете перемещение балки в мм.

Рассмотрим еще одну задачу.

Предположим, Вы решили из круглого стержня сделать перекладину длиной 1,5 м для занятий гимнастикой. Необходимо подобрать диаметр стержня. Кроме того, Вы хотите знать, на сколько этот стержень прогнется под вашим весом.

Дано:

F = 800 Н (≈ 80кг); Сталь 20Х13 (нержавейка), имеющаяσ_в = 647 МПа;

E = 8*10⁴ МПа; l = 1,5 м; a = 0,7 м; b = 0,8 м.

Условия работы конструкции повышенной опасности (Вы сами крутитесь на перекладине), принимаем n = 5.

Соответственно

[σ] = σ_в/ n = 647/5 = 130 МПа.

Рис.1.22

Решение:

Расчетная схема показана на рис.1.22.

Определим реакции опор.

∑M_В = 0.R_А*l–F*b= 0.

R_А=F*b/l= 800*0,8/1,5 = 427 Н.

∑M_А = 0. R_В*l – F*a = 0.

R_В = F*a/l = 800*0,7/1,5 = 373 Н.

Проверка

∑F_Y= 0.R_А +R_В–F= 427 + 373 - 800 = 0.

Реакции найдены правильно.

Построим эпюру изгибающих моментов

(это и будет грузовая эпюра).

М(z₁) =R_А* z_1. 0 ≤z₁≤ a.

М(0) = 0. М(a) = R_А* a = 427*0,7 = 299 Н*м.

М(z₂) = R_А*( a + z₂) – F* z_2. 0 ≤z₂≤b.

М(0) = R_А*a= 427*0,7 = 299 Н*м.

М(b)=R_А*( a +b) – F* b = 427*1,5 – 800* 0,8 = 0.

Из условия прочности запишем

Wх ≥ Мг/[σ] = 299*10³/ 130 = 2300 мм³.

Для круглого сечения Wх = 0,1 d³, отсюда

d ≥ ³√10 Wх =³√23000 = 28,4 мм ≈ 30 мм.

Определим прогиб стержня.

Расчетная схема и единичная эпюра показаны на рис.1.22.

Воспользовавшись принципом независимости действия сил и, соответственно, независимости перемещений, запишем

y = y₁ + y₂

y₁ = (1/EJ)*ω_г1*М_1г1 = (1/EJ)* F* a²* b/(2*l)* 2*a* b /(3*l) =

= F* a³* b²/(3* EJ* l²) = 800*700³*800²/(3*8*10⁴*0,05*30⁴*1500²) = 8 мм.

y ₂ = (1/EJ)*ω_г2*М_1г2 = (1/EJ)* F* a* b²/(2*l)* 2*a* b /(3*l) = F* a²* b³/(3* EJ* l²)

= 800*700²*800³/(3*8*10⁴*0,05*30⁴*1500²) = 9 мм.

y = y₁ + y₂ = 8 + 9 = 17 мм.

При более сложных расчетных схемах эпюры моментов приходится разделять на большее количество частей или аппроксимировать треугольниками и прямоугольниками. В результате решение сводится к сумме решений, аналогичных приведенным выше.