7.2. Моделирование непрерывных случайных величин

Пусть   непрерывная случайная величина, заданная интегральной функцией распределения.

,

где  плотность вероятности распределения случайной величины .

Для получения непрерывной случайной величины c заданным законом распределения воспользуемся методом обратной функции

(),

полученной решением уравнения

.

Преобразуем равномерно распределенную на интервале (0, 1) величину  в  с требуемой плотностью вероятности , имеющей интегральную функцию . Поясним данный метод. Допустим, нам задан закон распределения случайной величины , изображенный на рис. 7.1. Вероятность того, что реализация случайной величины будет меньше y, равна . На рис. 7.2 изображена функция, об-



y

1

F (y)





0 y 0  1 

Рис. 7.1. График функции распре- Рис. 7.2. График функции

деления . ().

ратная F(). Если случайная переменная  равномерно распределена на интервале (0,1), то вероятность того, что реализация функции () будет меньше y, будет равна . Таким образом, используя обратную функцию и датчик случайных чисел, равномерно распределённых на интервале (0,1) , можно смоделировать случайный процесс, распределённый по любому закону.

Моделирование случайной величины , распределённой по нормальному закону распределения, осуществляется следующим образом. Задаются параметры случайного процесса: m  математическое ожидание и   среднеквадратичное ожидание, тогда плотность вероятности запишется следующим образом:

. (7.1)

Для определения интегральной функции F() численно проинтегрируем уравнение (7.1) , но плотность вероятности задана в интервале , поэтому для практической реализации этой задачи диапазон должен быть сокращён. Воспользуемся для этого неравенством Чебышева.

P(|X - m_x| > n _x) < , (7.2)

где n  число, определяющее диапазон значений случайной переменной x в частях среднеквадратичного отклонения.

Если мы хотим получить модель случайного процесса с точностью 4%, то n следует выбрать равным пяти. Тогда пределы интегрирования следует задавать m_  5_, m_ + 5_. При интегрировании функции f() начальное значение F(m_  5_) следует принять равным 0,02 (2%), так как функция f() симметрична относительно математического ожидания.

Получить функцию F^-1() можно, воспользовавшись методом интерполяции сплайнами. Для этого функцию F() задают таблично в диапазоне [m_  5_, m_ + 5_] и по значениям этой таблицы методом интерполяции строят функцию F^-1(.). Если в качестве аргумента этой функции использовать значения, полученные от генератора случайных чисел, то мы получим модель случайного процесса с заданными значениями m_ и _.