24. Математический маятник.

Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М(маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M_t в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения mW=F+N,          (1) где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.

Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е. .                                  

25. Физический маятник. Приведенная длина. Свойство оборотности.

Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания в гравитационном поле вокруг горизонтальной оси подвеса, расположенной выше его центра тяжести.

В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

При небольших углах отклонения (рис.7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

26. Энергия колебательного движения.

27. Векторная диаграмма. Сложение параллельных колебаний одинаковой частоты.

Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов.

1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x .

2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый α .

3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью ω ₀ , получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A , а координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой .

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х ₁ и x ₂ одного направления и одинаковой частоты: , (1)

Оба колебания представим с помощью векторов A ₁ и А ₂ . Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A ₁ и А ₂ .

 Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:

Вектор A вращается с той же угловой скоростью ω ₀ , как и векторы А ₁ и А ₂ , так что сумма x ₁ и х ₂ является гармоническим колебанием с частотой (ω ₀ , амплитудой A и начальной фазой α . Используя теорему косинусов получаем, что

 

 (2)

 (3)

Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления.