3Линейка / Задачник-1 / Глава 3(2)
.DOC.
Осуществляя обратный ход в вычислительной схеме Гаусса, рассматриваем сначала первый столбец свободных членов, соответствующий а затем второй, полученный при В результате приходим к тому, что:
и .
Соотношения будем использовать для вычисления и проверки полученных результатов:
3.5.1. Укажите, какие из заданных множеств являются подпространствами действительных линейных пространств. Найдите один из базисов и размерность каждого из этих подпространств:
все векторы плоскости, каждый из которых параллелен либо оси , либо оси ;
все векторы плоскости, одинаково направленные с осью ;
все векторы из , сумма координат каждого из которых равна ;
все векторы из , у которых первая и последняя координаты равны между собой;
все векторы из вида , где и - действительные числа;
все симметричные матрицы порядка ;
все кососимметричные матрицы порядка (квадратная матрица называется кососимметричной, если для любых ).
3.5.2. Что представляют собой сумма и пересечение следующих подпространств и пространства всех действительных квадратных матриц порядка :
- пространство симметричных матриц (см. задачу 3.5.1 ), - пространство верхних треугольных матриц;
- пространство симметричных матриц, - пространство кососимметричных матриц (см. задачу 3.5.1 ).
3.5.3. Найдите какие- либо базисы суммы и пересечения подпространств
и арифметического векторного пространства строк :
3.5.4. Докажите, что
сумма двух линейных подпространств и тогда и только тогда будет прямой суммой, когда пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора;
сумма двух линейных подпространств и тогда и только тогда будет прямой суммой, когда
3.5.5. Докажите, что , где и ;
3.5.6. Проверьте, что линейные подпространства и , натянутые на системы векторов и соответственно, дают в прямой сумме все пространство и найдите разложение вектора по этим подпространствам.
3.5.7. Докажите, что пространство всех действительных квадратных матриц порядка является прямой суммой подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц.
3.5.8. Докажите, что для любого подпространства линейного пространства найдется дополнительное подпространство такое, что . Единственным ли образом определяется дополнительное подпространство для данного ?
3.5.9. Для подпространства
найдите два различных дополнительных подпространства в .