23. Понятие устойчивости. Условие устойчивости линейных непрерывных систем автоматического управления. Влияние корней на устойчивость системы.

Устойчивым равновесным состоянием называется состояние, в которое возвращается объект после снятия внешней силы, выведшей его из этого состояния. Аналогично для движения САУ можно дать следующее определение: движение САУ называется устойчивым, если по истечению определенного времени система возвращается в это движение после снятия внешнего воздействия, выведшего данную САУ из данного движения.

Динамика процесса может быть представлена следующим уравнением

(1)

Анализ этого уравнения показал, что на устойчивость САУ влияет свободная составляющая.

Общее решение Частное решение

(2)

При САУ находится в устойчивом состоянии.

При САУ находится в неустойчивом состоянии.

В любом другом случае САУ находится на границе устойчивости.

Уравнение (2) перепишем в операторном виде:

(3)

Решения алгебраического уравнения определяют показатели экспоненты свободной составляющей. Корни могут иметь следующий вид:

1. (действительный положительный корень).

апериодически неустойчива.

2. (отрицательный действительный корень)

устойчивый апериодический процесс.

3. (комплексный корень с положительной действительной частью)

колебательное, неустойчивое.

4. (комплексный корень с отрицательной действительной частью)

колебательное, устойчивое.

5.

граница колебательной устойчивости

6.

границе апериодической устойчивости.

Для того чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения (3) были либо отрицательными, либо комплексными с отрицательной действительной частью. Уравнение (3) является характеристическим.

Передаточная функция:

Геометрическая интерпретация устойчивости.

P­_4­, P­₅, P₆ – САУ устойчивая

P­_7­, P­₁, P₂ – САУ на границе устойчивости.

P­₃, P­₄, P₈– САУ неустойчивая

Мнимая ось определяет границу устойчивости. Левая полуплоскость - область устойчивости, правая полуплоскость - область неустойчивости.

Для того чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной плоскости.

24. Алгебраические критерии устойчивости.

Критерий Гурвица.

САУ будет устойчива, если приa₀>0 все определители матрицы Гурвица будут положительны.

Критерий Гурвица удобно использовать при n<5. При n>5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса .

Критерий Рауса.

САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца матрицы Рауса.

Матрица:

Пример.

Характеристическое уравнение:

Кчастотным критериям относятся критерии: логарифмический, Михайлова, Найквиста.

25. Критерий Михайлова.

Характеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции.

Формулировка критерия Михайлова.

САУ, описываемая уравнениями первого порядка будет устойчивой, если при изменении частотыхарактеристическая кривая (годограф Михайлова) повернется против часовой стрелки на уголне обращаясь в нуль.

Другая формулировка критерия Михайлова.

САУ будет устойчивой, когда годограф Михайлова последовательно обойдет n квадрантов, где n – порядок системы.

Следствие из критерия Михайлова.

САУ будет устойчивой, если корни действительной и мнимой части перемежевываются.

Критерий Михайлова применяется для простых одноконтурных САУ.

1. Получаем передаточную функцию системы.

2. Получаем характеристическое уравнение системы.

3. В характеристическом уравнении заменяем наи выделяем действительную и мнимую часть.

4. Изменяем частоту от 0 дои строим в комплексной плоскости соответствующий годограф.

Судим об устойчивости системы по критерию Михайлова.