3.1.2. Цилиндрическая пружина кручения

Рис. 3.2. Цилиндрическая пружина

Для скручиваемой пружины, изображенной на рис. 3.2, в качестве ЦФ выбирается ее вес:

где N - число активных витков;Q - число неактивных витков; D - средний диаметр спирали; d - диаметр проволоки; ρ - плотность материала пружины; g- ускорение свободного падения.

Соотношение между моментом и углом закрутки имеет вид

где Θ – угол закрутки, ˚; Е - модуль Юнга.

Следовательно,

Напряжение изгиба в проволоке определяют по формуле

где К₁ - коэффициент концентрации напряжений, который находится из выражения

.

Задача заключается в том, что, используя условие Куна-Таккера, необходимо определить оптимальные параметры пружины при ограничениях на напряжения и знак величин d и D.

Функция Лагранжа имеет вид

L = f(x)+g(x),

где ЦФ определяется по формуле f(x)=0,25 ²ρgQDd d²+π d²QρgE d⁶ /(14680 М),

ограничение в данном случае g(x)=14,5 М /(D^0,115·d^2.885)-σmax.

Расчетная система уравнений имеет вид

L/ d=6π²ρgE d⁵ /(14680)+²ρgDd/2-2,885·14,5 Мν/(D^0,115·d^3,885)=0; (3.1)

 L/ D=π²Qρgd²/4-0,115·14,5Мν/(D^1,115·d^2,885)=0. (3.2)

Анализ показывает, что если ν=0, то из уравнения (3.2) d=0, что противоречит постановке задачи. Следовательно , g(x)=0, поэтому

14,5М/(D^0,115·d^2,885)= σmax.3.3)

Итак, получена система трех уравнений (3.1),(3.2) и (3.3) с тремя неизвестными D, d и ν. Для ее решения сначала умножим уравнение (3.1) на 0,115d, а (3.2) уравнение - на (-2,885D) и сложим их, тем самым исключив ν. Из полученного уравнения

0,69 π²QρgEd⁶/14680 – 2,655²ρgQDdІ/4=0

выразим D: D=7,081·10^-5 Ed⁴/(μQ) , (3.4)

полученное выражение подставим в (3.3):

0,3332(E/ μQ)^0,115·d^3,345=14,5μ/ σmax. (3.5)

Окончательно получим

d=( μQ/ E)^0,03438·(43,517μ/ σmax)^0,299.

Внешний диаметр пружины D можно выразить из формулы (3.4):

D=7,9·10^-3(E/ μQ)^0,8625·(μ/ σmax)^1,196.

Следовательно, совместное применение формул по курсу «Детали машин» и метода оптимизации позволило получить аналитические выражения для параметров пружины, минимизируюших ее вес.

3.1.3. Кольцевая колонна

Колонна, имеющая поперечное сечение в виде кольца, должна выдерживать заданную нагрузку P (рис. 3.3). Целью оптимизации является определение R и t, которые минимизируют вес колонны при ограничении на напряжение и эйлерову силу потери устойчивости, а также при ограничениях на местное выпучивание. В предположении t<<R геометрические характеристики сечения таковы:S=2πRt и I= πR³t. Эйлерова критическая сила потери устойчивости находится по формуле

.

Осевое напряжение определяется выражением

σс=P/S=P/(2πRt).

P R t L Рис. 3.3. Кольцевая колонна

Осевое критическое напряжение потери устойчивости в стальной цилиндрической оболочке σсг=kEt/R, где k-коэффициент, для стали приближенно равный 0,6. Ограничение на местную потерю устойчивости записывается в виде неравенства σс<σсгили P - 2πkEt²<0. Анализ выполнить при следующих исходных данных: [σc]=2·10^8 Па; k=0,6; E=2·10¹¹ Па; ρ=7800 кг/м³; L=0,5 м; P=10 000 Н.

Для решения данной задачи оптимального проектирования воспользуемся методом Куна-Таккера.

Запишем целевую функцию; по условию задачи ею является вес:

f(x)=G(R,t)=ρgSL=ρg2πRtL.

Ограничение на напряжение имеет вид

g1(x)=σc<[σc] или g1(x)=P/S-[σc]=P/(2πRt)- [σc]<0,

иначе можно записать

g1(x)=P-[σc]S=P- [σc]2πRt <0.

Ограничение на эйлерову силу потери устойчивости определяется из выражения

g2(x)=P<Pcr или g2(x)=P-π³ER³t/(4L²)<0.

Ограничение на местную потерю устойчивости (местное выпучивание) находится по формуле

g3(x)=P-2πkEt²<0.

Следовательно, функция Лагранжа имеет вид

L=f(x)+Σνigi=ρg2πRtL+ν1(P-[σc]2πRt)+ ν2(P- π³ER³t/(4L²))+ ν3(P-2πkEt²).

Определяем частные производные функции Лагранжа по каждому из аргументов:

L/R=Ρg2πtL - ν1[σc]2πt - ν2 3π³ER²t/(4L²);

L/t=ρg2πRL+ν1[σc]2πR+ ν2 π³ER³/(4L²)+ ν34πkEt.

Составляем систему уравнений, которая включает в себя определенные выше частные производные и заданные ограничения, подставляя численные значения известных параметров:

L/R =240304t-1,257·10⁹ ν1t – 1,86·10¹³ ν2 R²t=0;

L/t =240304R – 1,257·10⁹ ν1R – 6,201·10¹² ν2 R³ -1,508·10¹² ν3t =0;

ν1(10000-1,257·10⁹ Rt)=0; (3.6)

ν2(10000- 6,201·10¹² R³t)=0;

ν3(10000-7,54·10¹¹t²)=0.

Решением системы уравнений (3.6) являются искомые значения переменных Rиt, которые минимизируют общий вес колонны. Проанализируем равенство нулю каждого из сомножителей последних трех уравнений.

При этом возможны следующие 8 вариантов.

1. ν1>0, ν2>0,ν3>0; g1(x)=0, g2(x)=0, g3(x)=0;

отсюда следует, что t=0,000115 м, тогда R=0,069 м, но при этом g2(x)=-224274,

следовательно, в этом случае нет решения.

2. ν1>0, ν2>0,ν3>0; g1(x)<0, g2(x)=0, g3(x)=0;

аналогично предыдущему случаю t=0,000115 м, R=0,024 м.

Подставив эти значения в первое уравнение системы (3.6), получим

ν2=0,00002243, а из второго уравнения следует, что ν3=0,00002213; все множители Лагранжа неотрицательны, но g1(x)=6526>0, следовательно, и этот вариант решением не является.

3. ν1>0, ν2=0,ν3>0; g1(x)=0, g2(x)<0, g3(x)=0;

так как g3(x)=0, то t=0,000115 м, а при g1(x)=0 R=0,069 м;

из первого уравнения системы (3.6) находим ν1=0,0001912, из второго ν3=0; g2(x)=-224682<0, следовательно, полученные значения R и t являются решением задачи.

4. ν1>0, ν2>0,ν3=0; g1(x)=0, g2(x)=0, g3(x)<0;

решая совместно уравнения g1(x)=0 и g2(x)=0, находим из системы R=0,014 м и t=0,00056 м; подставляя эти значения в первые два уравнения системы (3.6), находим ν1=0,0001912 и ν2=0; проверим третье ограничение: g3(x)=-225605<0, значит, получено верное решение.

5. ν1=0, ν2=0,ν3>0; g1(x)<0, g2(x)<0, g3(x)=0;

из последнего условия получаем t=0,000115 м, но тогда L/R=27,683>0, поэтому в данном случае решения нет.

6. ν1=0, ν2>0,ν3=0; g1(x)<0, g2(x)=0, g3(x)<0;

из системы уравнений (3.6):

L/R=240304t-1.86·10¹³ ν2 R²t=0, откуда ν2=240304/(1.86·10¹³ R²) >0;

L/t=240304R-6.201·10¹² ν2 R³ =0, откуда ν2=240304/ (6.201·10¹² R² )>0;

очевидно, что полученные из разных уравнений значения ν2 неодинаковы, поэтому в данном случае решения нет.

7. ν1>0, ν2=0,ν3=0; g1(x)=0, g2(x)<0, g3(x)<0;

из первого уравнения системы (3.6) следует, что ν2=240304/1,257·10>0; второе уравнение дает аналогичный результат.

Значения R и t находятся из уравнения

g1(x)=10000 – 1,257·10⁹ Rt=0;

следовательно, из этого уравнения можно получить зависимость

t(R)=10000/(1,257·10⁹ R). (3.7)

Подставляя эту зависимость в третье уравнение системы (3.6), получаем

10000- 6,201·10¹² R³(10000/(1,257·10⁹ R))<0,

откуда находим, что R>0,014 м; а подставляя зависимость (3.7) в четвертое уравнение системы (3.6), получим R<0,069 м; таким образом, допустимые значения R лежат в диапазоне от R=0,014 м до R=0,069 м, а соответствующие им значения t – в диапазоне от t=0,000115 м до t=0,000559 м.

8. ν1=0, ν2=0,ν3=0; g1(x)<0, g2(x)<0, g3(x)<0;

в этом случае L/R =240304t≠0 и L/t=240304R ≠0, поэтому оптимального решения не существует.

Проанализировав все 8 вариантов, можно сделать вывод, что колонна имеет минимальный вес, когда ее размеры R и t, связанные зависимостью (3.7), лежат в диапазонах R≥0,014 м, R≤0,069 м, t≥0,000115 м и t≤0,000559 м.