сопромат2

σ = σ		+ 1				= 0;	σ		= σ	−			.
			σ2 + 4τ2	; σ	2			3			σ2	+ 4τ2		(9.20)
1	2	2							2

9.4.1. Изгиб с кручением круглых валов

Силы, действующие на валы вызывают в поперечных сечениях следующие усилия: Мкр , M x , M y и Qx , Qy .

Для расчета любого вала необходимо установить опасные сечения. Поскольку касательными напряжениями от поперечных сил Qx ,Qy обычно

пренебрегают, необходимо построить эпюры изгибающих M x , M y и крутящего Мкр моментов. Для построения эпюр M x , M y заданные нагрузки предварительно

разлагаются на составляющие вдоль координатных осей.

Для круглого поперечного сечения нулевая линия всегда перпендикулярна силовой линии, поэтому в каждом сечении вала имеет место плоский изгиб под действием результирующего изгибающего момента (рис. 9.8).

Ми = М х2 + M y2 .			(9.21)

Вектор этого момента в разных сечениях имеет различное направление, в силу чего эпюра М и обычно бывает криволинейной. На практике эпюру М и

строят упрощенным способом, проводя прямую между переломами эпюры и тем

самым несколько завышая значения М и в пределах рассматриваемого участка

(рис. 9.9).

Далее строим эпюру Мкр и отыскиваем опасные сечения, сочетающие относительный экстремум М и и Мкр .

Опасными точками в опасных сечениях вала будут точки пересечения контура вала с силовой линией, в которых одновременно нормальные напряжения

от изгиба и касательные напряжения от кручения имеют наибольшие значения

(см. рис. 9.8).

σи max =		M	и	=			M x2 + M y2		(9.22)
								,
		Wи					Wи
τk max =	М кр				,				(9.23)
		Wρ

где Wи = π4r3 , Wρ = π2r3 ,Wρ = 2Wи.

61

Рис. 9.8.

Рис. 9.9.

Применяя формулы (9.20) получим:

σ1 = 2W1 и (М и + Ми2 + М кр2 );

σ2 = 0;

σ3 = 2W1 и (Ми − Ми2 + Мкр2 ).

Применяя одну из известных теорий прочности, получим следующие

расчетные формулы:
а)	по третьей теории прочности:
			М 2	+ М 2
σ расчIII = σ1 − σ3 =			и	к		≤ R ;	(9.24)
			Wи
б)	по четвертой теории прочности:
				62

					М 2	+ 0,75М 2
σ расчIV			=		и	к		£ R .	(9.25)
						Wи
Условия прочности (9.24), (9.25) могут быть записаны общей формулой:
	Мпр		£ R .						(9.26)
	Wи

где Мпр − приведенный момент, выражения для которого зависят от принятой теории прочности.

Решая неравенство (9.26) относительно W и , получаем формулу для подбора размеров прямых круглых валов при изгибе с кручением:

W ³

Мпр

.

(9.27)

и R

Очевидно, что все приведенные формулы применимы и для расчета валов кольцевого сечения.

9.5. Пример расчета стержня массивного сечения на внецентренное сжатие

				Для	короткого			чугунного
				стержня,	сжатого		внецентренно
		А		приложенной силой Р (рис. 9.10),
				определить из		условия		прочности
			Р
				величину выпускаемой нагрузки.
				Расчетное			сопротивление:
				ìна сжатие- Rc =100 МПа;
				íна растяжение- R			= 25 МПа.
				î		р
				1.	Определим			положения
				центра тяжести сечения. Ось x, как
				ось симметрии, является главной
				центральной осью. Следовательно,
				необходимо определить, где на оси
				x находится центр тяжести всего
				сечения.
				Разбиваем		сечение на три
Рис. 9.10.				простые фигуры: I – треугольник, II

63

– прямоугольник и III – полукруг. За ось отсчета координаты центра тяжести всего сечения хс выберем ось y1 .

Найдем

статический момент

относительно оси y1 всего сечения Sy1 и

площадью сечения F :

Sy1 = −F1x1 + F2 x2 + F3 x3 ,

F = -F1 + F2 + F3 ,

x1 = 0 ,

x

=

2

b =

2

×10 = 6,67 см ,

2

3

1

3

x3

= x2 +

b2

+

4r

= 6,67 +

20

+

4 × 5

=18,79 см ,

3p

3× p

1

2

1

2

F =

b h =

×10 ×10 = 50 см2 ,

2

1

2

1

1

F

= b h

= 20 × 20 = 400 см2 ,

2

2

2

F

=

pr 2

=

p × 52

= 39,3 см2 ,

3

2

2

Sy1 = -50 × 0 + 400 × 6,67 + 39,3×18,79 = 3406 см3 ,

F = -50 + 400 + 39,3 = 389,3 см2 .

Определим расстояние от оси y 1 до центра тяжести всего сечения хс :

xc

=

Sy1

=

3406

= 8,75 см.

F

389,3

Определим с помощью рис. 9.10 С i

от главной оси y до осей y1, y2 и y3 :

C1 = xc = 9,75 см ,

С2 = хс

− х2 = 8,75 − 6,67 = 2,08 см ,

С3 = х3 − хс = 78,79 − 8,75 =10,04 см .

2. Определим величину главных моментов инерции сечения:

Ix

= -IxI

IxII + IxIII = -

b h3

b h3

pr

4

10 ×103

20 × 203

p × 54

+

1 1

+

2 2

+

= -

+

+

=

48

12

8

48

12

8

=13370 см4

æ

3

ö

æ

3

ö

I

y

= -I I

+ I II

+ I III = -ç

h1b1

+ F C 2

÷ + ç

h2b2

+ F C 2

÷ + (0,11r4 + F C2 )=

y

y

y

ç

36

1 1

÷ ç

12

2 2

÷

3 3

è

ø

è

ø

æ

10×10

3

2

ö

æ

2

2

ö

4

2

ç

÷ ç 20× 20

÷

= -ç

+

50×8,75

÷ + ç

+ 400× 2,08

÷ + (0,11×5

+ 39,3

×10,04

)=

36

12

è

ø

è

ø

= 15000 см4

Вычислим квадраты радиусов инерции сечения:

64

ix2 =

I

x

=

13370

= 34,3 см2 ;

iy2 =

I y

=

15000

= 38,5 см2 .

389,3

F

389,3

F

Дальнейшее решение задачи будем проводить в главных центральных осях

xи y (рис. 9.11).

3.Определим положение нейтральной линии и координаты опасных точек

сечения.

Сила Р сжимает стержень в точке А с координатами:

xp = b22 - C2 =10 - 2,08 = 7,92 см ,

yp = h22 = 202 =10 см .

Найдем отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях координат:

	iy2		38,5		i2		34,3
аx = -		= -		= -4,86 см , аy = -	x	= -		= -3,43 см .
	xp		7,92				10
					yp

Откладываем полученные отрезки на соответствующих осях и проводим нейтральную линию.

Наиболее удаленные от нейтральной линии точками будут А и В. В точке А возникают наибольшие сжимающие напряжения, в точке В – наибольшими растягивающие:

σ А = -

P é

yp yA

xp xA

ù

Р

é

10 ×10

7,92 × 7,92ù

ê1

+

+

ú

= -

ê1

+

+

ú = -142Р ,

F

i

2

i

2

0,03893

34,3

28,5

ê

x

y

ú

ë

û

ë

û

10 × (-10)

7,92 × (-12,08)ù

σ В = -

Р é

yp yB

xp xB

ù

Р

é

=113Р .

ê1

+

+

ú

= -

ê1

+

+

ú

F

i

2

i

2

0,03893

34,3

38,5

ê

x

y

ú

ë

û

ë

û

Рис. 9.11.

65

4. Определим допускаемую нагрузку из условий прочности в опасных точках А и В:

σ

А

=

−142Р

≤ R =100 МПа ; Р =

100

= 0,704 мН ;

c

142

sВ

=113Р £ Rp = 25 МПа ; Р =

25

= 0,221мН .

113

Следовательно, допускаемая нагрузка [Р]= 0,221мН. 5. Строим эпюру нормальных напряжений (рис. 9.11):

sА = -142Р = -142 × 0,221 = -31,4 МПа < Rc =100 МПа ,

sВ =113Р =113× 0,221= 25 МПа = Rp = 25 МПа .

9.6. Пример расчета ломаного стержня на прочность при изгибе с кручением

На ломаный стержень круглого поперечного стержня, расположенный в горизонтальной плоскости, действуют вертикальные нагрузки (рис. 9.12, а).

Требуется определить диаметр сечения стержня из условия прочности, если расчётное сопротивление материала R = 210 МПа .

1. Определить изгибающий М х и крутящий М z моменты, действующие в

сечениях стержня, и построим их эпюры. Выделим на каждом из 4-х участков

стержня произвольное сечение и запишем уравнения изгибающих М х и крутящих

	М z моментов, как сумму моментов сил,					действующих со стороны свободного
	конца стержня, относительно осей x i			и zi		соответственно:
			0 £ z1 £ 2,
			(z )= −q	z2			10
	M	x1		1	= −			z2	= −5z2
				2			2
			1					1	1

M x1(0)= 0; M x1(2)= -20 кН × м

М z1 = 0

0 £ z2 £1,5,

M x2 (z2 )= -q2z2 = -10 × 2 × z2 = -20z2 ,

M x2 (0)= 0; M x2 (1,5)= -30 кН × м , М z 2 = q × 2 ×1=10 × 2 ×1 = 20 кН × м.

0 £ z3 £1,5 ,

M x3 (z3 )= Pz3 = 25z3 ,

M x3 (0)= 0; M x3 (1,5)= 37,5 кН × м , М z 2 = 0 .

66

0 £ z4 £ 5,

0 £ z4 £ 5 Mx4 (z4 )= Pz4 - q × 2(z4 -1)= 25z4 -10× 2(z4 -1)= 20 + 5z4 ,

M x4 (0)= 20кН × м; M x4 (5)= 45 кН × м ,

М z 4 = q × 2 ×1,5 +1,5Р =10 × 2 ×1,5 = 67,5 кН × м .

По полученным значениям ординат эпюр на концах каждого участка строим эпюры крутящих моментов M z (рис. 9.12, б) и изгибающих моментов M x

(рис.9.12, в). Ординаты эпюры изгибающих моментов откладываем со стороны растянутого волокна.

2. Расчетный момент по IV теории прочности определяем в опасном сечении С по формуле:

M pIV = M x2 + 0,75M z2 = 452 + 0,75 × 67,52 = 73,8 кН × м.

3. Определим диаметр круглого сечения стержня из условия прочности:

d ³ 3		32M pIV		= 3		32 × 73,8 ×10	−3		= 0,153 м.
		pR				p × 210

а

б

в

Рис. 9.12.

67

Вопросы для самопроверки

1.Что называется сложным сопротивлением?

2.Какие различают виды сложного сопротивления?

3.Что такое принцип суперпозиции?

4.В чем отличие плоского косого изгиба от пространственного?

5.Как составить условие прочности при косом изгибе для сечений с внешним прямоугольным контуром?

6.Как определить положение нейтральной линии при косом изгибе?

7.Как определить положение опасной точки сечения при косом изгибе с растяжением – сжатием?

8.Как определить напряжения в сечении стержня при внецентренном растяжении – сжатии?

9.Как построить нейтральную ось при внецентренном растяжении – сжатии

икакими свойствами она обладает?

10.Как составить условия прочности при внецентренном растяжении – сжатии стержня из разнопрочного материала?

11.Какие усилия в сечении стержня необходимо учитывать при расчете на изгиб с кручением?

12.Как определяются главные напряжения при изгибе с кручением?

13.Как составить условие прочности при изгибе с кручением стержня круглого и кольцевого поперечных сечений?

Литература: [1.] Глава 6, § 6.5 – 6.6. [3.] Глава 11, § 88 – 92, 94.

9.7. Контрольные задачи

9.7.1. Контрольно задание № 16. Расчет стержня массивного сечения на внецентренное сжатие.

Определить из условия прочности величину допускаемой нагрузки для короткого чугунного стержня, сжатого внецентренно приложенной силой Р.

Поперечное сечение стержня приведено на рис. 9.13, числовые данные указаны в табл. 9.1.

					Таблица 9.1
Цифра	1 – я	2 – я		3 – я
шифра	схема	а, см	Rc, МПа		Rp, МПа
1	1	15	100		25
2	2	10	110		27
3	3	5	120		30
4	4	6	130		32
5	5	8	140		35
6	6	12	150		37
7	7	14	160		40
8	8	16	170		42
9	9	18	80		20
10	10	20	90		23

68

1

а

а

1,5а

6

а

а/2

а/2

а

3 а

а

а

а

3 а

P

P

а

0,8а

2

7

а

Р

а

1,6а

0,6а

0,8а

а

а

4 а

P

а

а

2а

3

а

8

а

P

а

P

а

а

2 а

1,2а

3а

4

а

9

а

0,5

а

P

2 а

0,8 а

а

1,5 а

2а

а

0,5

а

P

5

10

а

3 а

2 а

0,5 а

P

P

1,5а

а

а

а

Рис. 9.13

69

Содержание и порядок решения задачи

1.Вычертить в масштабе сечение стержня с указанием численных значений его размеров.

2.Определить координату центра тяжести сечения и провести главные центральные оси сечения.

3.Вычислить величину главных моментов инерции сечения.

4.Определить положение нейтральной линии и координаты опасных точек.

5.Составить условия прочности и найти величину допускаемой нагрузки.

6.Построить эпюру нормальных напряжений.

9.7.2. Контрольное задание № 17. Расчет ломаного стержня на прочность при изгибе с кручением

Из условия прочности определить диаметр ломаного стержня круглого поперечного сечения.

Стержень расположенный в горизонтальной плоскости, жестко заделан в точке С и несет вертикальные нагрузки (рис. 9.14).

Числовые данные указаны в табл. 9.2.

					Таблица 9.2
	Цифра шифра	1 – я	2 – я	3 – я	4 – я
		схема	l , м	α	q, кН/м
	1	1	3,0	1,5	10
	2	2	2,8	1,4	12
	3	3	2,6	1,3	14
	4	4	2,5	1,2	15
	5	5	2,4	1,1	16
	6	6	2,2	0,9	18
	7	7	2,0	0,8	20
	8	8	1,8	0,7	22
	9	9	1,6	0,6	24
	10	10	1,5	0,5	25

Содержание и порядок решения задачи

1.Вычертить схему стержня с указание численных значений заданных

величин.

2.Построить (в аксонометрии) эпюры изгибающих и крутящих моментов.

3.Определить опасное сечение и найти для него расчетный момент по IV теории прочности.

4.Найти диаметр стержня из условия прочности ( R = 210 МПа ).

70