- •Министерство образования Российской Федерации.
- •2. Многокритериальность. Особенности многокритериальных задач.
- •3. Однокритериальные задачи исследования операций.
- •4. Понятия и определения.
- •5. Математические модели в задачах оптимизации.
- •6. Постановка задачи оптимизации. Графическая интерпретация задачи оптимизации.
- •7. Классификация хтп и хтс с позиции решения задач оптимизации.
- •8.Критерии оптимальности.
- •9.Технико-экономические критерии (прибыль, норма прибыли)
- •10. Критерий оптимальности в виде алгебраической функции.
- •11.Критерий оптимальности в виде аддитивной функции частных критериев оптимальности.
- •12. Критерии оптимальности в виде линейной функции от управления.
- •13. Критерии оптимальности в виде функционала.
- •14.Линейное программирование. Постановка задачи лп.
- •Математическая формулировка задач линейного программирования.
- •15. Графическое представление задачи лп.
- •16. Симплекс - метод решений задач линейного программирования.
- •17.Метод искусственного базиса
- •18.Оптимальная организация производства продукции при ограниченных запасах сырья.
- •19. Методы оптимизации основанные на классическом математическом анализе.
- •20. Достаточные условия существования экстремума.
- •Условия Сильвестра.
- •22. Задачи на условный экстремум. Теорема Куна-Теккера.
- •23. Метод Штрафов в задачах на условный экстремум.
- •25. Метод неопределенных множителей Лагранжа как частный случай теоремы Куна-Таккера. Пример использования метода (проектирование опт. Бочки)
- •26. Мнл. Распределение потоков сырья между параллельно работающими аппаратами.
23. Метод Штрафов в задачах на условный экстремум.
Метод штрафов основывается на теореме Куна-Таккера.
Пусть заданы критерии оптимальности R(x), (1);(2);(3);(4)
Если при поиске условного экстремума нарушается какое-либо из ограничений (2), (3), то целевая функция R(x) «штрафуется», если ищем min, то к функции добавляется достаточно большое положительное число (штраф). Если ищем max, то из функции вычитается достаточно большое положительное число. Формально штрафование производится по следующему алгоритму:1.образуется функция (5)
с помощью функции p образуется новая функция (6)
αi,βk,i=; k=положительные производные числа для поиска min и отрицательные для поиска max.
Можно показать что при достаточно больших αi и βk, если достигает в какой-то точке условного экстремума, то функцияФ(x) достигает в этой точке безусловного экстремума того же типа. Благодаря этому решением задачи условной оптимизации будет глобальный оптимум функции Ф(x). Недостаток метода: при достаточно больших αi и βk функция Ф(x) приобретает гребень(овраг),идущий вдоль ограничения т.е. будет мало чувствительна к изменению вектора в направлении оврага, поэтому движение по пологому дну оврага будет медленнее. Однако существует метод позволяющий преодолеть указанный недостаток.
25. Метод неопределенных множителей Лагранжа как частный случай теоремы Куна-Таккера. Пример использования метода (проектирование опт. Бочки)
Рассмотрим случай, когда в нашей задачи ограничения типа неравенств
неактивны, т.е. точка экстремума лежит внутри области на .
Это означает, что правая часть соотношения
(4)
становится равной нулю, тогда
(5);
(6), (7)
- условие Лагранжа, необходимое условие существования экстремума при наличии ограничений лишь типа равенств. Условие Лагранжа получается как необходимое условие существования безусловного экстремума функции Лагранжа, имеющей вид
(8),
где - неопределенные множители Лагранжа.
Условие (7) как необходимое условие существования экстремума (8).
Т.о. необходимое условие существования безусловного экстремума ее дифференцированием по переменным с приравниванием результата к нулю и дополнением с системой уравнений ограничений типа равенств. Из решения находими.
Рассмотрим пример:
Необходимо определить соотношение между высотой и диаметром цилиндрического аппарата имеющего крышку и дно («бочка»), объем которой задан, но изготовление, которой идет min количество материала, т.е. поверхность минимальна.
; ;
26. Мнл. Распределение потоков сырья между параллельно работающими аппаратами.
Рассмотрим случай, когда в нашей задачи ограничения типа неравенств неактивны, т.е. точка экстремума лежит внутри области на (Рис 26.1 ). Это означает, что правая часть соотношения
(4)
становится равной нулю, тогда
(5)
(6), (7)
- условие Лагранжа, необходимое условие существования экстремума
при наличии ограничений лишь типа равенств.
Условие Лагранжа получается как необходимое условие существования безусловного экстремума функции Лагранжа, имеющей вид
, (8)
где - неопределенные множители Лагранжа.
Условие (7) как необходимое условие существования условия (8).
Т.о. необходимое условие существования безусловного экстремума ее дифференцированием по переменным с приравниванием результата к
нулю и дополнением с системой уравнений ограничений типа равенств. Из решения находим и
Рис. 26.1.
Распределение потоков сырья между параллельно работающим аппаратом.
Рассмотрим задачу распределения сырья в аппарате, неконкретизируя тип аппарата, вид критерия оптимальности. Считаем, что критерий оптимальности является суммой критериев оптимальности каждого аппарата, т.е. критерий аддитивен. (Рис. 26.2 )
(1)
(2)
Условие (2) является ограничением в форме равенства в задаче распределения потоков.
Для решения используем метод неопределенных множителей Лагранжа.
(3)
Ищем безусловный экстремум этой функции. Запишем систему необходимых условий существования функции Ф
(4)
(3) и (4) необходимые условие сущ. экстр.
(5)
Для оптимального распределения потока сырья критерий оптимальности должен быть аддитивной функцией.
Рис. 26.2.