Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция   имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции  выглядит следующим образом:

где , а  произвольные приращения независимых переменных . Приращения   рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

№27Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции где принимает следующий вид:

Многомерный случай

Пусть даны функции где и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

В частности, матрица Якоби функции является произведением матриц Якоби функций и 

Следствия

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

• 

№28Определение

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

[править]Связанные определения

• В случае, если , этот ряд также называется рядом Макло́рена.

[править]Свойства

• Если есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .

• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции вокрестности некоторой точки.

Теорема:

• Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , 

• Пусть 

• Пусть  — произвольное положительное число,

тогда: точка при или при :

№29О: Точканазывается точкой максимума (минимума)

функции(х, у), если

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами (рис. 12.1).

Рис. 12.1

Примеры: 1)

Очевидно т. (1, 2) является т. mm, так как все остальные значения х и у дадут z > -1

2)В данном случае т.(0, 0) является т. max, так как

Т: (необходимое условие экстремума)

Если функция г =(х,у) имеет экстремум в т.то

 или обращаются в нуль, или не существуют

Пусть у =тогда— функция одной переменной. Так как при х =она имеет экстремум, то

Доказательство при х =аналогично Эти условия не являются достаточными.

№30Пусть  стационарная точка функции . Обозначим , ,  и составим дискриминант . Тогда:

если , то функция имеет в точке  экстремум, а именно максимум, при  (или ) и минимум, при  (или );

если , то в точке  экстремума нет;

если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

№31Пусть  — открытое множество и на заданы функции . Пусть .

Эти  уравнения называют уравнениями связей (терминология заимствованна из механики).

Пусть на G определена функция . Точка называется точкой условного экстремума функции относительно уравнений связи, если она является точкой обычного экстремума на множестве E (рассматриваются окрестности ).