3Линейка / Задачник-1 / Обложка
.DOCМинистерство образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. И. Денисов, В. М. Чубич
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГЕОМЕТРИИИ И АЛГЕБРЕ
Часть 1.
Утверждено
Редакционно- издательским советом университета
в качестве учебного пособия
для студентов I курса
факультета прикладной математики и информатики
(направление 510200)
НОВОСИБИРСК
2000
УДК 512.8+514.12 (075.8)
Денисов В. И., Чубич В. М. Сборник задач по геометрии и алгебре.
Часть 1: Учеб. Пособие. - Новосибирск: Изд- во НГТУ, 2000.- с.
В первой части сборника задач содержатся задачи по следующим темам: “Комплексные числа”, “Матрицы и определители”, “Линейные пространства”, “Системы линейных уравнений”, “Евклидовы и унитарные пространства”, “Квадратичные формы”. Приводятся методические разъяснения и даются практические советы к решению задач по указанным разделам линейной алгебры.
Сборник предназначен для студентов I курса факультета прикладной математики и информатики НГТУ и может быть полезен студентам технических специальностей высших учебных заведений с повышенной математической подготовкой.
Ил. 3, библ. 12 назв.
Рецензенты:
Работа подготовлена на кафедре прикладной математики
ã Новосибирский государственный
технический университет, 2000 г.
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1.1. Комплексные числа и действия с ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 2. Матрицы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2.1. Действия с матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2.2. Определение и простейшие свойства определителей . . . . . . . . . . . . .
§ 2.3. Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа . . . . . . . . .
§ 2.4. Крамеровские системы линейных уравнений. Обратные
матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 3. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.1. Определение линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.2. Линейная зависимость векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.3. Эквивалентные системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.4. Базис и размерность линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.5. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 4. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4.1. Ранг матрицы. Однородные системы. Фундаментальная система решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4.2. Неоднородные системы. Теорема Кронекера- Капелли . . . . . . . . . . .
Глава 5. Евклидовы и унитарные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5.1. Определение евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5.2. Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации Грама- Шмидта. Ортонормированный базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5.3. Ортогональное дополнение. Ортогональные суммы
подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5.4. Унитарное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 6. Квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 6.1. Билинейные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 6.2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . .
Ответы и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие
Сборник задач обобщает многолетний опыт преподавания авторами дисциплины “Геометрия и алгебра” на факультете прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета.
Целесообразность подготовки данного сборника обусловлена необходимостью обеспечить проведение практических занятий достаточным количеством полезных и содержательных задач, стремлением помочь студентам в более глубоком и качественном усвоении основных идей и методов дисциплины.
В начале каждой главы приводятся используемые в ней определения, теоремы и формулы. Далее на многочисленных примерах с подробными решениями поясняются обсуждаемые вопросы, понятия и методы. Главу завершают задачи для решения на практических занятиях и дома.
Номер каждой задачи содержит три разделенных точками числа. Первое число указывает номер главы, второе- номер параграфа, третье- номер задачи в этом параграфе. Аналогичным образом нумеруются формулы, на которые в дальнейшем возможны ссылки.
Сборник задач состоит из двух частей. В конце каждой части помещены для удобства читателя указатель обозначений и предметный указатель.