Конспект лекций по алгебре (семестр 2)

В дальнейшем часто будут использоваться следующие два свойства гомоморфизмов.

1. ϕ(eG )=eF .

Доказательство. Имеют место равенства ϕ(eG) ϕ(eG )=ϕ(eG eG)=ϕ(eG). Таким образом, ϕ(eG ) ϕ(eG)=ϕ(eG). Умножая обе части последнего равен-

ства на элемент, обратный к ϕ(eG),	получим, что ϕ(eG)=eH . □
2. ϕ(g−1)=(ϕ( g))−1 .							. □
Доказательство следует из равенств ϕ(g) ϕ( g−1)=ϕ(g g−1)=ϕ(e )=e						F
Задача 1. Пусть ϕ :G→ F гомоморфизм из				G
		G в	F , а ψ: F → K — из				F
в K . Докажите, что композиция ψϕ является гомоморфизмом из G в K .
Пример 1. Пусть отображение	ϕ :G→ F группы		G в группу	F	каждому
элементу g G сопоставляет eF .	Очевидно,	что	ϕ является	гомоморфиз-
мом.

Пример 2. Каждому ненулевому действительному числу x сопоставим модуль | x | этого числа. Так как модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел, то построенное отображение | | является гомоморфизмом из мультипликативной группы ненулевых действительных чисел в мультиплика-

тивную группу положительных действительных чисел.
Определение 2. Пусть	ϕ :G→ F гомоморфизм из группы G в группу	F .
Подмножество группы F ,	состоящее из образов всех элементов группы	G
называется образом гомоморфизма ϕ .
Образ гомоморфизма ϕ обозначается символом Im ϕ. Таким образом,

Im ϕ={ϕ(g )| g G } F.

В рассмотренном выше примере 1 образом является одноэлементное множество {eF }, а в примере 2 — всё множество положительных действительных

чисел.
Задача 2. Докажите, что	Im ϕ является подгруппой группы	F .
Определение 3. Пусть	ϕ :G→ F гомоморфизм из группы	G в группу F .
Подмножество группы G ,	образы которых совпадают с единичным элементом

группы F , называется ядром гомоморфизма ϕ .

Ядро гомоморфизма ϕ обозначается символом Ker ϕ. Таким образом,

Ker ϕ={g G | ϕ(g )=eF } G.

В рассмотренном выше примере 1 образом является вся группа F , а в примере 2 — одноэлементное множество, состоящее из единицы.

Задача 3.	Докажите, что Ker ϕ является подгруппой группы G .
Задача 4.	Докажите, что для любого элемента g G выполняется равенство
	g (Ker ϕ) g−1=Ker ϕ.

Среди всех гомоморфизмов двух данных групп особо выделяют биективные гомоморфизмы, которые называют изоморфизмами. Другими словами, изоморфизмом называется всякий гомоморфизм, являющийся инъективным и сюръективным отображением.

Определение 4. Группы (G , ) и (F , ) называются изоморфными, если существует по крайней мере один изоморфизм одной группы на другую.

Пример 3. Известно, что отображение ϕ(x)=log2 x является биекцией множества >0 положительных чисел на множество всех действительных чисел. При этом для любых x , y >0 справедливо равенство

log2(x y)=log2 x+log2 y .

Следовательно логарифмическая функция является изоморфизмом аддитивной

группы >0 на мультипликативную группу .

Задача 5. На множестве всех групп введём бинарное отношение «быть изоморфными». Докажите, что это отношение является отношением эквивалентно-

сти.
Теорема. Сюръективный гомоморфизм ϕ из группы	(G , ) на группу
(F , ) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда	Ker ϕ={eG }.
Доказательство.

Необходимость. Пусть ϕ является изоморфизмом группы (G , ) на группу (F , ). Поскольку всякий изоморфизм является гомоморфизмом, то имеет место равенство ϕ(eG )=eF , которое означает, что {eG } Ker ϕ. В силу биектив-

ности ядро Ker ϕ состоит в точности из элемента eG , т. е. Ker ϕ={eG }. Достаточность. Пусть ϕ является сюръективным гомоморфизмом из груп-

пы (G , ) на группу (F , ), причём Ker ϕ={eG }. Докажем, что ϕ — изо-

морфизм.

По условию ϕ является сюръективным гомоморфизмом. Остаётся прове-

рить инъективность ϕ . Если ϕ(g1)=ϕ(g2 ),	то
eG=ϕ( g1)(ϕ(g2))−1=ϕ( g1 g−2		1),
т. е. g1 g−2 1 Ker ϕ . Так как Ker ϕ={eG }, то	g1 g−2 1=eG и g1=g2 . □

§5. Кольца. Понятие подкольца

Выше рассматривались алгебраические структуры (полугруппы, моноиды, группы), определяемые одной бинарной операцией. Имеются, однако, примеры (скажем, числовых) множеств, на которых заданы две бинарные операции, одна из которых называется сложением, а другая — умножением. Из всех структур с двумя операциями мы рассмотрим только две — кольца (в этом параграфе) и поля (в §7).

Определение 1.			Кольцом называется множество R , замкнутое относитель-
но операций		' +'	и ' ' , удовлетворяющих следующим аксиомам:
1.	a , b ,c R (a +b )+c =a +(b +c );
2.	o R | a R a +o =o +a =a ;
3.	a R	−a R | a +(−a )=−a +a =o ;
4.	a , b R a +b =b +a ;

5.a , b ,c R a (b +c )=a b +a c ;

6.a , b ,c R (a +b ) c =a c +b c .

Первые четыре аксиомы означают, что всякое кольцо является абелевой группой относительно сложения. Две последние аксиомы означают, что операция умножения дистрибутивная относительно операции сложения.

Пример 1. Множество целых чисел является кольцом относительно стандартных операций сложения и умножения.

Пример 2. Множество 2 чётных целых чисел является кольцом относительно стандартных операций сложения и умножения.

Пример 3. Множество C [0;1] непрерывных функций, определённых на отрезке [0 ;1] является кольцом относительно операций поточечного сложения и

умножения функций.
Пример 4. Множество [ x]		многочленов от одной переменной	x с целы-
ми коэффициентами	является	кольцом относительно стандартных	операций

сложения и умножения.

Пример 5. На множестве [ x] операции сложения многочленов и композиции будут удовлетворять всем аксиомам кольца, кроме аксиомы 5, так как,

например, если f (x)=x2, g (x)=h( x)=x , то	f (g ( x)+h( x))= f (2 x)=4 x2 , а
f (g ( x))+ f (h( x))=2 x2 . Поэтому множество	[ x] многочленов от перемен-

ной x не будет кольцом относительно сложения и композиции.

Пример 6. Множество векторов пространства 3 образуют кольцо относительно операции сложения и векторного умножения, определяемого равенством

a×b=(a2 b3−a3 b2 , a3 b1−a1 b3 , a1 b2−a2b1),

где ai — компоненты вектора a , а bi — компоненты вектора b .

Пример 7. На множестве Matn ( ) квадратных матриц порядка n с веще-

ственными компонентами определим так называемое лиевоiii умножение матриц следующим равенством

[ A, B]=A B−B A.

Лиево умножение вместе с обычным сложением матриц задают на Matn( )

структуру некоммутативного и неассоциативного кольца.

Пример 8. На множестве Matn ( ) структуру коммутативного (но неассоциативного) кольца с единицей задаёт так называемое йордановоiv умножение,

определяемое равенством

{A, B }= A B+B A . 2

Коммутативность йорданового умножения очевидна, а его неассоциативность

следует из рассмотрения примера. Если A=(00				01), B=C =(10	00), то произве-
дение	{{A , B },C }=	1 C ,	а {A, {B , C }}=O , где	O — нулевая матрица.
		4

В каждом кольце по определению имеется нулевой элемент. Примеры 2, 6 и 7 показывают, что единичного элемента может и не быть. Если же единичный элемент существует, то о кольце говорят как о кольце с единицей.

Поскольку каждое кольцо по определению является абелевой аддитивной группой, то операция сложения является ассоциативной и коммутативной. Однако операция умножения, как показывают примеры 6 и 7, может и не обладать этими свойствами. Если же в кольце умножение ассоциативно (коммутативно), то и само кольцо называется ассоциативным (коммутативным).

В общем случае произведение ненулевых элементов кольца может оказаться равным нулевому элементу. Такие элементы называются делителями нуля. Так, скажем, в примере 6 делителями нуля будут векторы (1,1,1) и (2 ,2,2).

Определение 2. Ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей, не содержащее делителей нуля называется областью целостности.

Другими словами, областью целостности является кольцо, в котором имеется единичный элемент, операция умножения ассоциативная и коммутативная и из равенства a b =o следует, что a =o или b =o .

Кольца из примеров 1, 2 и 4 являются областями целостности. Кольцо непрерывных функций из примера 3 является ассоциативным, коммутативным и содержит единичный элемент, но, тем не менее, областью целостности не является, поскольку содержит делители нуля.

Пример 8. (Кольцо классов вычетов) В §2 мы ввели операции сложения и умножения на множестве m всех остатков, получающихся при делении це-

лых чисел на число m . Можно (а читателю нужно) показать, что относительно этих операций множество m является кольцом. Описанное кольцо называ-

ется кольцом (классов) вычетов по модулю m .

Пример 6 из §2 показывает, что при некоторых m кольца вычетов могут содержать делители нуля.

Как и в случае групп, среди всех подмножеств данного кольца выделяют те, которые сами являются кольцами относительно операций сложения и умножения из исходного кольца. Такие подмножества называют подкольцами.

Пример 9. Кольцо	2 чётных целых чисел является подкольцом кольца
всех целых чисел.
Пример 10. Кольцо	всех целых чисел является подкольцом кольца

рациональных чисел.
Пример 11. Кольцо [ x] многочленов от переменной x		является подколь-
цом кольца C [0;1] непрерывных функций, определённых на отрезке [0 ;1].
Имеет место
Теорема. Множество S R является подкольцом кольца		R тогда и толь-
ко тогда, когда выполняются условия:
1.	a ,b S a + b S ;
2.	a S −a S ;

3. a ,b S a b S .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 из §3 и предоставляется читателю. □

§6. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Определим понятие гомоморфизма двух данных колец	R и T .
Определение. Отображение ϕ : R →T называется	гомоморфизмом, если
для всех a , b R выполняются равенства

ϕ(a +b )=ϕ(a )+ϕ(b ), ϕ(a b )=ϕ(a ) ϕ(b ).

Гомоморфизм колец, являющийся биективным отображением, называется

изоморфизмом.

Пример 1. Отображение

ϕ : →2 , ϕ( x)=2 x

не является гомоморфизмом

колец и

2 .

0, если x чётное,

Пример

2. Отображение

ϕ : → 2, ϕ(x)=

является

гомоморфизмом колец и

{1, если x нечётное,

2.

Пример 3. Отображение

δ,

сопоставляющее каждой непрерывной функции

f число

f (0), является гомоморфизмом колец

C [0;1]

и .

Пример 4. Кольцо (√2)

чисел вида a+b √

a , b , изоморфно

2, где

кольцу матриц вида (2ab ab).

ϕ : (√

)→ (√

), ϕ(a+b √

)=a−b √

Пример 5. Отображение

2

2

2

2

является

изоморфизмом кольца (√2)

на себя.

Из определения следует, что гомоморфизм колец является гомоморфизмом аддитивных групп, получающихся из этих колец игнорированием мультипликативной операции. Образ и ядро гомоморфизма колец определяются как образ и ядро соответствующих аддитивных групп.

Пример 6. Образом гомоморфизма колец и 2, рассмотренного в примере 2, является всё кольцо 2, а ядром — кольцо 2 чётных чисел.

§7. Поле. Изоморфизм полей

Среди алгебраических структур с двумя бинарными операциями в отдельный класс относят ассоциативные, коммутативные кольца с единицей, в которых каждый ненулевой элемент имеет обратный. Такие кольца называют полями. Дадим полное определение поля.

Определение 1. Полем называется множество F , замкнутое относительно

операций ' +'		и ' ' , удовлетворяющих следующим аксиомам:
1.	a , b R a+b=b+a ;
2.	a , b ,c F (a+b)+c=a+(b+c);
3.	0 R | a F a+0=0+a=a ;
4.	a F	−a F | a+(−a)=−a+a=0;
5.	a , b R a b=b a ;
6.	a , b ,c F (a b) c=a (b c);
7.	1 F | a F a 1=1 a=a ;

8.a F {0 } a−1 F | a a−1=a−1 a=1;

9.a , b ,c R a (b+c)=(b+c) a=a b+a c.

Из определения вытекает3, что множество ненулевых элементов поля F является абелевой мультипликативной группой. Мультипликативную группу не-

нулевых элементов поля

F обычно обозначают символом

F .

Пример 1. Множества

, являются полями относительно обычных опе-

раций сложения и умножения.

(√

Пример 2. В предыдущем параграфе рассматривалось кольцо

2

) чисел

вида a+b √2, где a , b — рациональные числа. Ясно,

что кольцо (√2)

ассоциативно, коммутативно и 1=1+0 2 (

√

2).

Рассмотрим произвольный

√

a

−b

ненулевой элемент a+b √

и умножим его на

+

√

. Так как

2

2

2

−2 b

2

2

2

a

a −2b

ни при каких рациональных a , b, a2−2b2≠0

(иначе

a2/b2=2

и число √

2

оказалось бы иррациональным), то элемент

a

+

−b

√

корректно

2

2

2

2

2

a −2 b

a

−2b

определён. Прямые вычисления показывают, что

(a+b √2)(a2−a2 b2 + a2−−b2 b2 √2)=1.

Таким образом, каждый ненулевой элемент кольца (√2) имеет обратный. Следовательно (√2) является полем.

Пример 3. Кольцо классов вычетов по модулю 2 является полем, поскольку в нём имеется только один ненулевой элемент — единичный, который, конечно же имеет обратный.

3Проверки требует только условие замкнутости множества ненулевых элементов относительно умножения, которая проведена ниже.

Рассмотрим два следствия, вытекающих из определения поля. Во-первых, нетрудно показать, что во всяком поле равенство a 0=0 выполняется для каждого элемента a . В самом деле, из аксиом поля следует цепочка равенств

a 0+a=a 0+a 1=a (0+1)=a 1=a .

Прибавляя к обеим частям равенства a 0+a=a элемент −a , получим требуемое соотношение.

Покажем, далее, что в поле отсутствуют делители нуля. Предположим, что для некоторых ненулевых элементов a , b справедливо равенство a b=0 .

Умножая обе его части, например, на a−1 , получим, что b=0 .

Таким образом, всякое поле является областью целостности. Обратное утверждение в общем случае не верно. Например, кольцо целых чисел является областью целостности, но не является полем. Однако обратное утверждение становится справедливым при дополнительном условии конечности.

Задача. Докажите, что всякая конечная область целостности является полем. Ука з а н и е . Пусть a — произвольный ненулевой элемент конечной области

целостности. Рассмотрите последовательность степеней {an }n элемента a .

Может ли эта последовательность быть бесконечной?

Определение 2. Подполем поля F называется всякое его подмножество, являющееся полем.

Ясно, что каждое поле является подполем в самом себе.

Определение 3. Поле, не имеющее собственных подполей, называется простым полем.

Другими словами, простые поля являются минимальными относительно включения.

Пример 4. Поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел. Следовательно поле не является простым.

В следующем параграфе будет показано, что — простое поле. Пример 5. Поле (√2) является подполем поля .

В заключительной части этого параграфа определим понятие изоморфизма

двух данных полей	F и P .
Определение 4.	Биективное отображение ϕ :F → P называется изоморфиз-
мом, если для всех	a , b F выполняются равенства
	ϕ(a +b)=ϕ(a)+ϕ(b),ϕ(a b)=ϕ(a) ϕ(b).

Рассуждения, аналогичные приведённым в §4 показывают, что изоморфизмы полей сохраняют нулевой и единичный элементы, а также противоположные и обратные элементы. Другими словами, для всякого изоморфизма ϕ полей

справедливы равенства ϕ(0)=0 ,ϕ(1)=1, ϕ(−a)=−ϕ(a), ϕ(a−1)=(ϕ(a))−1 . Заметим, что более общее понятие неинъективного гомоморфизма полей яв-

ляется малосодержательным. Если a≠b и ϕ(a)=ϕ(b), то

ϕ(1)=ϕ((a−b)(a−b)−1 )=ϕ((a−b))ϕ((a−b)−1 )=0 и ϕ(c)=ϕ(1 c)=ϕ(1)ϕ(c)=0 .

Т. е. всякий неинъективный гомоморфизм является нулевым отображением.

§8. Характеристика поля

Выше мы определили конечное кольцо классов вычетов по натуральному модулю m . Оказывается, что при простом m (и только в этом случае) кольцо классов вычетов m является полем.

Задача 1. Докажите последнее утверждение: кольцо m является полем то-

гда и только тогда, когда m — простое число.

Ука з а н и е . Докажите, что в кольце m делители нуля отсутствуют тогда и

только тогда, когда				m — простое число и воспользуйтесь задачей из предыду-
щего параграфа.
Поле		p ,	где p	— простое, обладает следующим свойством. Элемент
p 1	(кратное единичного элемента) является нулевым, но при 0<k < p эле-
мент	k 1 — ненулевой.
Определение. Рассмотрим поле F . Наименьшее натуральное число χ ,
для которого			χ 1=0, называется характеристикой поля F . Если для любого
χ ,		χ 1≠0, то говорят, что поле F имеет нулевую характеристику.
Характеристику поля F будем обозначать символом char(F ).
Пример 1.			char( )=0,char( )=0.
Пример 2.			char( p )= p.

Оказывается, что характеристика поля не может быть произвольным числом. Теорема 1. Пусть поле F имеет ненулевую характеристику. Тогда характери-

стика поля является простым числом.

Доказательство.

Пусть	char(F )=χ . По определению характеристики χ 1=0 и по условию
теоремы	χ≠0. Если характеристика поля является составным числом, то есть
χ=r s ,	где r >1, s>1, то (r s) 1=0 или, эквивалентно, (r 1) (s 1)=0 . Так

как во всяком поле делители нуля отсутствуют, то выполняется по крайней одно из равенств (r 1)=0 или (s 1)=0 , каждое из которых противоречит мини-

мальности числа χ . □ В следующих двух теоремах перечисляются все простые поля данной харак-

теристики.

Теорема 2. Всякое поле с нулевой характеристикой содержит поле рациональных чисел.

Доказательство.

Пусть F — некоторое поле с нулевой характеристикой. Поле F содержит единичный элемент и все его кратные:

1 F ,1+1=2 1 F ,…,1+1+…+1=n 1 F .

n слагаемых

Так как char(F)=0, то для любого n n 1≠0 . Результат задачи 4 из §3 (в аддитивной записи) позволяет утверждать, что элемент (−n) 1=−(n 1) также отличен от нулевого.

Обозначим через Z множество элементов вида n 1, где n — произвольное целое число. Из свойств операций сложения и умножения элементов поля немедленно вытекает, что Z является кольцом. Кроме того, кольцо Z изоморфно кольцу целых чисел. Изоморфизмом этих колец является, например, отображение ϕ : →Z , ϕ(n)=n 1.

Таким образом, всякое поле нулевой характеристики содержит кольцо, изоморфное кольцу . Рассмотрим далее множество Q элементов поля F , имеющих вид (m 1) (n 1)−1 , где m , n и n≠0. Непосредственно проверяется, что Q является полем, изоморфным полю рациональных чисел. Изо-

морфизмом является отображение ψ: →Q, ϕ(mn )=(m 1) (n 1)−1 .

Итак, всякое поле нулевой характеристики содержит подполе, изоморфно

полю рациональных чисел. □ Задача 2. Докажите, что отображения ϕ и ψ из доказательства теоремы 2

являются изоморфизмами соответствующих структур.

Теорема 3. Всякое поле простой характеристики p содержит поле p

классов вычетов по модулю p.

Доказательство.

Пусть F — некоторое поле простой характеристики p. Поле F содержит единичный элемент. Имеется p попарно различных элементов, кратных единичному:

1,2 1 ,…,( p−1)1, p 1=0.

Рассмотрим множество элементов поля F , кратных единичному. Обозначим это множество через Z p. Отображение ϕ : p→F , ϕ(n)=n 1 является инъек-

тивным гомоморфизмом, образ которого совпадает с Z p. Следовательно Z p является полем, изоморфным полю p классов вычетов по модулю p. □

Задача 3. Докажите, что отображение ϕ из доказательства теоремы 3 является изоморфизмом полей p и Z p.

§9. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма

Потребность в расширении поля действительных чисел связана с необходимостью решения алгебраических уравнений, в частности, квадратного уравнения x2+1=0 .

Определение. Полем комплексных чисел называется минимальное поле, со-

держащее элемент i , для которого i2=−1, и подполе, изоморфное .

Поле комплексных чисел обозначается символом . Свойство минимальности означает, что всякое поле K , которое содержит элемент i и подполе, изоморфное , совпадает с .

Покажем, что поле комплексных чисел существует. С этой целью рассмот-

рим множество матриц вида (−ab	ab),	где	a , b , которое временно обозна-
чим через C.
Задача 1. Докажите, что множество C			является полем относительно опера-
ций сложения и умножения матриц.		R матриц вида (0a			a0), где a ,
Задача 2. Докажите, что множество
образуют подполе поля C.		ϕ :(0a		a0)→a является изоморфизмом
Задача 3. Докажите, что отображение
полей R и .
Ясно, что (−01 01) C и (−01	01)2=−(01			10). Таким образом, поле C со-

держит подполе, изоморфное и элемент i , удовлетворяющий соотноше-

нию i2=−1. Остаётся проверить, что		всякое подполе K поля C, обладаю-
щее такими же свойствами, совпадает с		C.
Поскольку	K содержит подполе, изоморфное , то существует изоморфизм ψ из
в K .	Согласно общим свойствам изоморфизмов полей, имеют место равенства

ψ(0)= 0

0

, ψ(1)= 1

0

,

0 , n ψ(n)=ψ(1)+ψ(1)+…+ψ(1)= n

(0

0)

(0

1)

n0)=(−0n

n слагаемых

(0

n)

ψ(−n)=−ψ(n)=−(0n

−0n),

ψ(n−1 )=(ψ(n))−1=(0n

n0)−1=(n0−1

n0−1),

m ψ(

m

)=ψ(m)ψ(n−1)=(m0

m0 )(n0−1

n0−1)=(m0/n

m0/n).

n

Таким образом, для всякого

r

ψ(r)=(0r 0r). Если дополнительно предположить, что

изоморфизм ψ является непрерывным4 отображением, то равенство

ψ(α)=(α0

α0 ) будет

справедливым для любого

α.

Действительно, если α=lim rn , где rn ,

то, в силу

n →∞

4Составителю этих лекций неизвестно, можно ли требование непрерывности вывести из исходных посылок. Он будет благодарен за любую предоставленную информацию по этому вопросу.