сопромат2

8.10. Критерии разрушения

Теория наибольших нормальных напряжений (Первая теория прочности)

Согласно этой теории два напряженных состояния равноопасны (рис.8.20), если наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения равны. Следовательно, при равных по абсолютной величине максимальных напряжениях

произойдет разрушение при сложном и линейном напряженных состояниях

(рис.8.20), если

σ экв = σ1 = σb+ при σ1 > σ 3 или σ экв = σ 3 = σ b− ,

когда максимальным по абсолютной величине будет σ 3 ,

здесь σb+ ,σ b− -	предел прочности, соответственно, при растяжении и при
сжатии. Условие прочности запишется так:
σ экв = σ1 ≤ R+ =	σ +	σ −	,	(8.30)
	b или σ экв = σ3 ≤ R− =	b
	n	n

где R+ , R− -расчетное сопротивление соответственно при растяжении и сжатии.

Эта теория не получила подтверждения в ряде экспериментов. Так кубик при всестороннем сжатии не разрушается при весьма больших давлениях, в то

время как согласно первой теории при σ экв = σ 3 = σ b− он должен разрушаться.

Теория применяется иногда при расчете конструкций из очень хрупких материалов (бетон, камень, кирпич).

Теория наибольших относительных удлинений (Вторая теория прочности)

Согласно этой теории, два напряженных состояния равноопасны (рис.8.20), если наибольшие по абсолютной величине относительные удлинения равны.

Наибольшее относительное удлинение при трехосном напряженном состоянии согласно обобщенному закону Гука возникает в направлении первого или третьего главных напряжений. Если σ1 >| σ 3 | , то наибольшее относительное

удлинение

ε1 = E1 [σ1 − μ(σ 2 + σ 3 )] ,

апри σ1 <|σ3 |

ε3 = E1 [σ3 − μ(σ 2 + σ1 )].

При эквивалентном одноосном напряженном состоянии

41

	εmax =		σ экв	.
			Е
	Из условия равноопасности имеем
	σ экв+	= σ1 − μ(σ 2 + σ 3 )							(8.31)
	или
	σ экв−	= σ 3 − μ(σ 2 + σ1 ).							(8.32)
	Разрушение материала произойдет при достижении σ экв предела прочности.
	Условием прочности будет равенство
	σ экв+ = σ1	− μ(σ 2 + σ 3 ) ≤ R+ =			σ b+	или σ экв−	= σ3 − μ(σ1 −σ 2 ) ≤ R− =	σ −
								b	. (8.33)
					n
								n

При проверке прочности используют оба условия прочности.

Эта теория для многих материалов не получила экспериментального подтверждения.

8.11. Критерии пластичности

Теория наибольших касательных напряжений (Третья теория прочности)

Пластические деформации есть результат сдвигов в материале, причем

плоскости сдвигов практически совпадают с плоскостями действия наибольших касательных напряжений. Это обстоятельство послужило основанием для выбора

в качестве критерия пластичности величины наибольшего касательного напряжения.

Согласно этой теории напряженные состояния равноопасны, если их максимальные касательные напряжения равны.

При сложном напряженном состоянии

	τ max =	σ1 −σ3	,
		2

апри эквивалентном ему одноосном

τmax = σ2 = σ2экв ,

условие равноопасности получает вид
σ экв	= σ1	−σ 3 .	(8.34)
Условие, определяющее начало текучести материала по третьей теории
σ экв	= σ1	−σ 3 = σТ	(8.35)

называется условием пластичности Треска-Сен-Венана.

42

	Условие прочности	σТ
	σ экв = σ1 −σ 3 ≤ R =		.	(8.36)
		n

Запас прочности определяется по напряженному состоянию в опасной точке

n =	σT	.
	σ экв

Третья теория дает хорошие результаты для пластичных материалов с одинаковым пределом текучести при растяжении и сжатии, например, стали.

Недостатком этой теории является также то, что не учитывается влияния на прочность σ 2 .

Теория удельной энергии изменения формы (Четвертая теория прочности)

Согласно

этой теории напряженные состояния равноопасны, если

их

удельные потенциальные энергии изменения формы равны.

Удельная потенциальная энергия изменения формы при сложном

напряженном состоянии

uф =

1 + μ

[(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2 ].

6E

При эквивалентном ему линейном напряженном состоянии удельная

потенциальная энергия изменения формы

uф =

1+ μ

2σ экв2 .

6E

Из условия равноопасности определим σ экв :

1

σ экв

=

[(σ1 −σ 2 )2 + (σ 2 −σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 ]

.

(8.37)

2

Течение материала начнется, если

1

σ экв

=

[(σ1 −σ 2 )2 + (σ 2 −σ 3 )2 + (σ 3 −σ1)2 ]

= σТ

2

Последнее равенство называется условием пластичности Хубера-Мизеса.

Условие прочности имеет вид

1

≤ R =

σТ

σ экв

=

[(σ1 −σ 2 )2 + (σ 2 −σ 3 )2 + (σ 3 −σ1)2 ]

(8.38)

n

2

Эта

теория, как показывают опыты, дает хорошие

результаты

для

пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Энергетическая теория прочности имеет то преимущество по сравнению с третьей, что в ней учитывается влияние всех трех главных напряжений, а выражение σ экв имеет симметричный характер и не изменяется при циклической

замене индексов у главных напряжений.

43

Теория Мора (Пятая теория прочности)

При построении теории Мора используется феноменологический подход,

основанный на логическом описании явления по результатам систематизации экспериментальных исследований. Принимается упрощающая гипотеза, согласно которой влияние среднего главного напряжения σ 2 на состояние материала (и

текучести и разрушения) мало и им можно пренебречь, т.е. принять σ 2 = 0.

Если σ 2 не учитывать, то легко построить диаграмму предельных

σ3

A(σ	пр+ ,0)		σ1

C(σ1 ;σ3 )

Рис.8.21.

B(0,σпр− )

(разрушающих или приводящих к состоянию текучести) напряженных состояний

в координатах σ1* ,σ 3* (рис.8.21).
Координаты точки А(σ пр+ ,0)	этой диаграммы получают при испытании
образца на растяжение (σ пр+ = σь+	для хрупкого материала или σ пр+ = σТ+	для
пластичного), координаты точки B(0;σ пр− ) - при испытании на сжатие σ пр−		= σ b−
для хрупкого материала или σ пр−	= σТ− для пластичного), а координаты точки
C(σ1*;σ3* ) определяют при испытании на кручение, когда σ1* =|σ3* | и при этих

напряжениях наступает предельное состояние (текучесть или разрушение). Кривая, соединяющая точки A,C, B - диаграмма предельных напряженных состояний (рис.8.21).

44

	На		практике кривую	A,C, B		заменяют прямой A, B , что идет		в запас
прочности.
	Прямую A, B можно выразить уравнением
	σ1* = a + kσ3* .
	Постоянную a и угловой коэффициент k найдем по точкам A и B .
	При		σ3* = 0 , σ1* = σ пр+	= a ,	при σ3* = σ пр− , σ 1* = σ пр+ + kσ 3* = 0 .			Откуда
	σ +					σ +
k = −	пр		или с учетом знака σ пр−		k =	пр	. Таким образом
	σ пр−
						σ пр−

σ1* = σ пр+ + kσ3* .

Если учесть, что σ1* = nσ1 , а σ 3* = nσ 3 , где σ1,σ3 - действующие напряжения, а n -коэффициент запаса, то

nσ1 = σ пр+ + knσ 3 , откуда

σ +

n = пр .

σ1 − kσ 3

Из этого выражения следует, что по теории Мора

σ экв = σ1 − kσ 3 .

(8.39)

Условие прочности запишется как

σ +

σ экв = σ1 − kσ 3 ≤ R =

пр

.

(8.40)

n

σ +

Если значение постоянной

а = σ b+ и

углового коэффициента

k =

b

σ b−

получены

из

диаграммы

предельных разрушающих

напряженных состояний

(хрупкий

материал), то

условие

прочности

(8.40) применяется

для

хрупких

материалов.

Если a = σ

Т+ ,

k =

σ +

определены из

диаграммы

предельных

Т

σТ−

напряженных состояний для пластичного материала, то условие прочности (8.39) применяют для пластичных материалов.

Таким образом, теория Мора универсальна - применяется как для хрупких, так и для пластичных материалов. Принципиальным преимуществом её перед рассмотренными ранее теориями является то, что она целиком базируется на опытных данных. Всегда имеется возможность внести в эту теорию уточнения путем аппроксимации предельных напряженных состояний не прямой, а кривой,

учитывая точку C(σ1* ,σ3* ) (рис.8.21). Теория Мора учитывает способность

многих материалов по разному сопротивляться растяжению и сжатию. Недостаткам теории Мора является то, что не учитывается влияние на

прочность среднего по величине главного напряжения σ 2 . Кроме того,

возможность применения теории Мора при трехосном растяжении или трехосном сжатии требует специальной экспериментальной проверки.

45

8.12. Пример анализа плоского напряжённого состояния в точке тела
Провести анализ плоского напряженного состояния в точке
деформированного тела, заданного напряжениями на двух взаимно
перпендикулярных площадках, и оценить прочность материала в данной точке.
Заданы абсолютные значения напряжений и угла:
σ x = 10МПа, σ y			= 100МПа, τ x = 50МПа, α = 30o.
Для пластичного материала принять предел текучести					σТ	= 280МПа, для
хрупкого материала принять предел прочности на растяжение						σ bр = 150МПа,
предел прочности на сжатие σ bc = 650МПа.
Решение.
Вычертим схему элемента с указанием численных значений заданных
величин, которым присвоим знаки в соответствии с направлениями напряжений и
угла на схеме (рис.8.22).
По рис.8.22		определим угол α1 = −60o между нормалью к вертикальной
площадке (базовой) и нормалью к площадке, на которой необходимо определять
напряжения.
Определим положение главных площадок:
			σ y = 100МПа
				τ x = −50МПа
				σ x = −10МПа
				n
				α1 = −60o
			α	= 30o
				n1
				Рис.8.22
tg2αo = -		2τ x	= -	2 × (-50) = -0.91 Þ 2αo = -42.3o	Þ αo = -21.15o .
	σ x -σ y		-10 -100
Используя угол αo , покажем главные площадки (рис.8.23).
				46

Определим главные напряжения – напряжения на главных площадках:
σαo		= σ x			+ σ y + σ x					− σ y Cos2αo -τ x Sin2αo =
					2					2
= -10 +100 + -10 -100 0.74 - (-50) × (-0.673) = -29МПа.
				2					2
σ	αo	+90		o =	σ x + σ y				- σ x − σ y Cos2αo +τ x Sin2αo =
						2				2
= -10 +100 - -10 -100 0.74 + (-50) ×(-0.673) = 119МПа.
				2					2
Таким образом σ1 = σαo +90o = 119МПа , σ 2 = 0 , σ 3 = σαo											= −29МПа . Главные
напряжения показаны на рис.8.23.
Проверим правильность вычисления главных напряжений:
						σ y		= 100МПа
										σ1 = 119МПа
										τ x = −50МПа
										σ x = −10МПа
										on
										αo = −21
										no
										σ3 = −19МПа
										Рис.8.23
σ гл		=	σ x		+ σ y		±	1	(σ x -σ y )2 + 4τ x2 ,
					2			2
	σ1 = −10 +100 + 1									(-10 -100)2 + 4 × (-50)2 = 119МПа
					2				2
σ 3		= −10 +100						-	1	(-10 -100)2 + 4 ×(-50)2 = -29МПа
					2				2
										47

σ1

τ max

σ3

				Рис.8.24
Определяем максимальное касательное напряжение:
τ max =	σ1 − σ 3	=	119 - (-29)			= 74МПа .
	2			2

Площадки с максимальными касательными напряжениями находятся под углом 45о к главным площадкам, где действуют напряжения σ1 и σ 3 (рис.8.24), а

направлены они в сторону площадки с напряжением σ1 . Вычисляем главные относительные деформации в точке:

ε1

=

1

(σ1 - μ(σ 2

+ σ3 )) =

1

(119 - 0.3× (-29)) = 0.64 ×10−3

E

×105

2

ε 2

=

1

(σ 2

- μ(σ1

+ σ 3 )) =

1

(-0.3×(119 - 29)) = -0.135 ×10−3

E

×105

2

ε3

=

1

(σ 3

- μ(σ 2

+σ1 )) =

1

(-29 - 0.3×119) = -0.326 ×10−3 .

E

×105

2

Определяем относительную объёмную деформацию в точке:

εV

=

1- 2μ

(σ1 +σ 2 + σ 3 ) =

1- 2 ×0.3

(119 - 29) = 0.18×10−3 .

E

2 ×105

Вычислим

коэффициенты

запаса прочности в точке с заданным

напряженным состоянием для хрупких и пластичных материалов по различным теориям прочности.

Хрупкий материал:

по первой теории прочности

σ эквI

= σ1 =119МПа, nI =

σ bр

=

150

=1.257 ,

σ эквI

119

по второй теории прочности

σ bр

σ эквII

= σ1 - μ(σ 2 +σ 3 ) =119 - 0.3×(-29) = 128МПа , nII =

=

150

=1.171,

128

по теории прочности Мора

σ эквII

σ bр

σ эквV

= σ1 - kσ 3 =119 - 0.23× (-29) =126МПа , nV =

=

150

= 1.19,

σ эквII

126

48

		σ y = 100МПа
				σα +90o
				1
				τ x = −50МПа
				σ x = −10МПа
				n
		τα		α = −60o
			1
		β = 30o
			σα	n
			1
				1
	Рис.8.25
где k = σbр = 150		= 0.23 .
σ bc	650
Пластичный материал:
по третьей теории прочности
σ эквIII = σ1 −σ 3 = 119 − (−29) = 148МПа, nIII = σT =					280 =1.89 ,
по четвертой теории прочности				σ эквIII	148
nIV = σT =	280	= 2.
σ эквIV	136.4
Определяем напряжения на заданных углом α площадках:
σ (α) = σ x + σ y +		σ x − σ y Cos2 × (-60o ) -τ x Sin2(-60o ) =
2		2
= -10 +100	+ -10 -100 (-0.5) - (-50) × (-0.866) = 29.2МПа.
2		2
σ (α + 900 ) = σ x + σ y -			σ x − σ y	Cos2 ×(-60o ) +τ x Sin2(-60o ) =
	2		2
= -10 +100	- -10 -100		(-0.5) + (-50) × (-0.866) = 60.8МПа.
2		2
τ (α ) = σ x − σ y Sin2(-60o ) +τ xCos2(-60o ) =
2
= -10 -100 (-0.866) + (-50) × (-0.5) = 72.63МПа.
2
Напряжения на заданных площадках показаны на рис.8.25.

49

8.13. Контрольное задание № 15 Анализ плоского напряжённого состояния

Произвести анализ плоского напряжённого состояния в точке деформированного тела, заданного напряжениями на двух взаимно перпендикулярных площадках, и оценить прочность материала в данной точке.

Схема загружения элемента показана на рис. 8.26, численные данные приведены в табл.8.13.1.

						Таблица 8.13.1
Цифра	1-я	2-я	3-я	4-я	5-я		6-я
шифра	схема	σx, МПа	σy, МПа	τx, МПа	m		β °
1	1	50	30	20	0,16		25
2	2	45	40	25	0,18		20
3	3	40	50	15	0,20		30
4	4	35	60	30	0,22		27
5	5	25	65	35	0,25		30
6	6	30	70	20	0,28		35
7	7	60	75	40	0,31		37
8	8	70	80	45	0,34		40
9	9	80	85	50	0,37		45
10	10	90	90	55	0,40		50

Примечание. В таблице даны абсолютные значения напряжений и углов.

Общие данные: для пластичного материала принять предел текучести sт=260МПа, для хрупкого материала принять предел прочности на растяжение σВР =140 МПа, предел прочности на сжатие σВС =500 МПа.

Содержание и порядок выполнения:

Вычертить схему элемента с указанием численных значений заданных величин.

Присвоить, согласуясь со схемой, знаки напряжениям и углу.

Определить аналитически положение главных площадок и значения главных напряжений.

Определить аналитически напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, повёрнутых относительно исходных на угол a.

Вычислить наибольшие касательные напряжения. Определить главные деформации, приняв Е=2×105 МПа. Вычислить относительное изменение объёма. Вычислить эквивалентные напряжения:

а) для пластичного материала по третьей и четвёртой теориям прочности;

50