Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

LB. БЕРЕЖНАЯ, В.И. БЕРЕЖНОЙ

МЕТОДЫ

МОДЕЛИРОВЙИИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ

СИС1ЕМ

Издание второе, переработанное и дополненное

Рекомендовано Учебно-методическим объединением (УМО) вузов

по специальностям "Финансы и кредит", "Бухгалтерский учет, анализ и аудит", "Мировая экономика"

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва ''Финансы и статистика"

2006

УДК 330.45:519.86(075.8) ББК 65.050в6я73

Б48

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Кафедра прикладной математики и информатики

Ставропольского государственного университета;

Л.Г. Лабскер,

профессор кафедры математического моделирования экономических процессов

Финансовой академии при Правительстве РФ

Бережная Е.В., Бережной В.И.

Б48 Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Фи­ нансы и статистика, 2006. - 432 с: ил.

ISBN 5-279-02940-8

Рассматривается моделирование экономических систем с использо­ ванием марковских случайных процессов, моделирование систем мас­ сового обслуживания, методы и модели корреляционно-регрессионного анализа и прогнозирования временных рядов экономических показате­ лей. Приводятся оптимизационные методы и модели в управлении эко­ номическими системами, линейное, динамическое, параметрическое и целочисленное программирование, а также транспортные задачи ли­ нейного программирования, теория игр и принятие решений.

Для преподавателей, аспирантов, студентов экономических вузов и факультетов, менеджеров.

^ 0601000000-107 ^^ ^ ^^^^	УДК 330.45:519.86(075.8)
010(01) - 2006	^^^ 65.050в6я73
	© Бережная Е.В., Бережной В.И., 2001
ISBN 5-279-02940-8	© Бережная Е.В., Бережной В.И., 2005

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методы экономико-математического моделирования, возможности применения которых существенно расширились благодаря современному программному обеспечению ПЭВМ, представляют собой один из наиболее динамично развивающихся разделов прикладной экономической науки.

Современный экономист должен хорошо разбираться в экономико-ма­ тематических методах, уметь их практически применять для моделирования реальных экономических ситуаций. Это позволит лучше усвоить теоретиче­ ские вопросы современной экономики, повысить уровень квалификации и общей профессиональной культуры специалиста.

В учебном пособии систематически излагаются методы экономико-ма­ тематического моделирования, которые широко используются в различных областях экономики, при принятии управленческих решений в финансо­ вой сфере в силу разработанности математического аппарата и возможнос­ ти практической реализации.

Пособие включает двенадцать глав, которые объединены в два раздела. Раздел I посвящен вероятностно-статистическим методам моделирова­ ния экономических систем, а также теоретическим основам вероятностных методов. Авторы излагают те вопросы теории вероятностей и математичес­ кой статистики, знание которых является необходимым минимумом для ус­

воения материала, рассматриваемого в последующих главах.

Значительное место отведено применению марковских случайных про­ цессов для моделирования экономических систем, а также использованию аппарата теории массового обслуживания для решения финансово-эконо­ мических задач. Далее авторы рассматривают возможности применения ме­ тода статистического моделирования (метода Монте-Карло).

Достаточно подробно рассмотрены методы и модели корреляционнорегрессионного анализа. Регрессионный и корреляционный анализ нахо­ дит широкое применение при исследовании зависимостей и взаимосвязей между явлениями в экономике, при прогнозировании и решении задач бизнес-планирования. В настоящее время большинство объективно суще­ ствующих зависимостей между финансово-экономическими явлениями ис­ следованы и изучены теоретически. Значительно важнее количественно из­ мерить тесноту причинно-следственных связей в экономике и финансах, понять природу исследуемых процессов. Это позволит воздействовать на выявленные факторы, вмешиваться в соответствующий экономический процесс с целью получения нужных результатов. В связи с этим к аппара­ ту корреляционно-рефессионного анализа в ходе своих исследований об­ ращаются как экономисты-практики, так и научные работники.

Внимание к методам корреляционно-регрессионного анализа особенно возросло в связи с появлением современных профаммных продуктов для компьютеров, реализующих эти и другие математико-статистические мето­ ды. Если раньше пакеты прикладных профамм по математико-статистиче- ским методам были ориентированы в основном на профессиональных поль­ зователей (математиков-прикладников), то широко распросфаненные се­ годня табличные процессоры Excel, входящие в известный продукт MS Office, не требуют от исследователя подготовки, выходящей за рамки эко­ номического вуза.

Учебное пособие — практическое руководство по корреляционно-рег­ рессионному анализу, которое поможет студентам, аспирантам, менедже­ рам овладеть этими методами анализа. Рассмофенные методы и модели прогнозирования временных рядов экономических показателей особенно актуальны для современных студентов экономических специальностей.

Раздел II посвящен методам оптимизации: линейному, динамическому, парамефическому, целочисленному профаммированию, теории иф.

Наряду со сведениями теоретического характера в пособии разбирает­ ся большое количество примеров и задач, цель которых — уяснение основ­ ных понятий и математических методов. В конце каждой главы приводят­ ся задачи для самостоятельного решения. Задачи подобраны и составлены с особой тщательностью и могут служить для проверки степени усвоения читателем изученного материала. Примеры и задачи предусмафивают не­ большой объем вычислений и могут быть использованы на практических занятиях при изучении курса «Экономико-математические методы».

Дополнительные теоретические сведения для более глубокого изучения того или иного раздела можно получить из книг, приведенных в списке ли­ тературы.

Изучение всех разделов экономико-математических методов, излагае­ мых авторами в учебном пособии, предусмофено Государственным образо­ вательным стандартом по экономическим специальностям.

Пособие написано на основе многолетнего опыта преподавания эконо­ мико-математических методов и моделей в высших учебных заведениях, а также на основе решения ряда практических задач, которые всфечались авторам в научно-исследовательской работе.

Авторы выражают благодарность уважаемым рецензентам и призна­ тельны им за ценные замечания, которые улучшили изложение материала,

— кафедре прикладной математики и информатики Ставропольского госу­ дарственного университета и профессору кафедры математического моде­ лирования экономических процессов Финансовой академии при Прави­ тельстве РФ Л. Г. Лабскеру.

РАЗДЕЛ I

Вероятностно-статистические методы моделирования экономических систем

Глава 1 Основы вероятностных методов

анализа и моделирования экономических систем

1.1.Элементарные понятия

ослучайных событиях, величинах и функциях

Под событием понимается всякий факт, который может про­ изойти в данных условиях. Теория вероятностей рассматривает со­ бытия в тесной связи с теми условиями, в которых они наступают. Совокупность условий, в которых рассматривается данное собы­ тие, называют комплексом условий, а реализацию этого комплекса условий на практике — испытанием. В зависимости от связи между событиями и соответствующими комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные события.

Достоверным называется такое событие, которое наступает каж­ дый раз при реализации данного комплекса условий. Достоверное событие обозначим через U.

Невозможным называется событие, которое никогда не насту­ пает при реализации данного комплекса условий. Невозможное со­ бытие обозначим символом 0.

Случайным называется событие, которое может либо наступить при реализации данного комплекса условий, либо не наступить. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий. Случайные события обозначим через А, В, С...

Согласно теоретико-множественному подходу при рассмотре­ нии понятия «случайное событие» введем понятие «элементарное событие».

Элементарное событие — это один из нескольких возможных, но несовместных исходов того или иного опыта (испытания). Со­ вокупность или множество их составляют пространство элементар­ ных событий.

В общем случае пространство элементарных событий может быть любой природы: конечным и бесконечным, дискретным и не­ прерывным. Пространство элементарных событий является сино­ нимом достоверного события, так как один из его элементов не­ пременно наступит. Кроме того, существует понятие «пустое мно­ жество». Это множество, не содержащее элементарных событий. Очевидно, что пустое множество является синонимом невозмож­ ного события. При изучении случайных событий в ходе разработ­ ки математических моделей экономических систем используется, как правило, не одно, а группа событий, между которыми сущест­ вуют определенные соотношения, позволяющие выражать одни со­ бытия через другие.

Рассмотрим эти соотношения.

/. Событие А содержится в событии В (А с. В). Если при каж­ дом испытании, при котором происходит событие А, непременно происходит и событие В, то говорят, что событие А содержится в событии Д или принадлежит событию В,

2.Тождественные события {А = В). Если событие А содержится

всобытии в, а событие В содержится в событии А, то говорят, что события An В тождественны, или равносильны.

J. Произведение событий. Произведением (или пересечением) событий А VI В называется событие С, состоящее в совместном на­ ступлении этих событий. Другими словами, множество С содержит элементы, принадлежащие множествам А и В. Произведение собы­ тий записывается в виде:

С = А В или С = А п В,

(1.1)

А=АА,

где п — знак пересечения.

4. Несовместные события. События А и В называются несо­ вместными, если их совместное появление при испытании невоз­ можно. Условие несовместности записывается в виде:

АВ = 0.

(1.2)

5.Сумма событий (объединение событий). Суммой событий А и

Вназывается событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного

из этих событий. Множество С содержит элементы, принадлежа­ щие хотя бы одному из множеств А или В:

С = А + В или С = Аи В,

(1.3)

A=A-hA,

где U - знак объединения.

6. Полная группа событий. События А и В составляют полную группу событий, если при реализации заданного комплекса усло­ вий непременно появится хотя бы одно из этих событий. Сумма всех таких событий есть событие достоверное:

С==А + В= и.	(1.4)
7. Противоположное событие. Два события АиА	(читается «не

А») называются противоположными, если они составляют полную фуппу несовместных событий, т.е. удовлетворяют условию:

А + А= U; А • А= 0.

(1.5)

Всякому событию при данном комплексе условий соответству­ ет определенная степень возможности. Более возможные события при многократных испытаниях в среднем наступают чаще, а менее возможные — реже. Частотой события называется отношение чис­ ла испытаний, в которых появилось данное событие, и общего чис­ ла испытаний. Частота события А равна:

	п	(1.6)
где п	— общее число проведенных испытаний;

т(А) - число испытаний, в которых наступило событие А.

Частота достоверного события (/равна единице:

p*(f/) = - = l.

п

Частота невозможного события равна нулю:

/>*(0) = - = О.

п

Частота случайного события А находится в интервале [0;1]:

О < Р*{А) < 1.

7

Следует отметить, что частота случайного события обладает ус­ тойчивостью, что доказывается и формулируется в теореме Я. Бернулли, относящейся к закону больших чисел.

Свойство устойчивости частоты случайного события отражает связь между комплексом условий и возможностью наступления событий при данном комплексе. Количественной мерой степени возможности появления события для заданного комплекса усло­ вий является вероятность события. Чем более возможно появле­ ние случайного события, тем больше его вероятность. Наоборот, чем менее возможно появление события, тем меньше его вероят­ ность.

Вероятность и частота события тесно связаны между собой. Зная частоту, вычисленную при достаточно большом числе испы­ таний, есть все основания считать ее близкой к соответствующей вероятности и полагать, что

Р{Л)^Р*{Л) = ^^^.

(1.7)

Такой способ определения вероятности события Р(А) называет­ ся статистическим.

Свойства вероятностей событий

1. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. Р(0) = 0.

2^Для любого события А вероятность противоположного собы­ тия Л равна:

Р(А) = 1-Р{А).	(1.8)
3. Если событие А влечет за собой событие Д т. t. Аа	В, то
Р{А) < Р(В).	(1.9)

4. Вероятность события А заключена между нулем и единицей,

т. е.

0<Р(А)<1. (1.10)

5. Вероятность двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Р{А + В) = Р(А) + Р{В) - Р(АВ).

(1.11)

Вероятность события определяется при условии реализации не­ которой совокупности условий. Если никаких ограничений, кроме упомянутых условий, при вычислении вероятности Р(А) не налага­ ется, то такие вероятности называются безусловными. Однако в ря­ де случаев приходится находить вероятности событий при условии, что произошло некоторое событие В, имеющее положительную ве­ роятность. Такие вероятности называются условными и обозначают­ ся Р(А/В).

Событие А называется независимым от другого события В, если вероятность события А не изменяется от того, наступает событие В или нет. В противоположном случае событие А называется зависи­ мым от события В. Следовательно, если события А и В независи­ мые, то Р(А/В) = Р(А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность дру­

гого при условии, что первое произошло:
Р(АВ) = Р(А) • Р(В/А) = Р{В) . Р{А/В).	(1.12)
Вероятность произведения независимых событий равна:
Р{АВ) = Р(А) ' Р(В).	(1.13)

Вероятность произведения п случайных событий равна произ­ ведению вероятности одного из них на условные вероятности ос­ тальных, вычисленных при условии, что все предшествующие со­ бытия произошли.

Правило сложения вероятностей двух событий записывается сле­ дующим образом:

Р(А + 5) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

(1.14)

Читается это правило так: вероятность наступления хотя бы од­ ного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

Если события несовместны, то правило сложения вероятностей принимает вид:

Р{А + В) = Р(А) + Р(В).

(1.15)

Если несовместные события составляют полную группу, т. е.

Ai + А2 + .,. + А^ = и и AiAj = 0, / Ф],

то	п	п	(1.16)
	Р\ ЕЛ	= Х Д 4 ) = 1.

9