V₂

Р_вн

V₁

P_a

1

0,2

20 100 Т С

Рис 5.1. Физическая модель

самовара

Рис.5.2 График зависимости парциального давления насыщенного водяного пара от температуры

Составим уравнение теплового баланса:

, (5.1)

где q_вх – мощность нагревателя.

Количество тепла, необходимое для нагрева воды массой М_в с удельной теплоемкостью C_в на T - T₀ С,

, (5.2)

где q_вых – тепловой поток, затраченный на испарение воды;

q_вых = rg_п,

где r = 550 ккал/кг - удельная теплота парообразования.

g_п – весовой расход паров воды.

Рассмотрим два подхода классический и наглядно-смысловой к определению g_п.

5.1. Классический способ определения величины парового потока

Весовой расход паро-воздушной смеси, выводимой из самовара через сужающее устройство (дырочку в крышке) найдем по формуле [4]:

, (5.3)

где P_вн – давление в аппарате;

Р_а – атмосферное давление;

k_v – коэффициент, определяемый видом сужающего устройства (считается известным).

Расход пара, выводимого из аппарата, прямо пропорционален концентрации пара в смеси, а следовательно, отношению парциального давления паров воды к общему давлению в аппарате P.

. (5.4)

Таким образом, для определения нам необходимо знать общее давление в аппарате и парциальное давление паров воды, которые нам не известны. Значения этих параметров можно найти из условия материального баланса:

(5.5)

(5.6)

где , – масса паров воды и воздуха в аппарате, соответственно,

– весовой расход воды из аппарата.

(5.7)

– паровой поток с поверхности воды.

k_y – коэффициент массопередачи; [8];

S – площадь поверхности воды;

– парциальное давление насыщенного пара.

Проинтегрировать (численно) уравнение (4.6) не представляет проблем, а об интегрировании уравнения (4.5) следует поговорить особо.

Если в уравнение (4.5) подставить из (4.7), а массу выразить из уравнения состояния газа , где – число молей в аппарате, N – число Авогадро, то получим дифференциальное уравнение для расчёта которое, в принципе, нетрудно проинтегрировать.

. (5.8)

Но следует принять во внимание, что k_y настолько велико, что постоянная времени данного уравнения на два порядка меньше постоянной времени в дифференциальном уравнении теплового баланса. Действительно, известно, что влажность воздуха в чайнике близка к насыщению. Поэтому, если численно интегрировать уравнение (4.5), то шаг интегрирования придется взять от постоянной времени уравнения (4.5), а это означает, что время счета модели возрастет более чем на два порядка по сравнению с вариантом, при котором находится, как решение уравнения для установившегося режима при заданной скорости изменения . То есть на каждом шаге интегрирования считается . Рассмотренный подход к решению уравнения вполне корректен, хотя трудоёмкость его достаточно велика, а точность во многом зависит от точности коэффициента , значение которого точно определить трудно, так как массопередача зависит не только от свойств продуктов, но и от аппаратурного оформления. Поэтому ниже прилагается способ, основанный на понимании сущности процесса, а не на формальном его описании.

5.2. Наглядно-смысловой способ определения величины парового потока

В разделе 4.1 было показано, что парциальное давление пара в аппарате примерно равно давлению насыщенного пара . Из уравнения состояния газа видно, что давление пара прямо пропорционально количеству молей его в единице объёма,

. (5.9)

Так как общее давление в аппарате определяет общее количество молей в единице объёма, то это можно интерпретировать следующим образом: давление пара определяет долю объёма, занимаемую в .

Действительно, чем больше , тем больше молей паров в единице объёма, а это можно трактовать и так, что больше доля, занимаемая молекулами пара, в парогазовой смеси. Из сказанного следует, что объём, занимаемый парами воды, прямо пропорционален .

. (5.10)

Так как , то скорость вытеснения парогазовой смеси из аппарата пропорциональна скорости изменения . А это легко найти из известной зависимости давления насыщенного пара от давления (рис 5.2) и скорости изменения температуры (5.1, 5.2). Действительно, аппроксимировав зависимость от температуры Т полиномом, получим дифференцируемую функцию . Использовав эту функцию, получим выражение для объёмного расхода вытесненного пара:

. (5.11)

Используя (5.10), получим

. (5.12)

Так как объемный расход парогазовой смеси равен объёмному расходу вытеснившего его пара , то .

Зная объёмные расходы пара и воздуха, можно найти весовые расходы каждого из этих компонентов, так как зависимость плотности насыщенного пара от температуры задаётся в справочниках, а плотность воздуха в аппарате можно найти, зная парциальные давления пара и воздуха в аппарате:

, (5.13)

где  мольные массы воздуха и паров воды соответственно.

Формула (5.13) получена из уравнений состояния газа для пара и воздуха, в которых количество молей выражено через массы каждого из компонентов .