Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

При прогнозировании, как правило, в точке прогноза оценива­ ют математическое ожидание процесса (точечный прогноз) и вели­ чину интервала, в который с заданной вероятностью попадет про­ гнозируемое значение процесса (интервальный прогноз). Результа­ ты экстраполяции наиболее надежны при кратко- и среднесрочном прогнозировании. При этом предполагается, что совокупность фак­ торов, определявших тенденцию временного ряда в прошлом, в среднем сохранит свою силу и направление действия в течение прогнозируемого периода.

В экономической литературе предлагается широкий спектр ме­ тодов экстраполяции. Остановимся на краткой характеристике ос­ новных методов данной группы.

6.2. Характеристика методов

имоделей прогнозирования показателей работы предприятий

внастоящее время разработана большая группа экстраполяционных методов прогнозирования отдельных экономических по­ казателей. В данной группе методов можно выделить следующие:

1)основанные на построении многофакторных корреляцион­ но-регрессионных моделей;

2)авторегрессии, учитывающие взаимосвязь членов временно­ го ряда;

3)основанные на разложении временного ряда на компоненты: главная тенденция (тренд), сезонные колебания и случайная со­ ставляющая;

4)позволяющие учесть неравнозначность исходных данных;

5)прямой экстраполяции, при этом используются разные трендовые модели.

Коротко охарактеризуем эти методы. При прогнозировании ме­ тодом корреляционно-регрессионного анализа строится модель, включающая набор переменных, от которых зависит поведение функции. Основным недостатком этого подхода является то, что необходимы сбор и обработка больших массивов информации по группе однородных предприятий и прогнозирование самих объяс­ няющих переменных. При этом остается открытым вопрос о про­ гнозировании показателей работы предприятий, не вошедших в группу однородных.

Для данных методов характерна невысокая точность прогноза для конкретного, отдельного предприятия.

Авторегрессионные модели чаще всего используются для про­ гнозирования тех экономических процессов, для которых внешний механизм их формирования четко не определен, и практически не-

160

возможно выделить стабильные во времени причинно-следствен­ ные связи. Применение этих моделей целесообразно и для сильно автокоррелированных динамических рядов.

Главная идея методов авторегрессии состоит в том, что будущие значения временного ряда не могут произвольно отклоняться в большую или меньшую сторону от предшествующих значений вре­ менного ряда, какими бы причинами ни были вызваны эти откло­ нения. Во временных рядах экономических показателей существу­ ет связь между недавно реализованными значениями и значением, реализующимся в близком будущем. Смысл этой связи таков, что если между близкими значениями временного ряда существует кор­ реляция, то можно построить прогноз показателя. Модель авторе­ грессии имеет вид:

	У/ = ^0 + ^1У/-1 + ^2yt-2 + - + ^myt-m^	(6-2)
где До, Oi, ^2» —> ^т "^ параметры уравнения авторегрессии;
у^	— значение динамического ряда показателя.

Считают, что при расчете необходимо проводить элиминирова­ ние мультиколлинеарности в матрице входных параметров 0^/_i, yt-2^..., yt-m)- Для улучшения прогнозирующих свойств модели (6.2) в нее можно ввести фактор времени в виде самостоятельной пере­ менной. Подобный подход в ряде случаев существенно увеличива­ ет точность прогноза, что объясняется учетом линейного тренда.

Методы, основанные на разложении временного ряда на ком­ поненты — главная тенденция, сезонные колебания и случайная составляющая, — позволяют описать почти любой экономический процесс, независимо от его характера.

При аддитивной связи между компонентами модель имеет вид:

yt = y/^yr^	(6.3)
где у/ - составляющая, описывающая тренд.
Составляющая у/' определяется по формуле
УГ ^yt- У!	(6.4)
и может быть разложена в ряд Фурье:
т	(6.5)
у'/=% + Е(«/ •cositf.+bismitf.) + t,f.

/=1

Формулы для определения параметров уравнения (6.5) приве­ дены в работах Л. Г. Лабскера, Л. О. Бабешко «Теория массового

161

обслуживания в экономической сфере» и А. А. Френкеля «Матема­ тические методы анализа динамики и прогнозирования производи­ тельности труда».

Модель «гармонический фильтр» с учетом статистически зна­ чимых гармоник аналогична выше описанной модели. Оценка зна­ чимости /-Й гармоники рассчитывается по следующей формуле:

р ^ "-^1

(6.6)

''n-(aj+bf)

где S^^t — дисперсия остатков.

Несмещенная оценка iS^^^ рассчитывается так:

Sl = ^	-^-^	(6.7)
ь^	п-2т-\

и подчиняется примерно ^-распределению Фишера с Vj = 2 и V2 = п — 5 степенями свободы.

Проведенные расчеты показали, что при использовании моде­ лей гармонического фильтра необходимо с осторожностью подхо­ дить к выбору величины предпрогнозного периода, так как величи­ на предпрогнозного периода в значительной степени определяет точность прогноза.

Рассмотренные выше методы не позволяют в достаточной сте­ пени учесть неравнозначность исходных данных. К числу методов, учитывающих неравнозначность данных, можно отнести:

•метод авторегрессии с последующей адаптацией коэффициентов уравнения;

•метод взвешенных отклонений.

Для адаптации коэффициентов модели авторегрессии может быть использован метод наискорейшего спуска'. Согласно данному методу процедура пересчета коэффициентов уравнения авторегрес­ сии осуществляется следующим образом:

	Л = Л ~ * ~ gracK^Vx),	(6.8)
где Л	— вектор новых коэффициентов;
Л^	— вектор старых коэффициентов;
к	— коэффициент, /: > 0;
^л-т- - ошибка прогноза в точке (/ + т).

' Лукинский В. С, Зайцев Е. И., Бережной В. И. Модели и алгоритмы управления обслуживанием и ремонтом автотранспортных средств. — Спб.: СпГИЭА, 1997.

162

После дифференцирования (формула 6.8) по коэффициентам о,- и соответствующих преобразований получим

grad(^ ,+т) = -li^^- \ . х„

(6.9)

где Xf - вектор значений входных переменных в точке /.

Таким образом, откорректированные оценки коэффициентов определяются по формуле

У1« = ^^ + 2к V , . x , .

(6.10)

В уравнении (6.10) неизвестным является коэффициент к, ко­ торый может быть идентифицирован как коэффициент, определя­ ющий скорость движения в направлении, обратном градиенту Для определения значения коэффициента к используется итеративная процедура, описанная в работе В. С. Лукинского, Е. И. Зайцева, В, И. Бережного «Модели и алгоритмы управления обслуживанием и ремонтом автотранспортных средств». Заметим, что адаптация производится либо по последнему эмпирическому значению, либо по предыдущему производному значению.

Метод взвешенных отклонений достаточно подробно изложен в работе Л. Г. Лабскера, Л. О. Бабешко «Теория массового обслужи­ вания в экономической сфере». Для сравнения точности прогноз­ ных оценок, получаемых с использованием рассмотренных выше методов, был произведен ретроспективный прогноз показателей работы подвижного состава десяти транспортных предприятий. Объем выборки составил более 857 вариантов расчетов. Средние ошибки приведены в табл. 6.1.

1 №

п/п

1

2

3

4

5

6

'7

Таблица 6.1 Модели прогнозирования показателей работы автомобилей

	Наименование модели прогнозирования	Средняя ошибка
		прогноза, %
	Авторегрессия без учета времени	1,89
	Авторегрессия с учетом времени	2,94
	«Гармонический фильтр» без учета значимости	1,9
	«Гармонический фильтр» с учетом значимости	2,34
	Метод взвешенных отклонений	2,24
	Авторегрессия без учета времени и с последу­	1,82
	ющей адаптацией параметров модели
	Авторегрессия с учетом времени и последую­	1,94
	щей адаптацией параметров модели

163

Анализ ошибок (табл. 6.1) позволяет сделать следующие выводы. Все модели прогнозирования обладают достаточно высокой точностью. Наиболее точным методом прогнозирования показате­ лей работы транспортных предприятий является авторегрессия без учета фактора времени и с последующей адаптацией коэффициен­

тов данной модели (£=1,82%).

Модель авторегрессии без учета фактора времени и с последу­ ющей адаптацией коэффициентов данной модели в отдельных слу­ чаях может значительно уступать по точности другим моделям про­ гнозирования. Например, при прогнозировании показателя балан­ совой прибыли ошибка прогноза оказалась в 2,61 раза больше, чем ошибка прогноза, полученного с использованием метода взвешен­ ных отклонений. Общее число случаев, когда модель авторегрессии без учета времени и с последующей адаптацией коэффициентов данной модели оказалась лучшей по точности, составило 67%. По­ этому для прогнозирования экономических показателей работы предприятий необходимо использовать комплекс моделей прогно­ зирования, приведенных в табл. 6.1.

Сложность математического аппарата моделей прогнозирова­ ния, представленных в табл. 6.1, не оправдывает себя. Для получе­ ния точных оценок прогнозирования в каждом случае необходимо использовать эти модели прогнозирования в комплексе, что значи­ тельно увеличивает время на получение прогноза.

Проведенные исследования показали, что при краткосрочном прогнозировании (на один год) показателей работы предприятий целесообразно использовать комплекс трендовых моделей табл. 6.2, который позволяет с достаточной точностью описать динамику по­ казателей.

Таблица 6.2

Ткблица кодов и моделей прогноза

№

п/п

1

2

3

4 •

5

6

7

8

	Модель прогнозирования	№
		п/п
	у=А+Вх	9
	у==1/{А-^Вх)	10
	у = А + В/х	11
	у = х/(А-\-Вх)	12
	у = АВ'	13
	у = А ехр(В х)	14
	у = 10^^^^	15
	у = 1/{А + В ехр (-Х))	16

Модель прогнозирования

У= -Ах^

у= А + В \п{х)

у= А'\- В log(x)

у= А/{В-^х)

у^А х/(В + х) у = Аехр (В/х)

у==А10^^^'^ у=^А + В{х^)

164

в связи с вышеизложенным остановимся более детально на процедуре прогнозирования с помощью прямой экстраполяции.

6.3.Прогнозирование

спомощью методов экстраполяции

Прогнозирование с помощью методов экстраполяции должно включать следующие этапы работ.

A. Установление цели и задачи исследования, анализ объекта п гнозирования.

Прогнозирование развития любой системы (предприятия, фир­ мы и т. д.) предъявляет специфические требования к параметрам (объектам), характеризующим и определяющим ее развитие. По­ этому необходимо на первом этапе работ провести детальное логи­ ческое изучение системы: зависимость рассматриваемого объекта (параметра, показателя) от других систем одного уровня и субсис­ темы (системы более высокого уровня); взаимосвязь между данным объектом и другими объектами системы; установление характера предоставления статистических данных об объекте.

Б. Подготовка исходных данных.

Работы по этому этапу начинаются с проверки временного ря­ да, в результате которой устанавливаются полнота ряда (наличие данных за каждый год (месяц, квартал) ретроспективного периода), сопоставимость данных и, в случае необходимости, проверка мето­ дики приведения данных к сопоставимому виду. Если временной ряд представлен не полностью, то необходимо недостающие дан­ ные определить с помощью тех или иных методов интерполяции в зависимости от характера протекания процесса.

Наряду с этим осуществляется также формирование массива функций, который в последующем будет использован для выбора вида математической модели.

B. Фильтрация исходного временного ряда.

В результате этой процедуры устраняются случайные возмуще­ ния (флуктуации), возникающие под воздействием неучтенных факторов или ошибок измерения относительно наиболее вероятно­ го протекания процесса, и тем самым исключается искажающее влияние случайных колебаний на выбор вида регрессии. Фильтра­ ция исходного динамического ряда включает его сглаживание и выравнивание.

Сглаживание применяется для устранения случайных отклоне­ ний (шума) из экспериментальных значений исходного ряда. Сгла­ живание производится с помощью многочленов, приближающих (обычно по методу наименьших квадратов) группы опытных точек.

165

Наилучшее сглаживание получается для средних точек группы, по­ этому желательно выбирать нечетное количество точек в сглажива­ емой группе. Обычно их выбирают три или пять. Например, по первым трем точкам Oi, у2, ;^з) сглаживают среднюю у2, затем по следующей тройке О2, Уъ^ У^ сглаживают у^ и т. д. Крайние точки сглаживают по специальным формулам.

Чаще всего для сглаживания применяют линейную зависимость. Тогда формулы сглаживания для групп из трех точек имеют вид:

i)_l = ^(ЗД'ч +2д;о +3^+i);	(6.12)
п\ ^'(УУ-\ +2:^0 +3^+i);	(6.13)

где 3^0» 3^0 "" значения исходной и сглаженной функций в средней точке

фуппы;

У-\, У-\ — значения исходной и сглаженной функций в левой точке Фуппы;

3^+1, у+1 — значения исходной и сглаженной функций в правой точке группы.

Формулы (6.12), (6.13) применяются для сглаживания крайних точек ряда. Для сглаживания по пяти точкам формулы имеют вид:

Уо = 5^^-2 -^У-х +Уо -^У-^х +:^+2);	(6-14)
p4=J^(4y-2+3y^i+2>;o+y+i);	(6.15)
У+1 = J^(^-i -^^Уо +Зз^+1 +4у+2)1	(6-16)
У-2 = j(3y-2 +2)^0+^+1 -3'+2);	(6.17)
У+2 = j(->'-2 +3^0 +2з;+1 +3>;+2)-	(6.18)

Сглаживание (даже в простом линейном варианте) является во многих случаях эффективным средством выявления тренда при на-

166

личии в экспериментальных точках случайных помех и ошибок из­ мерения.

Выравнивание применяется для более удобного представления исходного ряда без изменения его числовых значений. Выравнива­ нием называется приведение исходной эмпирической формулы

y-AUa.b),	(6.19)
где / — время,
а, b — параметры,
к виду	(6.20)
y-^a^T+b^.

Использование двухпараметрической зависимости (6.19) объяс­ няется ее наибольшим распространением в практике прогнозиро­ вания и сравнительно простыми способами получения выравнива­ емых формул. Функции с большим (чем 2) числом параметров вы­ равниваются не всегда, и формулы имеют громоздкий вид.

Наиболее распространенными способами выравнивания явля­ ются логарифмирование и замена переменных.

Пример 6.1. Дана исходная функция у = at^. Логарифмируя, получим Igy = Igfl + 6 . Ig/.

Вводя замену переменных, имеем: Т— Ig/; У= Igy; Y= а^Т + hi,

где а^ = Ь; bi = Iga.

Перестроив исходные данные (точки) на логарифмической бу­ маге, получим линейную зависимость, с которой легче работать и определять коэффициенты. Затем нужно пересчитать результаты по формулам, обратным исходному преобразованию.

Пример 6.2. Дана исходная формула у = а - е^К Выравнивание Igy = Iga + 6 • / • Ige; а^ = 6 • Ige; b^ = Iga,

тогда

	r=lgy = 6i + «1 • L
Пример 6.3. Дана исходная формула		у^	-.
Выравнивание	У = — = л^ + й.	at-^b
	У
Пример 6.4. Дана исходная формула		у =	—.
		а + Ье ^
Выравнивание	У=—; Т = е~^\ ^1=6;	Z^=a;	Y = bi-^ai'T.

Можно рассматривать выравнивание не как метод представле­ ния исходного динамического ряда, а как метод непосредственно-

167

го приближенного определения параметров аппроксимирующей функции, что часто и делается на практике.

Г, Логический отбор видов аппроксимирующей функции.

На основе изучения статистических данных и логического ана­ лиза протекания изучаемого процесса из заданного массива функ­ ций отбираются наиболее приемлемые виды уравнений связи. Этот этап необходим, так как позволяет при отборе функций учесть ос­ новные условия протекания рассматриваемого процесса и требова­ ния, предъявляемые к математической модели. На этом этапе долж­ ны быть решены следующие вопросы:

•является ли исследуемый показатель величиной, монотонно воз­ растающей (убывающей), стабильной, периодической, имеющей один или несколько экстремумов;

•ограничен ли показатель сверху или снизу каким-либо преде­ лом;

•имеет ли функция, определяющая процесс, точку перегиба;

•обладает ли анализируемая функция свойством симметричности;

•имеет ли процесс четкое ограничение развития во времени.

Рассмотрим те функции, которые предпочтительно использо­ вать в прогнозной экстраполяции.

В качестве аппроксимирующих функций чаще всего использу­ ются различные полиномы с ограничением числа членов (степени полинома). Это

степенной полином

y(O = ^0 + i ^ / ;

(6.21)

/=1

экспоненциальный полином

3;(0 = ехр|

(6.22)

п

/=1

гиперболический полином

ЯО = «о + 1—у,

(6.23)

где у — прогнозируемый показатель;

/— время;

QQ, OJ, ..., а„ — параметры (коэффициенты), подлежащие определению.

Опыт применения аппроксимирующих функций для целей про­ гнозирования показывает, что наиболее простыми (математически) и чаще всего используемыми являются следующие функции:

168

• линейная		y(t) = а -^ bt;	(6.24)
• квадратичная		y(t) = а -^ bt -^ сР",	(6.25)
•	степенная	y(t) = at^;	(6.26)
•	экспоненциальная	y(t) = лехр(йО;	(6.27)

•	модифицированная экспонента y{t) = к — ае~^^\		(6.28)
•	гиперболическая	y{t) = а + — - ;	(6.29)

	,,	к
• логистическая кривая	Л О -	~^	(6.30)

где а, Ь, с, к — параметры.

Когда это возможно, при выборе вида аппроксимирующей функции прибегают к графическому способу подбора по виду то­ чек временного ряда, расположенных на плоскости yQt. Если по фафику подобрать функцию трудно, иногда прибегают к анализу производных от соответствующих видов функций аппроксимации (или разностей Aj, А2, A3, ...) соответствующего порядка.

Выбирают ту функцию для прогноза, арифметическая средняя для разностного ряда которого будет равна нулю или близка к ну­ лю по абсолютной величине.

Окончательное решение о виде аппроксимирующей функции может быть принято после определения ее параметров и верифика­ ции прогноза по ретроспективному ряду Поэтому для прогнозиро­ вания используют несколько подходящих аппроксимирующих функций, с тем чтобы после оценки точности выбрать наиболее подходящую.

Д. Оценка математической модели прогнозирования.

На этом этапе исследования определяются параметры различ­ ных видов аппроксимирующих функций. Наиболее распространен­ ными методами оценки параметров аппроксимирующих зависимо­ стей являются метод наименьших квадратов (МНК) и его модифи­ кации, метод экспоненциального сглаживания, метод вероятност­ ного моделирования, метод адаптивного сглаживания.

Рассмотрим для примера МНК и метод экспоненциального сглаживания.

Метод наименьших квадратов состоит в определении парамет­ ров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек ис­ ходного временного ряда:

169