сопромат2

σкр = а − bλ ,

Pкр = Fσкр = F(a − bλ).

Подставив

F= 2F I = 2 ×14,7 = 29,4 см2 ,

λ= 82, а = 310 МПа , b =1,14 МПа ,

получим:

Ркр = 29,4 ×10−4 × (310 -1,14 ×82)×106 = 637 ×103 Н = 637 кН ;

[кy ]= P[кр] = 637 = 1,47 . Р 434

Вопросы для самопроверки

1.Какое состояние равновесия называется устойчивым?

2.В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?

3.Какую силу называют критической?

4.По какой формуле следует определять критическую силу для стержней, гибкость которых не меньше предельной?

5.Для каких стержней применима формула Ясинского?

6.Какие параметры влияют на величину критической силы?

7.Что называется гибкостью стержня?

8.Влияет ли форма поперечного сечения стержня на величину критической

силы?

9.Как учитывается влияние способов закрепления концов стержня на значение критической силы?

10.Какой физический смысл имеет понятие приведенной длины стержня?

11.Что такое коэффициент ϕ , и от чего он зависит?

12.По какому условию проводится практический расчет сжатых стержней на устойчивость?

13.Как проводится проектировочный расчет сжатых стержней?

14.Как определяется фактический коэффициент запаса устойчивости?

Литература:

[1.] Глава 15, §15.1 – 15.5; [2.] Глава 7;

[3.] Глава XV, §115-118, 121.

81

10.4. Контрольное задание №18

Расчет на устойчивость центрально сжатого стержня

Подобрать сечение сжатого стального стержня из условия устойчивости.

Схема закрепления стержня в главных плоскостях и форма поперечного сечения приведены на рис. 9.4, численные данные приведены в таблице 10.3.

Материал стержня – сталь Ст. 3: R = 210 МПа, Е = 2 ×105 МПа .

				Таблица 10.3
	Цифры шифра	1-я	2-я	3-я
		схема	l,м	Р,кН
	1	1	4,0	600
	2	2	4,2	560
	3	3	4,5	520
	4	4	4,8	480
	5	5	5,0	460
	6	6	5,2	440
	7	7	5,4	420
	8	8	5,6	400
	9	9	5,8	580
	0	10	6,0	500

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычертить в масштабе схему стержня и его сечение с указанием главных центральных осей.

2.Подобрать размеры сечения из условия устойчивости методом последовательных приближений с помощью коэффициента продольного изгиба.

3.Определить фактический коэффициент запаса устойчивости стержня при принятых размерах.

82

1	P			6	P
			D
	1
	,
	0
					d
					50,
	l			l
	D				0,5d
					d
2	P			7	P
	d				b
	2
					5
	,				,
	0				0
					b
					2
l				l
	0,5d				0,5b
		d			b
3	P			8	P
	b
	5
	,
	0				b
	b				2 b
					2
	2
					,
					0
l				l
	b				0,2b
	2b				b
4	P			9	P
	b
	2				d
	b
					2
	1
	,
l	0			l
	0,1b				d
					1,5d
	b
5	P			10	P
					d
	d				6
					,
	2				0
l				l
	d				0,4d
	2d				d
				Рис. 10.4.
				83

Глава ХI. Техническая теория удара

11.1. Упрощающие гипотезы теории удара

Под ударной понимается нагрузка, которая за весьма малый промежуток времени достигает максимальной величины.

В основе приближенной теории удара, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов, положены следующие упрощающие гипотезы.

1. Материал упругой системы при ударе подчиняется закону Гука, а потому зависимость между ударной нагрузкой и деформациями, возникающими от нее, линейная.

Рд = С д ,

где Рд −ударная или динамическая нагрузка (воображаемая нагрузка, которая, будучи приложена статически, вызывает перемещение равное динамическому перемещению); д − динамическое перемещение (линейное или угловое); С –

коэффициент пропорциональности, физический смысл которого - величина силы, вызывающая перемещение равное единице.

2.Энергия ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию деформации системы.

3.Эпюры перемещений при статическом действии нагрузки (рис. 11.1, а) и ударном (рис. 11.1, б) подобны.

		ст	z					P	ст
а
				z
		д z						P д
б			z

Рис. 11.1.

84

Условием подобия является равенство:

	Dст z	=	Dд z	=	υz ,
	ст		д		υ
где	ст и		ст z − перемещения соответственно точки удара и произвольного
сечения z при статическом действии груза P, приложенного в точку удара;						д и
д z − перемещения точки удара и произвольного сечения (того же z)						при

ударном действии груза P; υ и υz − скорости перемещения точки удара и произвольного сечения z.

11.2. Удар по безмассовой упругой системе

Предположим, что груз P падает с высоты h на упругую систему, масса которой мала по сравнению с массой груза m = Pg (рис. 11.2).

P

Д

Рис. 11.2.

В результате точка удара переместиться на д и на деформацию системы будет затрачена энергия.

U = P(h + д )

(10.1)

Эта энергия согласно второй гипотезе преобразуется в потенциальную энергию деформации системы, которая равна работе динамической силы Рд на ее перемещении д.

	A =	Рд ×Dд	= U	(11.2)
		2

85

Приравнивая А и U получим:

Рд ×Dд

= Р(h +

д )

(11.3)

2

Заменив в (11.3) Рд = С д и Р = С ст

согласно первой гипотезе получим

квадратное уравнение относительно д:

2д − 2 ст

д − 2h ст

= 0,

(11.4)

решение которого приводит к выражению:

д = ст +

2ст + 2h ст

,

или

æ

ö

ç

+

2h

÷

Dд = Dст ç1

1+ D

÷.

è

ст ø

Величина kд =1+

	больше перемещения	ст
	Таким образом,
	д = kд ст
	Подставив д =	Рд
		С
	Рд = kдР

1 + 2h показывает во сколько раз перемещение д

ст

и называется динамическим коэффициентом.

(11.5)

	и ст =	Р	в (11.5) получим:
		С

(11.6)

Если учесть, что между нагрузкой и напряжением также линейная

зависимость, то получим
σд = kдσст ,	(11.7)

где σд − напряжение от ударной нагрузки; σст − напряжение от статического действия груза Р.

Формулы (11.5), (11.6), (11.7) являются основными для расчета напряжений и деформаций при ударе.

86

Динамический коэффициент

kд = 1+ 1 + 2h

ст

можно выражать через скорость падающего груза υ0 в момент удара

υ 2

откуда 2h = g0 ,

где g − ускорение свободного падения. Заменим 2h в формуле kд получим:

	kд =1+	1+		υ2
				0
				g ст

Если учесть, что Р = тg,

где m – масса ударяющего тела, а g =

Р

, то из (11.9) получим

т

kд = 1+

1+

тυ02

Р ст

или

тυ02

= 1+ 1+

K0

,

kд = 1+ 1+

2

Р

ст

Uст

2

(11.8)

υ02 = 2gh ,

(11.9)

(11.10)

где K0 – кинетическая энергия системы в момент удара; Uст – потенциальная энергия системы от статического действия силы Р.

Таким образом, динамический коэффициент может определяться по одной из трех формул (11.8), (11.9) или (11.10).

11.3. Удар по системе с промежуточной массой m1

Из формулы (11.10) следует, что динамический коэффициент определяется кинетической энергией K0 системы в момент удара.

Если между ударяющим грузом массой m = Pg и упругой системой имеется

промежуточная масса m1 (рис. 11.3), то кинетическая энергия упругой системы в

момент удара

87

K = (т + т1 )υ2 ,

2

где т + т1 − масса системы после удара; υ − скорость системы после удара.

h

m

P m1

Рис. 10.3.

Скорость υ определим из равенства количества движения до удара и после

удара

тυ0 = (т1 + т)υ,

откуда

υ =

тυ

υ

2

=

т2

υ02

.

0

, а

(т +

т )2

т + т1

1

Таким образом,

K =

(т + т1 )× т

×

тu0

=

K0

(т + т )2

2

æ

т1

ö

1

ç1+

÷

т

è

ø

Подставив K вместо K0

в формулу (11.10) получим kд для системы

с

промежуточной массой

kд =1+ 1+

K0

(11.11)

æ

+

т

ö

×Uст

ç1

1

÷

è

т ø

После элементарных преобразований получим формулы kд в зависимости от υ0 и h:

88

u2

kд =1+ 1+

0

,

æ

т

ö

ç1

+

1

÷

× gDст

(11.12)

è

т ø

kд =1+ 1+

2h

æ

т

ö

(11.13)

ç1

+

1

÷

× Dст

т

è

ø

11.4. Пример расчета рамы на прочность при ударе

Проверить прочность рамной конструкции, изготовленной из стальных стержней круглого сечения и воспринимающей ударную нагрузку, а также определить перемещение точки удара.

Если условие прочности не удовлетворяется, необходимо определить допустимую высоту падения груза.

Решение:

Вычерчиваем в масштабе схему рамы с указанием значений заданных величин (рис. 11.4, а).

Проверка прочности состоит в проверке условия

(sд )max = (sст )max × kд £ R,

где (σд )max − максимальное напряжение от ударной нагрузки; (σст )max − максимальное напряжение от статического действия силы Р; kд − динамический

коэффициент.

Для определения (σст )max и kд строим эпюры изгибающих моментов от

статического действия силы Р (рис. 11.4, б) и от силы равной единице, приложенной в точку удара (рис. 11.4, в).

(σ ст )max

=

М

max

Wx

πd 3

Опасное сечение будет на участке, где М=120 нм и Wx =

2 .

32

(sст )max =

120×32

= 45,3 МПа.

31,14 ×

3

×10

−6

3

89

P =200Н

P =200Н

Mx, Нм

1

Мx, м

l 1=0,6м

d2=3 см

l 2=0,3м

а

ω1	120
_
с1	120
	ω2
	_
	с2
с3 _	120

ω3		120
б
		0,6
_		0,6
_
		_
M C1
		M C2
		_
_
M C3		0,6
	_
		0,6

в

Рис. 11.4.

90