сопромат2

б) для хрупкого материала по второй и пятой теориям прочности. 9. Определить коэффициенты запаса прочности.

1	τy	σy
			σx
		β	τx
2	τy	σy
		β
			σx
			τx
3	τy	σy
	β		σx
			τx
4	τy	σy
		β	σx
			τx
5	τy	σy
			σx
	β		τx

σy	τy
6
		τx
			σx
		β
σy	τy	β
7
		τx	σx

8	σy	τy
		τx	σx
	β
9	σy	τ
		y
	β	τx	σx

10

σy τy

τx σx

β

Рис.8.26

51

Глава IX. Сложное сопротивление

9.1. Общие понятия

В предыдущих главах изучались простые виды деформации, которые характеризуются наличием лишь одного из шести внутренних усилий. Исключение составляет только общий случай плоского изгиба, при котором в поперечном сечении стержня действуют два усилия М x , Qy.

Сложным сопротивлением называется такой вид деформации стержня, при

котором в его поперечных сечениях действуют сразу несколько компонентов внутренних сил.

В общем случае действия пространственной системы нагрузок в его поперечных сечениях возникают следующие шесть компонентов внутренних сил

(рис. 9.1):

- Nz – нормальная сила, равная сумме проекций внешних сил, действующих

по одну сторону от данного сечения, на нормаль к сечению (ось z);

- Qx , Qy − составляющие поперечной силы по направлению главных осей

сечения x и y, равные сумме проекций внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения, на оси x и y соответственно;

- M x , M y − изгибающие моменты относительно осей x и y, равные сумме

моментов всех сил, действующих по одну сторону от данного сечения, относительно главных осей сечения x и y соответственно;

- M z = Mк − крутящий момент, равный сумме моментов всех сил по одну

сторону от данного сечения относительно продольной оси z.

Усилия Nz , M x , M y вызывают нормальные напряжения в поперечном сечении σ z , а усилия Qx , Qy , Mк − касательные напряжения в том же сечении.

Следовательно, в общем случае сложного сопротивления прямой стержень испытывает плоское напряженное состояние.

Различные частные случаи сложного сопротивления можно разделить на такие, при которых в опасных точках сечения напряженное состояние является линейным и такие, при которых в опасных точках сечения напряженное состояние является плоским. К первой группе относятся косой изгиб и внецентренное растяжение (сжатие). В этих случаях расчет производится без применения теорий прочности. Ко второй группе сложных сопротивлений относятся изгиб с кручением, совместное растяжение (сжатие) и кручение, а также совместное действие растяжения (сжатия), изгиба и кручения. В указанных случаях расчет на прочность производится на основе теорий прочности.

Расчеты на прочность и жесткость при сложном сопротивлении основываются на применении принципа суперпозиции (независимости действия сил), согласно которому можно суммировать напряжения и перемещения, соответствующие различным видам простейших деформаций. Использование

52

принципа суперпозиции возможно только для жестких стержней, получающих под действием нагрузок малые деформации, не изменяющие существенно их первоначальной формы. В этом случае деформации, вызванные каждой из приложенных нагрузок в отдельности, не влияют на расположение и результаты действия остальных нагрузок. Принцип суперпозиции не может быть применен, если напряжения в брусе превысили предел пропорциональности σ пц .

	Mx	x
		Qx
	My
		Mk= Mz
		z
		Nz
	Qy
	y
	Рис. 9.1.

9.2. Косой изгиб

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость

действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения. Если изгибающие нагрузки действуют в одной плоскости, проходящей через ось стержня, но не совпадающей ни с одной из главных осей, будем иметь плоский косой изгиб (рис. 9.2). Изогнутая ось стержня в этом случае представляет собой плоскую кривую, не совпадающую с плоскостью действия изгибающего момента.

В том случае, когда изгибающие нагрузки действуют в двух и более разных продольных плоскостях, получим пространственный косой изгиб (рис. 9.3). При таком изгибе направления прогибов изменяются по длине стержня, в результате чего изогнутая ось стержня представляет собой пространственную кривую.

Как в случае пространственного, так и в случае плоского косого изгиба необходимо нагрузки, действующие в произвольных продольных плоскостях, разложить на составляющие, расположенные в главных плоскостях. При этом косой изгиб сводится к двум плоским изгибам в главных плоскостях.

При косом изгибе в поперечных сечениях бруса в общем случае возникает четыре внутренних силовых фактора: Qx , Qy , M x , M y . Производя расчет на

прочность при косом изгибе, обычно пренебрегают влиянием касательных

53

напряжений, поэтому можно ограничиться построением следующих эпюр изгибающих моментов (рис.9.3)

M x − эпюра моментов в плоскости yoz М y − эпюра моментов в плоскости xoz.

Изгибающие моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение в первом квадранте поперечного сечения.

Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса при косом изгибе находим как сумму нормальных напряжений, вызванных изгибающими моментами М x и М y :

σ z =	M	x	y +	M y	x.	(9.1)
				I y
	Ix

Изгибающие моменты Mx, My и координаты точек сечения x, y подставляются в (9.1) со своими знаками.

Если величины нормальных напряжений sz откладывать в некотором масштабе, перпендикулярно плоскости поперечного сечения, то концы векторов нормальных напряжений образуют поверхность, называемую поверхностью напряжений. Из (9.1) следует, что при косом изгибе поверхность напряжений представляет собой плоскость. Линия пересечения этой плоскости с плоскостью поперечного сечения образует нейтральную ось, т.е. линию, где sz=0. Таким образом, нормальные напряжения sz изменяются пропорционально расстоянию от нейтральной оси, и опасными являются точки, находящиеся на наибольшем расстоянии от нейтральной оси (рис. 9.4).

Для сечений, имеющих две оси симметрии и выступающие углы, опасными являются те угловые точки, в которых напряжения от обоих изгибающих моментов имеют одинаковый знак. Подставляя координаты опасных точек |ymax| и |xmax| в (9.1) получим условие прочности при косом изгибе для сечений с внешним прямоугольным контуром (прямоугольник, двутавр), у которых обе главные оси

инерции являются осями симметрии:

σ max =

M

x

+

M y

£ R.

(9.2)

Wx

Wy

При решении проектировочной задачи (подбор сечения) в условии

прочности (9.2) содержаться два неизвестных момента сопротивления Wx

и Wy .

Поэтому условие прочности (9.2) удобнее представить в следующем виде:

1 é

M x

W

x

M y

ù

M пр

£ R

ê

+

ú =

(9.3)

Wx ê

Wy

ú

Wx

,

ë

û

54

где M пр =		M x		+	Wx		M y		- приведенный момент, который необходимо
				Wy
подсчитать в тех сечениях, где M x и M y достигают большой величины.

Тогда подбор сечения можно провести по формуле:

	M max
Wxтр ³	пр	.	(9.4)
	R

При расчете брусьев с несимметричными сечениями положение опасных точек может быть найдено лишь после определения положения нейтральной оси в рассматриваемом сечении. Уравнение нейтральной оси получаем из (9.1), положив σ z = 0:

M	x	y +	M y	x = 0 .	(9.5)
			I y
Ix

Это уравнение есть уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью Оx угол β :

	tgβ = -	I	x		M y	.	(9.6)
		I y M x

Линия действия результирующего изгибающего момента M в рассматриваемом сечении – силовая линия А − А составляет с осью Ох угол α :

M

tgα = M x . (9.7)

y

Сравнивая (9.6) с (9.7) получаем следующее соотношение между угловыми коэффициентами силовой линии и нейтральной оси:

I

tgβ = - I x ctgα . (9.8)

y

Уравнение (9.8) показывает, что при косом изгибе нейтральная ось не перпендикулярна силовой линии – она отклоняется от перпендикуляра к силовой линии в сторону оси наименьшей жесткости (рис. 9.5).

55

Определение перемещений

При косом изгибе для определения полного прогиба в какой-либо точке

бруса сначала необходимо одним из известных методов найти составляющие прогиба fx , fy отдельно в каждой из главных плоскостей. Затем на основе

принципа суперпозиции полный прогиб (рис. 9.5) вычисляется как геометрическая сумма этих прогибов:

	f =	fx2 + f y2 .			(9.9)
	Направление полного прогиба определяется углом ϕ :
	tgϕ =	fx			(9.10)
		f y .

9.3. Изгиб с растяжением (сжатием)

Расчеты при совместном действии изгиба и растяжения (сжатия) могут быть сведены к следующим двум основным видам:

а) расчеты на действие продольно-поперечных нагрузок; б) расчеты на внецентренное растяжение (сжатие)

При определении усилий в сечениях сжато-изогнутого, или внецентренного сжатого стержня, строго говоря, следует учитывать разницу в расстояниях точек

приложения нагрузок от рассматриваемого сечения в недеформированном и в деформированном состоянии. Однако для стержней, жесткость которых (точнее, так называемая линейная жесткость EI / l ) очень велика, эта разница, в силу малости прогиба, совершенно незначительна и определение усилий в его сечениях можно производить по недеформированному состоянию.

Все выводы данного параграфа относятся именно к таким стержням большой линейной жесткости.

9.3.1 Косой изгиб с растяжением (сжатием)

В случае совместного действия косого изгиба и растяжения или сжатия жесткого стержня в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты в двух плоскостях M x и M y , поперечные силы Qx , Qy и продольная сила Nz .

Нормальные напряжения в произвольных точках сечения:

56

Рис. 9.2.

Рис. 9.3.

					Рис. 9.4.			Рис. 9.5
σ =	N	+	M	x	y +	M y	x .	(9.11)
	F					I y
			Ix

Изгибающие моменты, продольная сила и координаты точки, где вычисляются напряжения, подставляются сюда со своими знаками.

Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил, можно считать, что напряженное состояние в опасной точке будет линейным.

Следовательно, условие прочности имеет вид:
σ max ≤ R .	(9.12)
57

Если сечение имеет две оси симметрии и выступающие углы, то опасной точкой будет одна из угловых точек. Напряжения в ней определяются:

σ max =

N

+

M

x

+

M y

£ R .

(9.13)

F

Wy

Wx

Условие прочности (9.13) можно применять, если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию.

В случае расчета брусьев с поперечным сечением произвольной формы для определения опасной точки сечения необходимо установить положение нейтральной оси. Опасные точки такого сечения будут находиться на наибольшем расстоянии от нейтральной оси.

9.3.2. Внецентренное растяжение (сжатие) стержня большой жесткости

Внецентренное растяжение (сжатие) представляет собой частный случай косого изгиба с растяжение (сжатием), при котором стержень растягивается силами, параллельными оси бруса, так, что их равнодействующая не совпадает с осью бруса, а проходит через точку Р с координатами xp , yp .

При внецентренном растяжении (сжатии) стержня силой Р в поперечных сечениях возникают три усилия, постоянных по длине стержня (рис. 9.6):

Nz = P M x = Pyp и M y = Pxp .

(9.14)

Напряжения в произвольной точке ( x, y ) любого сечения определяются по формуле (9.11), которая с учетом (9.14) принимает вид:

P

Py p y

Px p x

P é

yp y

xp x ù

s =

+

+

=

ê1

+

+

ú

(9.15)

F

I

I

F

i2

i2

x

y

ê

ú

x

y

ë

û

I y

где ix

=

I

x

,

iy

=

- главные радиусы инерции сечения.

F

F

Для определения опасной точки при сложном профиле сечения стержня необходимо найти положение нейтральной оси.

На нейтральной оси σ = 0 , поэтому прировняем нулю выражение (9.15) и

учтя, что		P		¹ 0 , получим уравнение нейтральной оси в виде:
		F
1+	yp			y +	xp	x = 0 .	(9.16)
	ix2				iy2

58

Нейтральная линия является прямой, не проходящей через начало координат. Наиболее просто определить положение нейтральной линии, вычислив отрезки αx , α y которые она отсекает на осях координат. Для этого,

полагая в формуле (9.16) сначала x=0, а затем y=0, получим:

	iy2		i2
аx = -		, аy = -	x	.	(9.17)
	xp
			yp

На основании формулы (9.17) заключаем:

1.Положение нейтральной оси не зависит от величины и знака силы Р, а зависит только от положения точки ее приложения.

2.Отрезки аx , аy отсекаемые нейтральной осью на осях координат, обратны

по знаку координатам xp , yp точки приложения силы Р. Значит, нейтральная ось

проходит через квадрант, противоположный тому, в котором приложена сила Р. 3. Чем дальше от начала координат расположена сила, тем ближе к центру

сечения проходит нейтральная ось. При xp = yp = ∞ нейтральная ось пройдет

через центр тяжести сечения. В этом случае стержень будет подвергаться изгибу. Наоборот, если xp = yp = 0 , то нейтральная ось уйдет в бесконечность

(аx = аy = ∞ ) и стержень будет подвергаться осевому сжатию.

4. Если сила приложена на одной из главных осей, то нейтральная ось перпендикулярна к этой оси. Например, при P(xp , 0) отрезок аy = ∞ и

нейтральная ось перпендикулярна оси x.

При внецентренном растяжении (сжатии), так же как при косом изгибе,

нормальные напряжения в сечении прямо пропорциональны расстоянию от нейтральной оси до рассматриваемой точки и эпюра распределения напряжений по сечению имеет вид, показанной на рис. 9.7.

Формулы для напряжений в наиболее напряженных точках а и b в растянутой и сжатой зонах сечения и условия прочности имеют вид:

P æ

xp xа

y p yа

ö

σ a =

ç1

+

+

÷

£ Rp ,

(9.18)

2

2

ç

÷

F è

iy

ix

ø

P æ

xp xb

y p yb

ö

σ

b

=

ç1

+

+

÷ £ R .

(9.19)

ç

2

2

÷

c

F è

iy

ix

ø

Координаты опасных точек a(ха , yа ), b(хb , yb ) и координаты точки приложения силы P (х p , y p ) в формулах (9.18), (9.19) следует брать со своими знаками.

59

xa

ya

yb

xb

Рис. 9.6.

Рис. 9.7.

9.4. Изгиб с кручением

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние стержня, в сечениях которого действуют как изгибающие, так и крутящие моменты.

При малых прогибах можно с достаточной точностью принимать, что

направление вектора крутящего момента совпадает с осью недеформированного стержня и, следовательно, этот вектор не имеет составляющей, перпендикулярной к продольной оси стержня. Иными словами, крутящие моменты не влияют на величину изгибающих моментов в поперечных сечениях стержня. Таким образом,

для стержней большой жесткости при изгибе вполне приемлемым является допущение, что кручение не влияет на их напряженное состояние, обусловленное изгибом. На основании аналогических соображений нетрудно убедиться, что и

влиянием изгиба на напряженное состоянии таких стержней при кручении можно пренебречь. Поэтому в любой точке сечения нормальное напряжение определяется по формуле для случая только изгиба стержня, касательное – как сумма касательных напряжений от изгиба и кручения.

Определенное таким образом напряженное состояние стержня отличается от такого же для балки при плоском изгибе только величиной и направлением касательных напряжений. Поэтому главные напряжения надо определять по тем же формулам, что и при изгибе:

60