- •Министерство образования Российской Федерации
- •Введение
- •1. Принципы и структура сапр
- •1.1. Уровни проектирования
- •1.2. Классификация параметров объектов проектирования
- •1.3. Задачи проектирования
- •1.4. Стадии, аспекты и режимы проектирования
- •1.5. Компоненты сапр
- •1.6. Приципы построения комплексной сапр
- •2. Методы оптимизации
- •2.1. Постановка задачи оптимизации
- •2.2. Классификация критериев оптимальности и методов оптимизации
- •2.3. Классические методы исследования функций
- •2.4. Метод множителей лагранжа
- •Пример. Минимизировать
- •2.5. Метод куна – таккера
- •2.5.1. Условия Куна–Таккера
- •2.5.2. Необходимость условий Куна–Таккера
- •2.5.3. Достаточность условий Куна–Таккера
- •Требуется минимизировать
- •2.6. Оптимальное проектирование системы с распределенными параметрами
- •2.6.1. Вариационное исчисление
- •2.6.2. Частные случаи и примеры
- •2.7. Линейное программирование
- •2.7.1. Стандартная форма задач линейного программирования
- •2.6.2. Основы симплекс–метода
- •Из системы (2.20) при возрастании от 0 до 1 получаем новое решение:
- •Новое значение целевой функции находится по формуле
- •Относительная оценка небазисной переменной обозначается черези определяется по формуле
- •Пусть .
- •2.7.3. Целочисленное линейное программирование
- •2.8. Геометрическое программирование
- •2.8.1. Основные понятия и расчетные формулы
- •Где удовлетворяет указанным соотношениям.
- •Используя полученные выше неравенства и формулы, можно получить следующие соотношения между прямой и двойственной задачами.
- •2.8.2. Общий случай задачи гп
- •Двойственная функция этой задачи имеет вид
- •Задача 2. Пусть нужно минимизировать позином
- •2.8.3. Решение задач гп с ненулевой степенью трудности
- •3. Оптимальное проектирование
- •3.1.2. Цилиндрическая пружина кручения
- •3.1.3. Кольцевая колонна
- •3.1.4. Двутавровая балка
- •3.1.5. Колодочный тормоз
- •3.1.6. Подшипник скольжения
- •3.1.8. Анализ возможности применения метода геометрического программирования
- •3.1.8.1. Двухопорная цапфа
- •Вес маховика w и величина нагрузки на опоры с должны быть связаны неравенством
- •3.1.8.2. Стержневая конструкция
- •3.2. Расчет конструктивных элементов ракет
- •Решение
- •3.2.2. Цилиндрическая оболочка
- •3.2.3. Бак с жидкостью
- •Решение
- •3.3. Примеры апробированных задач проектирования
- •3.4. Газодинамические аспекты проектирования ракетных комплексов
- •3.5. Пример структурного синтеза зенитной пусковой установки
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Содержание
3.2. Расчет конструктивных элементов ракет
3.2.1. Примеры решения вопросов по компоновке оборудования
Следующие примеры показывают возможность применения даже простых методов оптимизации для решения задач компоновки оборудования на ракете. В случае многофакторной оптимизации необходимо использовать метод целочисленного линейного программирования.
Пример 1.В шар радиусом R вписать прямой круговой конус максимального объема.
Решение
Обозначим: R-радиус шара; r - радиус основания конуса; - высота конуса, гдеx - расстояние от центра шара до основания конуса.
Используя очевидные соотношения, получим
; ;,
где V- объем конуса.
Следовательно, .
Экстремальные значения определяются из следующего выражения:
.
Решая квадратное уравнение, получим
,
т.е. ;.
.
Пример 2. Среди всех круговых конусов с данной образующей l найти корпус с наибольшим объемом.
Решение
Целевая функция имеет вид , гдеR – радиус основания конуса; h – высота конуса.
Учитывая соотношение: , можно записать
.
На основании :.
Следовательно, конус с ибудет иметь наибольший объем.
Пример 3. Определить размеры а, в и с параллелепипеда заданного объема V, который имел бы минимальную поверхность S.
Решение
Критерий оптимальности этой задачи (ЦФ) имеет вид
Ограничение на параметры a, b и c согласно условию задачи описывается выражением
Функция Лагранжа имеет вид
Следовательно:
Для получения расчетных формул выполним следующие действия: разделим первое уравнение системы на второе и первое – на третье.
;,a=b;
;,a=c.
Следовательно: a3=V; a=b=c=, поэтому.
Пример 4. Разместить в приборном отсеке ракеты приборы двух типов, масса каждого 2 кг, но один из них трехфункциональный, а другой – двухфункциональный; при этом, учитывая ограничение по общей массе в 7 кг, добиться максимальной эффективности приборов.
Решение
Математическая формулировка задачи выглядит следующим образом.
Максимизировать ЦФ
при ограничениях ;;,
где - целочисленные.
Начальный шаг решения этой задачи состоит в нахождении решения задачи линейного программирования (ЛП), получаемой при отбрасывании условий целочисленности и. Обозначим эту задачу через ЛП-1, решение которой представлено на рис. 3.10.
Рис. 3.10. Решение ЛП – 1 |
Из полученного графика видно, что найденное решение (x1 = 2; x2 = 1,5; f(x) = 9) не может быть оптимальным, целочисленным . Данное значение представляет собой верхнюю границу истинного оптимального целочислен-ного значения, поскольку при выполнении условия целочисленностизначениеможет только уменьшиться. |
Следующий шаг метода заключается в просмотре целочисленных значений , больших или меньших 1,5. Это делается путём добавления к задаче ЛП-1 ограничения либо, либо. Таким образом, из задачи ЛП-1 получаются две задачи следующего вида: ЛП-2 и ЛП-3, представленные соответственно на рис. 3.11 и 3.12.
Рис. 3.11. Решение ЛП – 2 |
Рис. 3.12. Решение ЛП – 3 |
В этих задачах наряду с первоначальным условием соответственно добавлены:
- для ЛП – 2 новое ограничение ,
- для ЛП – 3 новое ограничение , поэтому допустимая область в этом случае представляет собой просто отрезок АВ.
Изображённые допустимые области задач ЛП-2 и ЛП-3 обладают следующими свойствами.
1. Оптимальное решение задачи ЛП-1недопустимо для обеих задач ЛП-2 и ЛП-3. Таким образом, это решение не повторится.
2. Любое целочисленное (допустимое) решение исходной задачи допустимо для задачи ЛП-2 или ЛП-3. Таким образом, при введении этих задач не происходит потери допустимых (целочисленных) решений исходной задачи.
Оптимальное решение задачи ЛП-2 – точка (,), где. Следовательно, значениепредставляет собой нижнюю границу максимального значениядля смешанной задачи ЦЛП. Поскольку ранее была получена лишь верхняя граница, равная 9, нельзя утверждать, что решение ЛП-2 оптимально для исходной задачи. Следовательно, необходимо рассмотреть задачу ЛП-3. Однако её решение недопустимо для исходной задачи ЦЛП, поскольку, но при этом. Поэтому необходимо проверить существование в допустимой области ЛП-3 целочисленного решения, дающего значение. Для этого рассматриваются задачи ЛП-4 и ЛП-5, получающиеся при добавлении к ЛП-3 ограниченийисоответственно.
Рис. 3.13. Решение ЛП – 4 |
Допустимая область задачи ЛП-4 состоит из отрезка ДС, показанного на рис. 3.13, задача ЛП-5 не имеет допустимых решений. Итак, точка (,) из задачи ЛП-2 представляет собой оптимальное целочисленное решение исходной задачи, так как, т.е. большеиз ЛП-4.
|
Удобно представить последовательность задач ЛП, возникающих при использовании процедуры метода ветвей и границ, в виде сети или дерева (рис. 3.14). Они состоят из множества вершин и соединяющих их дуг или ветвей. Каждая вершина представляет собой либо начальную, либо конечную точку некоторой ветви.
Рис. 3.14. Схема решения
Вершина 1 соответствует задаче ЛП-1, получаемой из исходной задачи при отбрасывании требования целочисленности переменных. Ветвление в вершине 1, определённое целочисленной переменной с помощью ограничения, приводит к вершине 2 (ЛП-2). Поскольку задача ЛП-2 имеет оптимальное целочисленное решение, нет необходимости производить ветвление в вершине 2. В этом случае, когда в некоторой вершине возникает подобная ситуация, говорят, что рассматриваемая вершина прозондирована. Ветвление в вершине 1 по ограничениюдаёт ЛП-3 (вершина 3). Поскольку оптимальное решение ЛП-3 является дробным, происходит дальнейшее ветвление в вершине 3 по целочисленной переменной. Таким образом, появляются вершины 4 и 5. Эти вершины являются прозондированными, поскольку ЛП-4 обладает целочисленным решением, а ЛП-5 не имеет допустимых решений. Наилучшее решение из прозондированных в вершинах является оптимальным.