Производные

Определение. – производная функциив.

С экономической точки зренияпроизводная объема произведенной продукции по времени есть производительность трудав момент .

С геометрической точки зрения – угловой коэффициент (тангенс угла наклона к осиОх) касательной к графику функции в точке.

–уравнение касательной к графику функции в точке.

С механической точки зрения – скорость изменения величиныв момент .

Пример.Составить уравнение касательной к графику функциипри.

Решение.1) Вычислимпри:.

2) Вычислим значение производной при:.

3) Составим уравнение касательной: или.

Таблица производных элементарных функций

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.

Правила вычисления производных

1. –числовой множитель можно вынести за знак производной.

2. –производная суммы или разности выражений и.

3. –производная произведения выражений и.

4. –производная частного выражений и.

5. –производная сложной функции (здесь ) – производная внешней

функции умножается на производную внутренней функции

(по-другому, производная функции умножается на производную ее аргумента).

Правило Лопиталя для вычисления пределов

Если илии, то

Исследование функции одной переменной на монотонность и на экстремум

Определение. Функция строго возрастающая (строго убывающая) на промежутке, если меньшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее (большее) значение функции.

Условие монотонности. (),строго() в.

Определение. –точка max (min) еслипри всехвблизи точки.

Необходимые условия экстремума. Если – точкаэкстремума (max или min) для то(– стационарная точка), илибесконечна, илине определена (– критическая точка).

Стационарные и критические точки “подозрительны” на экстремум.

Достаточные условия экстремума. Если слева (справа) от,справа (слева) от, то– точкаmax (min) функции .

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

1) Найти производную функции .

2) Найти стационарные точки функции (где производная равна нулю).

3) Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

4) Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример.Найти наибольшее и наименьшее значения функциина отрезке.

Решение.1) Производная функции.

2) Стационарные точки функции:

3) Значения в стационарных точках и на концах отрезка ,,,.

Ответ:наибольшее значениедостигается при, наименьшеепри.

Исследование функции одной переменной на выпуклость

Определение. Функция , имеющая возрастающую (убывающую) производную в промежутке, –выпуклая (вогнутая ) в этом промежутке.

Условие выпуклости. (),в промежутке.

Замечание. Если функция выпуклая (вогнутая), то и ее график является выпуклым (вогнутым).

Пример. Исследовать функцию

1. ,.

2. Функция непрерывна на (композиция элементарных функций).

3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Значит,- точка пересечения графика с осью- с осьюМетодом интервалов получим:иТо есть других пересечений графика с осьюнет.

5. Так как функция имеет единственный корень , то она не является периодической.

6. следовательно, касательная к графику в точкепараллельна осиМожно считать, что касательная к графику в точкепараллельна осиОчевидно,для любых. По условию монотонностина множестве. В силу достаточного условия точкиине являются экстремумами.

7. .значениене определено. Поэтому точкии“подозрительны” на перегиб. Методом интервалов получим:По условию выпуклостина интервалеина множествахФункция в точкахимеет перегибы.

8. Так как функция непрерывна на то она не имеет вертикальных асимптот. Проверим, есть ли наклонные асимптоты?значит,.(числитель и знаменатель выражения под знаком предела умножены на сопряженное, чтобы получить разность кубов в числителе), так как в знаменателе – сумма бесконечно больших функций одного знака. Значит,. Итак, график имеет асимптотуи при, и при.

10. Используя полученные в пунктах 1-9 сведения, построим график (рис. 1).

Пример. Исследовать функцию .

1. Функция определена и непрерывна на как многочлен. Значит, вертикальных асимптот нет.

2. Функция нечетная.

3. Функция непериодическая, так как имеет конечное число корней.

4. Функцию представим в виде Значит,Значит,- точки пересечения графика с осями координат. Методом интервалов получим:при всехпри любых

5.

6.

7.Наклонных асимптот нет.

8. Результаты исследования оформим в виде таблицы для

				монотонность	выпуклость
		+	_
–1	2	0		максимум
		_
	1,21		0		перегиб
			+

Свойства функции для могут быть получены по таблице в силу нечетности. График – на рис. 3.