Распределите спортсменов в команды так, чтобы сумма очков команды была наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спортсменов.
7.22. Предприятию задана месячная программа на изготовле ние четырех типов изделий в количествах соответственно 5000, 2000, 3000 и 1800 шт. На предприятии имеется три группы станков с различной производительностью. Суммарное допустимое время для каждой группы станков составляет соответственно 800, 1000, 1500 час. Данные о технологическом процессе указаны в следую щей таблице:
|
Нормы времени на |
|
Издержки |
|
№ группы |
изготовление одного |
на изготовление одного |
станков |
|
изделия, час. |
|
|
изделия, д. е. |
|
|
I |
II |
III |
IV |
I |
II |
III . |
IV |
1 |
0,5 |
0,15 |
0,4 |
0,6 |
0,12 |
0,2 |
0,3 |
0,25 |
2 |
0,4 |
0,12 |
0,2 |
0,5 |
0,16 |
0,14 |
0,35 |
0,2 |
3 |
0,42 |
0,14 |
0,35 |
0,45 |
0,17 |
0,25 |
0,4 |
0 , 3 j |
Распределите изделия по станкам так, чтобы месячная програм ма была выполнена при наименьших издержках.
7.23. Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 10 000 клеток. В одной клетке могут быть ли бо две лисы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не ме нее 3000 лис и 6000 песцов. В одни сутки необходимо выдавать каждой лисе корма - 4 ед., а каждому песцу - 5 ед. Ферма еже дневно может иметь не более 200 000 единиц корма. От реализации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 д.е., а от реализа ции одной шкурки песца - 5 д. е.
Какое количество лисиц и песцов нужно держать на ферме, чтобы получить наибольшую прибыль?
7.24. Найдите оптимальное распределение трех видов механиз мов, имеющихся в количествах 45, 20 и 35, между четырьмя участ ками работ, потребности которых соответственно равны 10, 20, 30, 40 при следующей матрице производительности:
(Ъ W = 2 1
7.25. Имеются два элеватора, в которых сосредоточено соответ ственно 4200 и 1200 т зерна. Зерно необходимо перевезти трем хле-
бозаводам в количестве 1000, 2000 и 1600 т каждому Расстояние от элеватора до хлебозаводов указано в следующей таблице:
|
Элеваторы |
|
Хлебозаводы |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
20 |
30 |
50 |
|
2 |
60 |
20 |
40 |
Затраты на перевозку 1 т продукта на 1 км составляют 25 д.е. Спланируйте перевозки зерна из условия минимизации транс
портных расходов.
7.26. Из двух сортов бензина образуются две смеси — А и В. Смесь А содержит бензина 60% 1-го сорта и 40% 2-го сорта; смесь В - 80% 1-го сорта и 20% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси А - 10 д.е., а смеси В — 12 д.е.
Составьте план образования смесей, при котором будет полу чен максимальный доход, если в наличии имеется бензина 50 т 1-го сорта и 30 т 2-го сорта.
7.27. Имеются две почвенно-климатические зоны, площади ко торых соответственно равны 0,8 и 0,6 млн га. Данные об урожай ности зерновых культур приведены в следующей таблице:
|
Зерновые культуры |
Урожайность (ц/га) |
Стоимость 1 ц, |
|
1-я зона |
2-я зона |
д. е. |
|
|
|
|
|
|
Озимые |
20 |
25 |
8 |
|
Яровые |
25 |
20 |
7 |
Определите размеры посевных площадей озимых и яровых куль тур, необходимые для достижения максимального выхода продук ции в стоимостном выражении.
7.28. На строительство четырех объектов кирпич поступает с трех заводов. Заводы имеют на складах соответственно 50, 100 и 50 тыс. шт. кирпича. Объекты требуют соответственно 50, 70, 40, 40 тыс. шт. кирпича. Тарифы (в д.е./тыс. шт) приведены в следующей таблице:
|
Заводы |
|
|
Объекты |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
6 |
2 |
3 |
|
2 |
5 |
2 |
1 |
7 |
|
3 |
4 |
5 |
7 |
8 |
Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы.
7.29. Для полива различных участков сада, на которых растут сливы, яблони, груши, служат три колодца. Колодцы могут дать соответственно 180, 90 и 40 ведер воды. Участки сада требуют для полива соответственно 100, 120 и 90 ведер воды. Расстояния (в метрах) от колодцев до участков сада указаны в следующей таб лице:
|
Колодцы |
|
Участки |
|
|
сливы |
яблони |
груши |
|
|
|
1 |
10 |
5 |
12 |
|
2 |
23 |
28 |
33 |
|
3 |
43 |
40 |
39 |
Определите, как лучше организовать полив?
7.30. На заводе выпускают изделия четырех типов. От реализа ции 1 ед. каждого изделия завод получает прибыль соответственно 2, 1, 3, 5 д.е. На изготовление изделий расходуются ресурсы трех типов: энергия, материалы, труд. Данные о технологическом про цессе приведены в следующей таблице:
|
Ресурсы |
Затраты ресурсов на единицу изделия |
Запасы |
|
I |
II |
III |
Г/ |
ресурсов, ед. |
|
|
|
|
|
|
Энергия |
2 |
3 |
1 |
2 |
30 |
|
Материалы |
4 |
2 |
1 |
2 |
40 |
|
Труд |
1 |
2 |
3 |
1 |
25 |
Спланируйте производство изделий так, чтобы прибыль от их реализации была наибольшей.
Решите задачи линейного программирования (7.31 - 7.60) графическим методом, проведите анализ на чувствительность.
Во всех задачах Xj > О, Х2 > 0.
7.31. ЙК= 2^1 ~ 5^2 -> min; |
7.32. И^= Xj - 4д:2 -> min; |
3xi + 4x2 ~ 6; |
3xi+5x2>8; |
2x1+3x2 < 4. |
-3x1+10x2 < 16. |
Задачи линейного программирования (7.61 — 7.90) решите симп лекс-методом и проведите анализ моделей на чувствительность, сформулируйте двойственную задачу к исходной и решите ее.
7.61. max Z = Х] — 2^2 + 2x3 + ЗХ4;
Xi + Х2 + 2X3 + 2X4 = 8»
2xi + 2x2 + Хз + Х4 = 10; Х] — 2X2 "^ ^3 "'^ ^4 ^^ 1>
Ху>0;У=174.
7.62. max L = 2xi + Х2 + Х3 + 2x4;
Xi Н- 2x2 + Х3 + 2x4 = 16 2xi + Х2 + 2хз + Х4 = 14:
2xi + 2x2 — 2^3 + л:4 = 4
Ху>0;У=Т74.
7.63. min L = 3xi + 2x2 + Х3 + ^4>
2xi + 2x2 + ЗХ4 = 9; Х2 + 2x3 + Х4 = 4;
Xj + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 8;
Ху>0;У=174.
7.64. min Z = 3xi + 2x2 + -^3 + 2x4;
2xi + 3x2 "*• 3^:4 = 10; X2 + 2x3 +X4 = 4;
Xi + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 8;
Xy>0;y = T74.
7.65. max Z = Xj + 2x2 + ЗХ3 + ^4»
2xi + X2 + ЗХ3 + X4 = 12;
X] + 2X2 + X3 + 2X4 = ^>
3xi + 3x2 + ^3 "*" ЗХ4 = 15; x^.>0;y = 174.
7.66. max Z = 2xi ~ X2 + ЗХ3 — 2x4;
Xj "b X2 "^ 2X3 — X4 ^== 3; 2xi + X2 — X3 + 2x4 = 4; Xj + 2x2 + X3 + ^4 ^ 5;
xy>0;y=174.
7.67. min L = 2xi + X2 + 2x3 + 2X4;
2xi + X2 + 2x3 + X4 = 8; Xj + 2x2 + X3 + 2x4 = lOj 2xi + X2 + 2x3 + 2x4 = 10;
Xy>0;y = T74.
7.68. min L = Xj + 2x2 + X3 + ^4>
л^! + X2 — Хз + X4 = 4; 2xi + X2 + 2x3 — X4 = 4; Xj — X2 "»• X3 ^" X4 ^^ 2j
Xy>0;y = T74.
7.69. min Z = 4xi + 2x2 + 2x3 + ^4»
Xi + X2 + X3 + 2x4 = 8; 2xi + X2 + X3 + 2x4 = 10; Xi + X2 + 2x3 - 2x4 = 6;
Ху>0;У=ТГ4.
7.70. min L = Xi + 2x2 + ЗХ3 + "^^4»
^1 "^ ^2 ~ 2x3 + X4 = 2; Xj — 2x2 "*• л:з + 2x4 = 4;
Xi + 2x2 + 2хз + 2x4 = 8;
Ху>0;У=Т74.
7.71. max Z = Xi + 2x2 + ЗХ3 - ^4J
X] -f X2 + X3 + X4 = 4;
Xi + 2x2 "*" ^3 "^ 2x4 = 6;
Xj + 2x2 + 2x3 + X4 = 6;
Ху>0;У = Т74.
7.72. min L = Xj — 2x2 + ЗХ3 + ^4>
Xi + X2 + 2x3 + X4 = 7; Xj — 2x2 "^ -^3 "^ 2x4 = 1;
3xi + X2 + ЗХ3 + 2x4 = 13;
X y > 0 ; y = M .
7.73. max L = Sxj + X2 + 2x3 + X4;
Xj + 2x2 + 2x4 = 6;
2x2 + 2x3 + X4 = '75
Xj + X2 + X3 + 2x4 = 7;
xy>0;y=174.
7.74. max L = 2xi + X2 + ЗХ3 + 2x4;
X2 + 2x3 + 2x4 = 8;
2xi + 2x2 + X3 + X4 = 9; 2xi + 2x3 + X4 = 8;
Ху>0;у = ТГ4.
7.75. max £ = 2xi + X2 - X3 + 2x4;
X| + 2X2 ^ ^'
X2 + X3 + 2x4 = 6;
Xi + 2x2 + 2x3 = 10;
Xy>0;y=l74.
7.76. min L = Xi + 2x2 - X3 + ЗХ4;
Xi + 2x3 + 2x4 = 5;
Xj + X2 + 2x3 = 4;
2x2 + X3 = 4;
Ху>0;У=М.
7.77. min L = Xi + X2 - 2x3 + 2x4;
Xj "b X2 ^~ X4 =^ 5j
2X| + X3 = 3; 2xi + X3 = 6;
Xy>0;y=lT4.
7.78. min Z = x^ - 2x2 + 2x3 + ЗХ4;
Xj + X2 + 2x4 = 4;
X2 + 2x3 + X4 = 6;
Xj — 2x2 + X3 + X4 = 6;
Xy>0;y = T74.
7.79. min i = - |
2x2 + X3; |
|
|
|
~2xi + X2 + X4 = 0; |
|
|
|
Xj — X2 "I" X3 ^= 2j |
|
|
|
2xi — X2 + 4x3 — X4 = 12; |
|
|
Xj>0;J-=T~i. |
|
7.80. min L = 4xi + 2x2 + 2x3 + ^45 |
|
|
|
Xj + X2 + X3 + 2x4 = 8; |
|
|
|
2x1 + X2 + X3 + 2x4 = *0» |
|
|
Xj + X2 + X3 -- 2x4 = 6; |
|
|
Ху>0;У=Т74. |
|
7.81. max L |
= 4xi |
+ ЗХ2 + 2x3 + X4; |
|
|
|
Xj - 3x2 + X3 + X4 = 6; |
|
|
|
Xj — 2x2 + X3 + 2x4 = 4; |
|
|
X i + X 3 = l ; |
|
|
|
Ху>0;У=Т74. |
|
7.82. min L |
= Xi |
+ X2 + X3 + X4; |
|
|
|
3xi + 2x2 + 5x3 + X4 = |
22 |
|
|
2xi + 5x2 "^ 4x3 + X4 = |
24 |
|
|
3xi + 4x2 "^ 5x3 + X4 = |
26 |
Ху>0;у = 1Г4.
7.83. max L = Xj — X2 + X3 — X4;
3xi + X3 + 2x4 = 2;
—Xj + X2 + X3 + 5x4 = 5;
Ху>0;У=Т74.
7.84. max Z = 2xi — X2 + ЗХ3 — 5x4;
Xj + X2 + X3 = 6;
X2 + X3 + X4 = 9;
X3 + X4 + X5 = 12;
X4 + X5 + X5 = 15;
Ху>0;У=ТГб.
7.85. min I |
= 2xj - |
X2 + ЗХ3 - 2x4 + X5; |
|
|
-Xi + X2 + X3 = 1; |
|
|
Xj + X2 + X4 = 1; |
|
|
Xj • X2 ' x^ ^^ 2j |
|
|
Xy>0;y = T75. |
7.86. max I |
= 2xi - |
X2 + X3 - ЗХ4 + 4x5; |
|
Xi — X2 + ЗХ3 —18x4 + 2x5 = —4; |
|
2xi — X2 + 4x3 — 21x4 + 4x5= 22; |
|
3xi + 2x2 + 8x3 - 4ЗХ4 + 11x5= 38; |
|
|
Ху>0;у = ГГ5. |
7.87. min L = 3xi - |
2x3 + X3 + 8x5; |
|
Xj — 2X2 — ^0^4 "*" ^^5 ^ 12» |
|
2xi — 3x2 ~ 15^3 "" 10^4 •*" 6x5 = 28; |
|
2xi — X2 + 8x3 — 6x4 + 10x5= 40; |
|
|
Xy>0;y=I71. |
7.88. max i |
= 3xi + 4x2 + 2x3 + 6x4; |
|
|
2xi + 3x2 + 2x3 H- ЗХ4 = 10; |
2X2 "^ 2X3 + X4 == 7;
Xi + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 8;
Ху>0;У=Т75.
7.89. min Z = 2xi + X2 + X3 + 2x4;
2xi + X2 + ЗХ3 + X4 = 20; Xi + 2x2 + X3 + 2x4 = 30; 3xi + 3x2 "^ ^3 "^ ЗХ4 = 40;
Xy>0;y = T74.
7.90. max £ = Xj + 2x2 + ЗХ3 + 4x4;
^1 + ^2 "*~ -^3 "^ ^4 "^ 60; Xj + 2x2 + X3 + 4x4 = 9;
2xi + 3x2 "*" ^^3 •*" 1^4 ~ 12;
ху>0;у= 174.
