- •Министерство образования Российской Федерации
- •Введение
- •1. Принципы и структура сапр
- •1.1. Уровни проектирования
- •1.2. Классификация параметров объектов проектирования
- •1.3. Задачи проектирования
- •1.4. Стадии, аспекты и режимы проектирования
- •1.5. Компоненты сапр
- •1.6. Приципы построения комплексной сапр
- •2. Методы оптимизации
- •2.1. Постановка задачи оптимизации
- •2.2. Классификация критериев оптимальности и методов оптимизации
- •2.3. Классические методы исследования функций
- •2.4. Метод множителей лагранжа
- •Пример. Минимизировать
- •2.5. Метод куна – таккера
- •2.5.1. Условия Куна–Таккера
- •2.5.2. Необходимость условий Куна–Таккера
- •2.5.3. Достаточность условий Куна–Таккера
- •Требуется минимизировать
- •2.6. Оптимальное проектирование системы с распределенными параметрами
- •2.6.1. Вариационное исчисление
- •2.6.2. Частные случаи и примеры
- •2.7. Линейное программирование
- •2.7.1. Стандартная форма задач линейного программирования
- •2.6.2. Основы симплекс–метода
- •Из системы (2.20) при возрастании от 0 до 1 получаем новое решение:
- •Новое значение целевой функции находится по формуле
- •Относительная оценка небазисной переменной обозначается черези определяется по формуле
- •Пусть .
- •2.7.3. Целочисленное линейное программирование
- •2.8. Геометрическое программирование
- •2.8.1. Основные понятия и расчетные формулы
- •Где удовлетворяет указанным соотношениям.
- •Используя полученные выше неравенства и формулы, можно получить следующие соотношения между прямой и двойственной задачами.
- •2.8.2. Общий случай задачи гп
- •Двойственная функция этой задачи имеет вид
- •Задача 2. Пусть нужно минимизировать позином
- •2.8.3. Решение задач гп с ненулевой степенью трудности
- •3. Оптимальное проектирование
- •3.1.2. Цилиндрическая пружина кручения
- •3.1.3. Кольцевая колонна
- •3.1.4. Двутавровая балка
- •3.1.5. Колодочный тормоз
- •3.1.6. Подшипник скольжения
- •3.1.8. Анализ возможности применения метода геометрического программирования
- •3.1.8.1. Двухопорная цапфа
- •Вес маховика w и величина нагрузки на опоры с должны быть связаны неравенством
- •3.1.8.2. Стержневая конструкция
- •3.2. Расчет конструктивных элементов ракет
- •Решение
- •3.2.2. Цилиндрическая оболочка
- •3.2.3. Бак с жидкостью
- •Решение
- •3.3. Примеры апробированных задач проектирования
- •3.4. Газодинамические аспекты проектирования ракетных комплексов
- •3.5. Пример структурного синтеза зенитной пусковой установки
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Содержание
2.8.3. Решение задач гп с ненулевой степенью трудности
Для получения однозначного решения необходимо рассмотреть бидвойственную функцию
, (2.35)
которая обладает замечательным свойством, состоящим в том, что она не зависит от направления нормализованного вектора δ в двойственном пространстве. В дальнейшем это свойство используется для получения единственного направления вектора δ*.
При этом решение должно быть заменено более общим выражением вида
.
Последнее соотношение не зависит от двойственного вектора δ, поскольку последний лежит на гиперплоскости нормализации. Пусть δ' и δ" - два каких-либо двойственных вектора. Поэтому можно записать следующие выражения:
Разделив первое уравнение на второе, получим:
1 = (δ* | δ'''),
где δ''' = δ' - δ''.
Так как векторы δ' и δ" лежат на гиперплоскости нормализации, их разность δ"' представляет собой вектор невязки. Учитывая, что имеется d независимых векторов невязки, получаем следующие d независимых уравнений:
1 = V(δ* | b(s)), s = l,...,d. (2.36)
Теперь двойственная функция содержит d неизвестных, а именно d базисных переменных rs:
,
поэтому уравнений (2.36) достаточно для того, чтобы полностью определить базисные переменные.
При решении практических задач в формуле (2.36) удобно разделить известные постоянные и неизвестные базисные переменные. С этой целью, используя формулу (2.35), перепишем соотношение (2.36) в виде
.
Эти уравнения имеют такой же вид, что и уравнения равновесия в химии, поэтому называются уравнениями равновесия. Например, для задачи, представленной в п. 2.8.2, можно записать
,
что дает единственное уравнение равновесия:
.
После преобразований можно записать
.
Данное уравнение равновесия может быть непосредственно решено относительно r:
Если целевая функция является более сложной, например:
то соответствующее уравнение равновесия, которое необходимо решить численно, имеет вид
.
Следовательно, метод ГП можно отнести к классу аналитических при нулевой степени трудности, а при d > 0 необходимо решать одно или несколько нелинейных уравнений, что является относительно простой задачей при современном уровне вычислительной техники, поэтому ГП должно найти широкое применение при проектировании элементов и агрегатов, а также РК в целом.
3. Оптимальное проектирование
РАКЕТНЫХ КОМПЛЕКСОВ
3.1. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ И УЗЛОВ СТАРТОВЫХ
И ТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ
3.1.1. Ферменная конструкция
l
|
Для минимизации веса кронштейна, изображенного на рис.3.1, ЦФ является объём материала кронштейна f(F1, F2,, α), который находится по формуле: , где F1, F2 - площади поперечного сечения стержней.
|
Рис. 3.1. Расчетная схема
М
l
В соответствии со схемой нагружения усилия в стержнях определяются из следующих выражений:
, .
Из условия равнопрочности площади поперечных сечений стержней находятся по формулам
.
Следовательно, ограничения записываются в виде
,
а функция Лагранжа определяется из выражения
.
В соответствии с методом множителей Лагранжа расчетная система уравнений пяти уравнений с пятью неизвестными имеет вид
,
,
,
,
·
После выражения всех неизвестных через угол α первое уравнение системы имеет вид
поэтому следовательно, т.е.