- •18.Предел фнп
- •19.Повторный предел
- •20.Непрерывность ФункцийНесколькихПеременных
- •Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •Замечание
- •Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума Теорема
- •Следствие
- •Достаточное условие условного экстремума
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •Выражение двойного интеграла через полярные координаты
- •61. Ависящий от параметра собственный интеграл
- •Свойства интеграла, зависящего от параметра НепрерывностьПусть функция непрерывна в области как функция двух переменных. Тогда функция непрерывна на отрезке .
- •Интегрирование под знаком интеграла
- •64) Эйлеровы интегралы.Гамма-функция, бета-функция
61. Ависящий от параметра собственный интеграл
Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область , на которой определена функция двух переменных.
Пусть далее, .
Функция и называется интегралом, зависящим от параметра.
Свойства интеграла, зависящего от параметра НепрерывностьПусть функция непрерывна в области как функция двух переменных. Тогда функция непрерывна на отрезке .
Доказательство
Рассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра.
.
По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть
.
Следовательно, при , что и означает непрерывность функции
Дифференцирование под знаком интеграла
Пусть теперь на области непрерывна не только функция , но и её частная производная .
Тогда , или, что то же самое,
Доказательство Данные преобразования были выполнены с использованиемтеоремы о среднем Лагранжа. Рассмотрим теперь выражение .
Используя вновь теорему Кантора, но для функции мы получаем, чтопри, что и доказывает данную теорему
Интегрирование под знаком интеграла
Если функция непрерывна в области , то
, или, что то же самое:
62. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
определение
Пусть имеется функция f(x; l), которая определена и непрерывна при x и l, таких что .
При этом , так что промежуток x Î [a; b] является конечным;
, так что промежуток l Î [a; b] может быть и бесконечным.
Если функцию f(x; l) проинтегрировать по промежутку x Î [a; b], то получим функцию,
которая называется интегралом, зависящим от параметра λ.
63. Га́уссовинтегра́л (также интеграл Э́йлера — Пуассо́на или интеграл Пуассона[1]) — интеграл от гауссовой функции:
Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции
и многомерные гауссовы интегралы
элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).
То же относится к многомерным интегралам вида
где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.
Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразование от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение
64) Эйлеровы интегралы.Гамма-функция, бета-функция
Бета-функцией Эйлера называется интеграл .
Гамма-функцией Эйлера называется интеграл
Свойства B функции:
Область определения . Доказательство. Разобъем интеграл на сумму двух интегралов точкой. Тогда привыполнено. Но интегралсходится. Аналогично доказывается для второго интеграла.
Доказательство через замену переменных.
Формулы понижения . Доказательство.
После выполнения переноса в левую часть и деления на соответствующий множитель получим требуемое равенство.
получаетсязаменой
СвойстваГфункции:
Область определения . Доказательство. Разобъем интеграл на сумму двух интегралов точкой 1. Тогда приx[0,1] выполнено. Но интегралсходится. Наимеем. Асходится.
. Доказательство. Воспользуемся теоремой о возможности дифференцирования под знаком несобственного интеграла: если есть функциято если интеграл сходится равномерно вG, то . То есть нам нужно доказать равномерную сходимость Г(α) по α. Для этого возьмем на (0,1] и [1,) мажорантные интегралыи. Они сходятся, значит исходный сходится равномерно. Тогда можно дифференцировать. Дифференцируя по α подинтегральное выражение, получим требуемое.
Формулы понижения . Доказательство
Г(1)=1, Г(n+1)=n!, Г()=, Г(n+)=(n-1)!. Доказательство.Первые два равенства доказываются непосредственно подсчетом интегралов и применением формулы понижения, последнее через формулу понижения. Третье равенство - частный случай свойства 4 при α=.
Cвязь между Гамма- и Бетта-функциями (без доказательства):
406