6. Дополнение (уирс)

1. Определите индуктивность катушки, зная период колебаний и электрическую емкость контура (активность сопротивления не учитывать).

2. Определите индуктивность катушки, зная период колебаний, электрическую емкость и сопротивление контура.

3. Проверьте подстановкой, является ли функция 1.16 решением дифференциального уравнения 1.15.

Лабораторная работа № 2.2 Исследование электростатического поля

Цель работы: построение качественной картины электростатического поля при помощи кривых равного потенциала и силовых линий.

Оборудование: набор электродов; цифровой мультиметр; ванна с водой; выпрямитель ВС 4-12.

1. Краткая теория

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле. В данном случае речь идет об электрическом поле – поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Электрические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами, называются электростатическими.

Силовой характеристикой электростатического поля является напряженность - физическая величина, вектор, совпадающий по направлению с силой, действующей на пробный положительный заряд, внесенный в определенную точку поля, и равный по модулю отношению значения этой силы к значению пробного заряда

. (2.1)

Напряженность электростатического поля точечного заряда Q в точке, удаленной на расстояние r от заряда, создающего поле, определяется по формуле:

, (2.2)

где r – расстояние от заряда q до точки поля,

e – относительная диэлектрическая проницаемость среды,

e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением . Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженностине пересекаются.

Линии напряженности начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах (или в бесконечности) (рис.2.1).

Густота силовых линий (т.е. число линий, пересекающих единичную площадку, расположенную нормально к ним) пропорциональна напряженности электрического поля в данной точке.

Рис. 2.1

Электрическое поле, во всех точках которого напряженность поля одинакова по модулю и направлению (=const), называется однородным. В местах, где напряженность поля меньше, линии проходят реже (рис.2.2).

Рис. 2.2

Энергетической характеристикой поля является потенциал. Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечно удаленную, потенциал которой принят равным нулю.

. (2.3)

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, равен

. (2.4)

Для потенциальных полей вводится понятие разности потенциалов. Разностью потенциалов – между точками 1 и 2 называется работа, совершаемая силами поля при перемещении единичного положительного заряда по произвольному пути из точки 1 в точку 2, взятая со знаком минус.

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу (рис.2.3). Работа силы на элементарном перемещенииравна

. (2.5)

Так как dlcos=dr, то

. (2.6)

Работа при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2

(2.7)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными.

Работа по перемещению заряда q₀ из одной точки поля r₁ в другую r₂ равна:

, (2.8)

г

Рис. 2.3

депотенциал начальной точки, аконечной. Выражение (2.8) сохраняет смысл для поля, созданного любым распределением зарядов. Потенциал является функцией расстояния от данной точки до заряда.

Напряженность является силовой характеристикой поля, потенциал поля – его энергетическая характеристика. Напряженностьполя характеризует силу, действующую на единичный положительный заряд, внесенный в поле. Потенциал поля характеризует потенциальную энергию системы зарядов(заряда q,образующего поле, и единичного положительного пробного заряда q₀, внесенного в определенную точку поля). Между этими характеристиками можно установить связь, исходя из того, что работа электрических сил может быть выражена и через напряженность и через разность потенциалов.

Пусть 1 и 2 – бесконечно близкие точки, расположенные на оси Х, так что . Работа при перемещении зарядаq из точки 1 в точку 2 будет . Та же работа равна, приравнивая оба выражения получим

- dj = E_х dх; (2.9)

Аналогичное рассуждение применимо для осей Y и Z. В результате получаются соотношения:

, .

Их можно объединить в одну общую формулу:

. (2.10)

Так как есть вектор, то и выражение, стоящее в скобках, есть также вектор. Он называется градиентом скаляра j и обозначается grad j, или j ( «набла», означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором ).

Теперь формулу (2.10) можно записать:

(2.11)

Для выяснения геометрического смысла градиента потенциала введем понятие эквипотенциальных поверхностей, или поверхностей равного потенциала.

Геометрическое место точек равного потенциала называется эквипотенциальной поверхностью.

Через каждую точку поля можно провести эквипотенциальную поверхность. Следовательно, таких поверхностей может быть проведено бесконечное множество. Изображение эквипотенциальных поверхностей дает наглядное представление о том, как меняется разность потенциалов в данном поле. Там, где соседние эквипотенциальные поверхности наиболее близко подходят друг к другу, напряженность электрического поля максимальна. Наоборот, в местах, где расстояния между ними велики, будет мала и напряженность поля. Пересекаясь с плоскостью чертежа, эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные линии.

Вектор направлен противоположно вектору градиента потенциалаj. Силовые линии нормальны к эквипотенциальным поверхностям.

На рис. 2.4 показаны системы силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для точечного положительного заряда и поля диполя. Линии напряженности – сплошные линии, эквипотенциальные поверхности – штриховые линии.

Рис. 2.4

Между бесконечными равномерно заряженными плоскостями поле однородно, значит, эквипотенциальные поверхности представляют плоскости, параллельные заряженным плоскостям.

Рис. 2.5