Гладков_Кулютникова Информатика

93Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

1)условие окончания рекурсии (опорное условие рекурсии или “ якорь”), в котором задается какое-то фиксированное значение, заведомо достигаемое в ходе рекурсивного вычисления и позволяющее организовать своевременную остановку вычислительного процесса. Выполнение этого условия не должно повлечь за собой нового рекурсивного вызова.

2)вычисление значения с помощью самовызова функции (рекурсивный вызов).

Задача 1. Напишите итерационную и рекурсивную функции вычисления факториала. Решение. Итерационное вычисление факториала осуществляется следующим образом: n! = 1·2·3·...·n,что осуществляется путем умножения передыдущего значения

факториала на i.

function factorial (n: integer): real; var f: real;

i: integer; begin

if (n = 0) or (n = 1) then factorial := 1 else

begin f := 1;

for i := 2 to n do f := f * i; factorial := f

end;

end;

Рекурсивное определение факториала:

1, n = 0; n = 1,

n! = n ×(n -1)!, n > 1.

В первой строке определения явно указано, как вычислить факториал, если аргумент равен нулю или единице. В любом другом случае для вычисления n! необходимо вычислить предыдущее значение (n-1)! и умножить его на n. Уменьшающееся значение гарантирует, что в конце концов возникнет необходимость найти 1! или 0!, которые вычисляются непосредственно.

function factorial (n: integer): real; {рекурсивное вычисление факториала} var f: real;

i: integer; begin

if (n = 0) or (n = 1) then factorial := 1 else factorial := factorial (n - 1) * n;

end;

Чтобы понять, как будет выполняться эта программа, вспомним, что на время выполнения вспомогательного алгоритма основной алгоритм приостанавливается. При вызове новой копии рекурсивного алгоритма вновь выделяется место для всех переменных, объявляемых в нем, причем переменные других копий будут недоступны. При удалении копии рекурсивного алгоритма из памяти удаляются и все его переменные.

Активизируется предыдущая копия рекурсивного алгоритма, становятся доступными ее переменные. Пусть необходимо вычислить 4! Основной алгоритм: вводится n=4, вызов factоrial(4). Основной алгоритм приостанавливается, вызывается и работает factorial(4): 4<>1 и 4 <> 0, поэтому factorial:=factorial(3)*4. Работа функции приостанавливается,

вызывается и работает factorial(3): 3<>1 и 3<>0, поэтому factorial:=factorial(2)*3. Заметьте,

94 Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

что в данный момент в памяти компьютера две копии функции factorial. Вызывается и работает factorial(2): 2<>1 и 2<>0, поэтому factorial:=factorial(1)*2. В памяти компьютера уже три копии функции factorial и вызывается четвертая. Вызывается и работает

factorial(1): 1=1, поэтому factorial(1)=1.

Работа этой функции завершена, продолжает работу factorial(2). factorial(2):=factorial(1)*2 =1*2=2. Работа этой функции также завершена и продолжает

работу функция factorial(3). factorial(3):=factorial(2)*3=2*3=6. Завершается работа и этой

функции и продолжает работу функция factorial(4). factorial (4):=factorial(3)*4=6*4=24.

Значение функции при n=4 равно 24.

Рекурсивная форма организации алгоритма обычно выглядит изящнее итерационной и дает более компактный текст программы, но при выполнении, как правило, медленнее и может вызвать переполнение стека (при каждом входе в рекурсивную процедуру или функцию ее локальные переменные размещаются в особым образом организованной области памяти - стек).

Упражнение. Напишите рекурсивную функцию вычисления n-ого числа Фибоначчи.

РАБОТА С ГРАФИКОЙ

Турбо-Паскаль дает возможность выводить на экран рисунки, чертежи, графики функций, диаграммы. Все это называют машинной графикой. В стандарте Паскаля графический вывод не предусмотрен. Но есть мощная графическая библиотека, оформленная в виде модуля Graph, для подключения которого необходимо в начале программы написать:

Uses Graph;

Для вывода графических изображений необходимо перевести экран в графический режим. Графический режим характеризуется:

*количеством точек (пикселов) по горизонтали и вертикали, светимостью которых можно управлять, обращаясь к ним по координатам. Координата верхнего левого угла - (0,0); координата Х изменяется слева направо, максимальная координата по Х определяется функцией GetMaxX; координата Y изменяется сверху вниз, максимальную координату по Y определяет функция GetMaxY.

*количеством воспроизводимых на экране цветов (палитра).

Допустимые графические режимы зависят от типа используемого монитора и соответствующего графического драйвера компьютера. Для установки графического режима используется процедура: Procedure InitGraph (Var Driver, Mode: integer; Path: string). Driver определяет тип графического драйвера, Mode - режим работы графического драйвера, Path - путь до файла графического драйвера. Таким образом, для инициации графического режима необходима следующая последовательность операторов:

Uses Graph;

Var Driver, Mode: integer; Begin

Driver := Detect; {автоматическое определение типа драйвера и установка режима}

InitGraph (Driver, Mode, ‘C:\TP7\BGI’);

	.......
CloseGraph; {отмена графического режима и возврат в текстовый режим}
end.
В графическом режиме используются следующие операторы:
Цвет фона	SetBkColor (цвет); цвет может иметь значение 0÷7 или
	эквивалентное английское название

95 Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

Цвет рисунка SetColor (цвет); цвет может иметь значение 0÷15.

(соответственно: 0 - Black - черный; 1 - Blue - синий; 2 - Green - зеленый; 3 - Cyan -
голубой; 4 - Red - красный; 5 - Magenta - фиолетовый; 6 - Brown - коричневый; 7	-
LightGrey - светло-серый; 8 - DarkGrey - темно-серый; 9 - LigthBlue - ярко-голубой; 10	-
LigthGreen - ярко-зеленый; 11 - LigthCyan - ярко-голубой; 12 - LigthRed - розовый; 13	-
LigthMagenta - малиновый; 14 - Yellow - желтый; 15 - White - белый; 128 - Blink	-

мерцающий).
Высвечивание точки с координатами Х, Y на экране				PutPixel (X, Y, цвет).
Перемещение курсора в точку (Х, Y)				MoveTo (X, Y).
Прямая линия между точками (X1, Y1) и (X2, Y2)				Line (X1, Y1, X2, Y2).
Прямая линия от текущей точки до точки (X, Y)LineTo (X, Y).
Прямоугольник с верхним левым углом (X1, Y1)
и нижним правым (X2, Y2)			Rectangle(X1, Y1, X2, Y2).
Закрашенный прямоугольник с верхним левым
углом (X1, Y1) и нижним правым (X2, Y2)				Bar (X1, Y1, X2, Y2).
Установление цвета закраски				SetFillStyle (штриховка, цвет).
(штриховка: 0 - цвет фона;		1 - сплошная;	2 - ‘- - - ‘;			3 - ‘///’;
4 -‘///’ утолщенные;	5 - ‘\\\’	утолщенные;	6 - ‘\\\’;		7 -	клетка;
8 - косая клетка;	10 - редкие точки;		11 - частые точки).
Закрашивание области				FloodFill (X, Y, цвет границы) ,
где X, Y - координаты точки внутри области.
Окружность			Circle (X, Y, радиус).
Задача 1. Нарисуйте домик в графическом режиме.
Решение.
{рисование домика}
Uses Graph;
Var Driver, Mode : integer;
begin
{переход в графический режим}
InitGraph (Driver, Mode, ‘C:\TP7\BGI’);
SetBkColor (6);		{фон - коричневый}
SetColor (2);		{цвет линий - зеленый}
Rectangle (200, 200, 400, 400);
Line (200, 200, 300, 150);
Line (300, 150, 400, 200);
{рисование окна}
Rectangle (250, 250, 350, 350);
Line (250, 280, 350, 280);
line (300, 280, 300, 350);
{рисование солнышка}
SetColor (14);		{цвет линий - желтый}

Circle (100, 100, 30);

{рисование лучей}

Line (65, 100, 40, 100); Line (100, 65, 100, 40); Line (135, 100, 160, 100);

Line (100, 135, 100, 160);

Line (125, 125, 145, 145); Line (55, 55, 75, 75);

96 Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

Line (125, 75, 145, 55);

Line (55 145, 75, 125); readln;

CloseGraph;

end.

Упражнения.

1.Нарисуйте домик в символьном режиме, используйте при этом процедуры модуля CRT (GoToXY (x, y) - перемещение курсора в точку с координатами (x, y); TextBackGround (цвет) - цвет фона; TextColor (цвет); ClrScr - очистка экрана).

2.Нарисуйте в графическом режиме лампочку, которая зажигается и гаснет.

3. Нарисуйте в графическом режиме паровозик.

4.Измените программу таким образом, чтобы паровозик двигался. Примечание: движение получается, если каждый раз рисовать паровозик на новом месте. При изменении координаты Х с отрицательным шагом паровозик будет двигаться влево, иначе - вправо.

5.Измените программу так, чтобы паровозик уезжал за пределы экрана и

возвращался с другой стороны.

Задача 2. Нарисуйте график функции y = |x - 2| на отрезке - 25 до 25.

Решение. Сначала необходимо начертить оси координат и подписать их. Оси необходимо выбирать таким образом, чтобы они пересекались. Поскольку мы перенесли начало координат в точку пересечения осей и направление оси Y изменилось на противоположное, координаты точек на экране будут определяться следующим образом:

X = X0 + абцисса; Y = Y0 - ордината,

где X0, Y0 - координаты точки пересечения осей X и Y, т.е. центра новой системы координат.

Теперь необходимо выбрать масштаб по осям X и Y. Масштаб показывает какая часть экрана изображает единицу графика. Чтобы задать масштаб необходимо определить размеры экрана, отводимые под график. Для определенности будем считать, что весь экран будет отведен под график, поэтому:

mx = GetMaxX/(Xmax - Xmin + 1) = GetMaxX/(25 - (-25) + 1).

97 Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

Для оси Y необходимо определить Ymax и Ymin (соответственно |-25 -2| = 27 и 0). Весь график будет выше оси X. Будем использовать для изображения отрезка [0; 27] GetMaxY div 2 точек, поэтому my := GetMaxY div 2/ 30.

Затем необходимо нанести единицы измерения на оси, ось Х разметим с шагом 5, ось Y - с шагом 1.

Теперь можно приступить к построению графика функции. Будем строить графики, соединяя соседние точки линейными отрезками. Для достижения плавности нужно увеличивать количество точек.

Uses Graph;
var	driver, mode: integer;	{для инициализации графического режима}
	x0, y0: integer;	{ координаты центра}
	x, y, i: integer;	{ координаты текущей точки
		i - счетчик циклов}
	mx, my: real;	{масштабы}
begin	s: string;	{для разметки осей}
driver := detect;
InitGraph (driver, mode, ‘C:\TP7\BGI’);
SetBkColor (7); SetColor(1);
x0 := GetMaxX div 2;
y0 := GetMaxY div 2;
{рисуем оси координат}
{ось X}
line	(0, y0, GetMaxX, y0);	line (GetMaxX, y0,	GetMaxX - 10, y0 -10);
{прорисовка}			{→}
line (GetMaxX, y0, GetMaxX - 10, y0 +10);
OutTextXY (GetMaxX - 10, y0 - 15, ‘X’);
{ось Y}
line (x0, 0, x0, GetMaxY); line (x0, 0, x0 - 10, 10);			{прорисовка}
line (x0, 0, x0 + 10, 10);			{−}

OutTextXY (x0 - 20, 5, ‘Y’);

mx := GetMaxX/(25 - (-25 + 2)); my := GetMaxY div 2/30; {нанесение единиц измерения на оси}

for i := -25 to 25 do

begin x := x0 + round (i * mx);

if i mod 5 = 0 then begin line (x, y0 - 2, x, y0 + 2);

str (i, s); OutTextXY (x + 4, y0 + 2, s)

end;

end;

for i := -30 to 30 do

begin y := y0 - round (i * my);

if i mod 5 = 0 then begin line (x0 - 2, y, x0 +2, y);

str (i, s); OutTextXY (x0 + 4, y, s)

end;

end;

{вывод графика}

x := x0 + round (-25 * mx); y := y0 - round (30 * my); MoveTo (x, y);

for i := - 24 to 25 do

98 Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

begin x := x0 + round (i * mx);

y := y0 + round (abs(i - 2) * my);

end;

OutTextXY (x0 + 50, y0 + 200, ‘график функции y = |x-2|’); readln;

CloseGraph;

end.

Упражнения.

1.Напишите программу вывода графика функции y = x - 2на участке - 25 до 25 в символьном режиме.

2.Напишите программу вывода в графическом режиме графика функции y = a + sin (x - b) на отрезке - 10 до 15.

Задача 3. Выведите на экран орнамент. Повторяющийся фрагмент выделен пунктиром. Прорисовка этого фрагмента будет оформлена в виде процедуры. В качестве параметров используются координаты верхнего левого угла.

Uses Graph;

var	driver, mode: integer;
	x, y : interger;

procedure cadr (x, y: integer); begin

rectangle (x + 10, y + 10, x + 30, y + 30);

line (x, y, x + 10, y + 10); line (x + 40, y, x + 30, y + 10);

line (x, y + 40, x + 10, y + 30); line (x + 40, y + 40, x + 30, y + 30); end;

begin {тело основной программы} driver := detect;

InitGraph (driver, mode, ‘C:\TP7\BGI’); x := 0;

while x <= GetMaxX do begin

y := 0;

while y <= GetMaxY do begin

cadr (x, y); y := y + 40

end;

x := x + 40;

end;

readln;

CloseGraph;

end.

Упражнения.

1. Внести такие дополнения в программу, чтобы:

99Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

∙узор был цветным;

∙у каждой строки узора был свой цвет;

∙цвет менялся от фрагмента к фрагменту.

2.В примере 3 повторение фрагмента осуществляется сначала по горизонтали, затем по вертикали. Измените программу так, чтобы узор выводился сначала по вертикали, а затем по горизонтали.

3.Измените шаг узора по вертикали и горизонтали.

4.Почему настройка на графический режим сделана в основной программе, а не в процедуре? Как будет работать программа, если сделать настройку в процедуре?

5.Напишите процедуру рисования елочки. Используя эту процедуру, нарисуйте еловый лес.

КЛАССЫ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

Компьютер представляет собой совокупность аппаратного и программного обеспечения (computer = hardware + software).

Аппаратное обеспечение – это, прежде всего, сами компьютеры, которые мы видим на столах в классах, в кабинетах и офисах и все чаще у себя дома.

Программное обеспечение - это вторая равноправная часть компьютера. Без программ любая аппаратура представляет собой груду железа.

Программное обеспечение делится на два больших класса:

*системное - управляет работой аппаратных средств и обеспечивает услугами пользователя и его прикладные программы, является, по сути, продолжением аппаратных средств. В первую очередь это - операционные системы и дополняющие их программные модули (системные программы "утилиты", драйверы периферийных устройств), а также программы архивирования (сжатия), антивирусные средства, диагностические программы и пр.);

*прикладное, с помощью которого решаются на компьютере конкретные задачи, в определенной области деятельности. Оно весьма разнообразно. К нему относятся

редакторы, электронные таблицы, системы управления базами данных.

Операционная система (ОС) - система программ для управления работой компьютера. ОС организует диалог пользователя с компьютером, управляет распределением и использованием ресурсов машины (оперативной и дисковой памяти), работой всех аппаратных элементов компьютера (клавиатуры, монитора, дисководов, принтеров и пр.), реагирует на особые состояния в работе компьютера, прерывания. Любая ОС содержит средства для управления внешними устройствами, средства поддержки командного языка, средства для работы с файлами (файл - поименованная совокупность данных, записанная на жесткий или гибкий магнитный диск).

Каждый файл должен иметь обозначение (имя), по которому пользователь и ОС распознают и используют файл. Имя файла состоит из двух частей: собственно имени и расширения, которое начинается с точки и может отсутствовать (имя.расширение - TASK.EXE). Расширение имени, как правило, уточняет происхождение, назначение или принадлежность файла к какой-либо группе. В файлах хранится любая информация, которая может быть обработана компьютером: текстовые документы, тексты программ, условные коды, программы на машинном языке и пр.

Файлы появляются на диске в результате работы различных программ - текстовых редакторов, электронных таблиц, компиляторов языков программирования, информационных систем. Некоторые файлы создаются пользователями, которые сами присваивают им имена. Другие файлы создают программы для своих целей, которые иногда известны пользователю, а иногда и нет.

100Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

Важнейшие характеристики файла - имя, длина (в байтах), дата и время создания или обновления.

Для работы с файлами пользователю необходимо знать командный язык, с помощью которого он сможет вносить изменения в содержимое файлов, посмотреть на экране каталог файлов, скопировать их на другие носители, переименовать, стереть и пр. Файловая система имеет защиту от возможного искажения или стирания каких-либо очень важных файлов, например, тех, где хранится ОС.

Ядро ОС постоянно находится в оперативной памяти компьютера и отслеживает все исключительные состояния, обеспечивает их обработку, организует связь пользователя и компьютера.

Существует несколько вариантов ОС для персональных компьютеров, наибольшее распространение получили MS-DOS, Windows, UNIX, OS/2.

Упражнения.

1.Какие системные команды Вы знаете? Как они выполняются?

2.Почему в разных каталогах можно хранить файлы с одинаковыми именами, а в одном нельзя?

3.Какие расширения файлов Вы знаете? Что они обозначают?

Компиляция и интерпретация

Программа - набор машинных команд, которые необходимо выполнить компьютеру для реализации некоторого алгоритма. Необходима программа-посредник для того, чтобы перевести исходный текст на язык машинных кодов. Такие программы называются

трансляторы.

Существует два типа трансляторов:

*компилятор - переводит весь исходный текст в машинный код и записывает его на диск в форме исполняемого файла. После этого программа выполняется независимо от исходного текста;

*интерпретатор - всегда работает вместе с исходным текстом программы, разбирает каждую команду исходного текста и сразу выполняет ее, при этом результаты предыдущих переводов в памяти не сохраняются, при выполнении одной и той же команды она снова будет транслироваться (файл на машинном языке при этом не образуется).

Таким образом, при компиляции исполнение программы разбивается на два этапа: трансляция и выполнение. При интерпретации трансляция и выполнение совмещены, программа на компьютере исполняется за один этап. Однако откомпилированная программа выполняется быстрее, чем интерпретируемая. Поэтому использование компилятора удобнее для больших программ, требующих быстрого счета. Программы на Паскале, Си всегда компилируются, Бейсик чаще всего реализован как интерпретатор.

Упражнения.

1.У Вас есть рецепт приготовления кулинарного блюда на иностранном языке. Опишите процесс обработки этого рецепта компилятором и интерпретатором. Что будет получено в результате?

2.Как выполняется тело оператора цикла при компиляции и интерпретации?

Текстовый редактор

Для создания, просмотра и модификации (редактирования) текстовых документов используются специальные прикладные программы, которые называются редакторами

101Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

текстов. Текстовые редакторы позволяют легко вносить изменения в текст, тиражировать весь текст или его отдельные части, копировать и др.

Основные функции редакторов:

*ввод алфавитно-цифровой информации;

*перемещение по набранному тексту;

*удаление, вставка, копирование символов, строк, фрагментов текста;

*контекстная замена;

*поиск в тексте;

*форматирование текста;

*нахождение ошибок;

*использование различных шрифтов;

*разбивка на страницы;

*автоматическое оглавление.

Текстовые редакторы можно условно разделить на три группы:

*редакторы общего назначения (ЛЕКСИКОН, Microsoft Word и др.);

*редакторы исходных текстов программ (Multi-Edit и встроенные редакторы систем программирования Basic, Turbo Pascal, C и т.д.) позволяют набрать и отладить программу на алгоритмическом языке;

*издательские системы (Aldus PageMaker, Corel Ventura, QuarkPress) только для подготовки набранного документа к тиражированию (верстка, макетирование издания).

Упражнение.

1.В чем сходство и различие текстовых редакторов для подготовки документов и программ. Приведите не менее трех сходств и различий.

Электронные таблицы

Для решения задач, которые можно представить в виде таблиц, разработаны специальные пакеты программ, которые называются электронными таблицами.

Электронные таблицы позволяют хранить в табличной форме большое количество исходных данных, результатов, а также связей (математических соотношений) между ними. Но главное достоинство электронных таблиц состоит в том, что при изменении исходных данных все результаты автоматически пересчитываются и заносятся в таблицу.

Основные операции с электронными таблицами:

*сохранять, извлекать из памяти и корректировать данные;

*вносить дополнения, уточнения и пересчитывать заново;

*выводить на печать табличную информацию (всю или ее часть) и представлять ее графически в виде диаграмм;

*расчетные операции с использованием формул, математических и логических функций;

*масштабирование изображения электронной таблицы на экране;

*перемещение, копирование, вставка, удаление ячеек;

*защита таблицы или ее ячеек от несанкционированного изменения.

Области применения электронных таблиц весьма велики. Они используются при решении различных экономических и инженерных задач, можно использовать и в повседневной жизни для учета и анализа расходования денежных средств, могут использоваться и как обычные калькуляторы.

Вид: вверху - главное меню команд, в нижней строке подсказка, посередине - электронная таблица. Строка между главным меню и электронной таблицей - строка редактирования. В ней набирают все, что хотят поместить в таблицу. Перемещение по клеткам таблицы осуществляется с помощью стрелок. В любую клетку можно вставить

102Гладков В.П., Кулютникова Е.А. Пособие по информатике для самообразования.

символ, цифру или формулу. Формулы в электронной таблице всегда начинаются со знака равенства. Любая формула автоматически пересчитывается, если изменить хотя бы одно из значений, входящих в эту формулу. В формулу могут входить числа и переменные, роль которых выполняют имена клеток таблицы. Особенность: формулы должны быть записаны в одной строке.

Электронная таблица может иметь заголовок, а строки и столбцы могут иметь имена.

Числа: целые, вещественные, дробные, положительные, отрицательные.

Операции: ‘ + ’ , ‘ - ‘ , ‘ * ‘ , ‘ / ‘ , ‘ ^ ‘ , ‘ ( ‘ , ‘ ) ‘ .

Функции: ABS(x), ACOS(x), ASIN(x), ATAN(x), COS(x), EXP(x), INT(x), LN(x),

LOG(x), MOD(x, y), PI(), SIN(x), SQRT(x), TAN(x).

Конечно же, в электронной таблице может быть не одна формула. При этом результат вычислений по одной формуле используется при вычислении следующей.

В электронную таблицу включены специальные средства, называемые деловой графикой. Графики, полученные на основе данных из таблицы, называются диаграммами.

Пример. Исходные данные - четыре числа, каждое из которых оценка за соответствующую четверть по конкретному предмету. На основании этих исходных данных найдем среднюю оценку по каждому предмету и средний балл за каждую четверть.

	A	B	C	D	E	F	G
1		Оценки по предметам Иванова И.И. за 2000-2001 уч. год
2		Матем.	Рус. яз.	Литерат.	Информ.	Англ. яз.
3	I четв.	5	5	5	5	4	=СУММ(B3:F3)/5
4	II четв.	4	5	5	4	4	=СУММ(B4:F4)/5
5	III четв.	5	4	5	5	3	=СУММ(B5:F5)/5
6	IV четв.	3	5	5	4	4	=СУММ(B6:F6)/5
7		=СУММ	=СУММ	=СУММ	=СУММ	=СУММ
		(B3:B6)/4	(C3:C6)/4	(D3:D6)/4	(E3:E6)/4	(F3:F6)/4
8
9
10

Развитые электронные таблицы позволяют проводить анализ типа «Что будет, если...?» при изменении исходной информации или расчетных формул.

Наиболее известные электронные таблицы: Lotus, SuperCalc, QuattroPro, Microsoft

Excel.

Упражнения.

1.Опишите порядок построения с помощью электронной таблицы графика функции y = -sin (2x2 + 4x - 3) на отрезке от -2π до 2π.

2.Какие преимущества может дать обработка информации с помощью электронной таблицы по сравнению с обработкой вручную?

3.В каких областях деятельности человека могут быть использованы электронные таблицы?

4.Составьте 2-3 примера макетов электронной таблицы, в которой бы присутствовала исходная информация и не менее трех видов производной информации. Опишите формулы, по которым получается производная информация.