Министерство образования Российской Федерации

Пермский государственный технический университет

Кафедра вычислительной техники

и автоматического управления

Математическое моделирование

Электронный конспект лекций

по курсу «Моделирование»

Утверждено Редакционно-издательским советом

Пермского государственного технического университета

в качестве учебного пособия

Пермь 2000

УДК 681.52

К69

Рецензенты: доктор техн. наук А.Л. Гольдштейн;

канд. физ.-мат. наук И.Г. Семакин (ПГУ)

Корсунский С.В.

К69 Математическое моделирование: Электронный конспект

лекций / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2000. 71с.

Приведена общая методология реализации задач математического моделирования, приведено краткое изложение математических методов, используемых при решении задач моделирования. Изложены методы моделирования детерминированных и стохастических процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных. Приведены методы восстановления зависимостей, распознавания образов, моделирования систем массового обслуживания. Описаны особенности создания многоуровневых моделей и приведены их примеры.

Ил. 10. Библиогр.: 10 назв.

УДК 681.52

 Пермский государственный

технический университет, 2000

Введение

Первая глава данного учебного пособия посвящена описанию основных стадий разработки математических моделей процессов. Для иллюстрации, приведен пример, наглядно демонстрирующий как все стадии проектирования, так и особенности выполнения работ на этих стадиях. Приведенные в этом примере подходы к выполнению этих работ, в основном, ориентированы на моделирование динамических детерминированных процессов. Подходы к разработке моделей других классов процессов излагаются в главах с 3 по 11. В главе 2 приведены численные методы интегрирования дифференциальных уравнений решения систем нелинейных уравнений и методы интерполирования, используемые в данной работе. Эти методы приведены только для справки и, если известны, то эту главу можно пропустить.

1. Основные стадии процесса математического

моделирования

Процесс математического моделирования включает следующие основные стадии:

1. Постановку задачи.

2. Изучение теоретических основ процесса.

3. Составление уравнений модели.

4. Построение модели.

5. Выбор метода решения (логический, аналитический, численный).

6. Анализ. Решение.

Постановка задачи. Постановка задачи не формализуется. Она определяет не только цель анализа, но и пути достижения цели.

Изучение теоретических основ процесса. Эта стадия включает в себя определение фундаментальных законов, которым подчиняется исследуемый процесс. Теоретические основы изучаются по разным литературным источникам для получения полного представления о процессе. Если нет подходящей теории, следует прибегать к постулатам, проверяя их справедливость и сравнивая результаты моделирования с экспериментальными данными. Таким образом находят более подходящую теорию.

Составление уравнений модели. На основе выбранной физической модели, применительно к реализуемой задаче, запишем систему уравнений. На данном этапе не производим действий, кроме упрощения уравнений путем пренебрежения незначительными членами. Отбрасывая их, нужно убедиться, что этот член действительно незначителен в течение всего хода решения задачи. В некоторых случаях возможно исключение целого уравнения. Таким образом, уравнение нужно изучить поэлементно и по возможности заменить слабо влияющие элементы постоянными средними значениями.

Построение модели. Когда общие уравнения составлены, определяем метод решения системы. Производим естественное расположение уравнений с помощью построения блочной поточно-информационной диаграммы (схемы связи отдельных стадий процесса).

Вычислительной стадии предшествует еще один этап  анализ информации, которую нужно получить при решении модели. Составляем таблицу различных случаев и информации, которые ожидаются для каждого случая. Можно обнаружить избыточность ситуации и облегчить составление программы расчета.

Выбор метода решения. Выбираем один из способов решения данной задачи.

Анализ. Решение. На данном этапе необходимо произвести проверку адекватности, получить прогнозы на интересующих режимах, проанализировать результаты. Любому не предполагаемому результату нужно дать рациональное объяснение, чтобы гарантировать себя от ошибок.

Пример.

Дана емкость:

высота емкости H = 100 см;

диаметр D = 20 см.

Начальное значение уровня в емкости hв = 20 см.

Рис 1.1 Характеристика насоса: зависимость давления (Р)

от потока g

Обозначим:

объем заполненной водой части емкости – V1;

объем пустой части – V2;

давление нагнетания насоса – Р;

клапаны – В1 и В2;

объемные значения входящего и выходящего потоков – g1 и g2.

1. Постановка задачи. Проанализировать процесс заполнения емкости при заданных степенях открытия клапанов В1, В2 и наличии «воздушки».

2. Теоретические основы процесса. Закон сохранения материи . Закон, определяющий зависимость объёмного расхода жидкости через сужающее устройство:

где  перепад давления на сужающем устройстве.

Уравнение состояния идеального газа

g1

В1 h H

В2 g2

Рис. 1.2. Физическая модель аппарата

3. Составление уравнений модели. Запишем основные законы, используемые в данной задаче.

Масса воды в аппарате:

Материальный баланс:

Так как для воды кг/л, то весовой расход численно равен объёмному, поэтому

,

где Р1  давление на нагнетании насоса;

Р0, Р2  давление, создаваемое весом столба воды на уровне ввода трубы от насоса в аппарат и уровне вентиля В2 соответственно;

Ра  атмосферное давление.

Так как сопротивление «воздушки» можно принять равным нулю, то избыточное давление воздуха в аппарате равно атмосферному.

4. Составление блочной схемы модели.

g1 Р0

Р1

Рис. 1.3. Пример корректно составленной блок–схемы модели,

отражающий причинно–следственные связи

g1 P1

h

g2 h

Рис. 1.4. Пример некорректно составленной блок–схемы модели, не отражающий причинно–следственные связи

5. Способ решения.

Дифференциальное уравнение

 уравнение первого порядка. (1.1)

Для решения его необходимо знать начальное значение h(0). Зная h, последовательно находим P2, g2 и P0.

Уравнения

(1.2)

образуют систему двух нелинейных уравнений, для решения которых нужно выбрать метод. Зная g1 и g2, возвращаемся к дифференциальному уравнению (1.1), которое можно решить численным методом (метод нужно выбрать).

6. Решение.

По полученной модели строим переходный процесс и проверяем результат для установившегося режима (т.к. параметры установившегося режима легко определяются аналитически).