- •18.Предел фнп
- •19.Повторный предел
- •20.Непрерывность ФункцийНесколькихПеременных
- •Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •Замечание
- •Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума Теорема
- •Следствие
- •Достаточное условие условного экстремума
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •Выражение двойного интеграла через полярные координаты
- •61. Ависящий от параметра собственный интеграл
- •Свойства интеграла, зависящего от параметра НепрерывностьПусть функция непрерывна в области как функция двух переменных. Тогда функция непрерывна на отрезке .
- •Интегрирование под знаком интеграла
- •64) Эйлеровы интегралы.Гамма-функция, бета-функция
17.ФНП
z= f(x,y) – функция 2 пременых
Где х,у – аргументы (независ. Переменые)- z функция(завис. Перемен)
Также z= f(x,y) можно рассмотреть как функцию т. М(х.у) на плоскости Оху
Также М(х0.у0,z0) где z0= f(x0,y0) апликата в системе координат Охуz
18.Предел фнп
число А предел z= f(x,y) при х->x0, y->y0
19.Повторный предел
и пределы наоборот
Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой выколотой окрестности точки. Выберем и зафиксируем переменную. Получим функцию как бы одной переменной. Рассмотрим предел:
Будем считать, что существует. Теперь снимем фиксацию с переменнойи рассмотрим следующий предел:
Если этот предел существует, то говорят, что есть повторный предел функциив точке.
Аналогично мы можем фиксировать сначала переменную . В этом случае мы также получим повторный предел, но, вообще говоря, другой:
Это определение можно распространить и на функции нескольких переменных .
20.Непрерывность ФункцийНесколькихПеременных
z= f(x,y) назнепр в т М0, если:
Определена в т М0 или её окрестности
Имеет предел
21.Равномерная непрерывность числовых функций
Основная статья: Непрерывная функция
Числовая функция вещественного переменного равномерно непрерывна, если
Здесь важно, что выбор зависит только от величины .
Равномерная непрерывность отображений метрических пространств
Пусть даны два метрических пространства и
Отображение называется равноме́рнонепреры́вным на подмножестве если
22.частная производная. Полное приращение ФНП
z= f(x,y) пусть у неизмена а ∆х приращение х
тогда ∆хz= f(x+∆х,y) - f(x,y) частное приращение z по х( также по у)
полное приращение ∆z= f(x+∆х,y+∆у)- f(x,y)
если существует предел для частного приращения по х
- это и есть частная производная z по х
Также для у
23.производная сложной функции
Пустьz= f(x,y) где y=y(t) a x=x(t) =>z= f(x(t),y(t))
Теорема. Если z= f(x,y) дифиринциуема в т.М(х,у), а y=y(t) и x=x(t) диференциуемы по t то сложная производная вычесляетьсяпо формуле
Док-во:дадим t приращение∆t, следавательнох,у получат приращение ∆х, ∆у а z -∆z
Т.к. z= f(x,y) дифиринциуема в т.М(х,у) то
Где перейдем к пределу по ∆t ->0
=>
24.полный деференциал
гдеглавная часть приращения функции
для независимых переменных х,уа=>
При
25.Производные высших порядков
- производные 1 порядка
, ,производные 2 порядка,
Также и производные высшего порядка например 3:
№241. Полный d
Пусть полное приращение функции Δf(x,y,z) функции f(x,y,z) можно разложить на сумму двух членов:
Δf(x,y,z) = (AΔx + BΔy + CΔz) + ε,
где коэффициенты A, B и C не зависят от Δx,Δy,Δz, а ε = ε(Δx,Δy,Δz) и имеет высший порядок относительно расстояния .
Тогда первый член
AΔx + BΔy + CΔz
называется полным дифференциалом функции f(x,y,z) и обозначается df(x,y,z).
2. Инвариантность ( Примеру удалить!!!!!!!!!!!)
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции в точкеимеет вид:где— дифференциал тождественного отображения:
Пусть теперь Тогда, и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
[править]Пример
Пусть Тогда функцияможет быть записана в виде композициигде
Дифференцируя эти функции отдельно:
получаем
№26Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.