Конспект лекций по алгебре (семестр 2)

непрерывности ψ(α)=lim	ψ(r	)=lim	rn	0	=		α	0	. Минимальность C	доказана.
			(0					α)
n→ ∞	n	n →∞		rn)		(0

Итак, существование поля комплексных чисел установлено. Согласно приведённой конструкции комплексными числами являются матрицы специального вида. Однако обычно вместо матричного представления комплексных чисел обычно пользуются геометрическим, — как более наглядным.

Для описания геометрического представления заметим, что каждая матрица вида (−ab ba) однозначно определяется упоря-

доченной парой (a , b) действительных чисел. Поэтому на координатной плоскости комплексное число может быть изображено вектором, проведённым из начала координат в точку с координатами (a , b). Так, например, комплексное число, соответствующее единичной матрице, изображается вектором с координатами (1,0), а

комплексное число, соответствующее матрице i=(−01 10), — вектором с координатами (0 ,1).

Ясно, что всякая матрица вида (−ab ba) может быть представлена в виде суммы

(−ab ba)=a (10 01)+b (−01 10)=a E +b i .

По этой причине мы договоримся комплексное число, соответствующее матрице (−ab ba), записывать в виде a+b i .

Определение. Выражение a+b i называется алгебраической формой записи комплексного числа. Число a называется действительной частью комплексного числа, а b — мнимой5 частью.

Если z — комплексное число, то его действительную часть обозначают символом Re z , а мнимую — Im z .

Итак, множество комплексных чисел состоит из всех возможных выражений a+b i , где a , b . Комплексное число a+b i изображается вектором, проведённым из начала координат в точку с координатами (a , b).

5Обратите внимание, что мнимая часть является действительным числом!

§10. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Напомним, что при введении комплексных чисел мы использовали три модели — матричную, геометрическую и алгебраическую, соотношения между которыми можно записать в виде следующей цепочки:

(−ab ba) (a , b) a+b i .

Используя это соответствие, операции сложения и умножения с матричной модели могут быть перенесены на любую другую. Так как

(−ab1 1 ba11)+(−ab22 ab22)=(−a(b1 +1+ab22 ) ba11++ba22),

то операция сложения комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, определяется равенством

(a1 +b1 i)+(a2+b2 i)=(a1+a2)+(b1 +b2)i.

Из последнего соотношения видно, что вектор, изображающий сумму z1 +z2 комплексных чисел

z1 и z2 равен сумме векторов, изображающих числа z1 и z2 соответственно.

Точно таким же способом получаем, что операция умножения комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, определяется равенством6

(a1+b1 i) (a2+b2 i)=(a1 b1−a2 b2 )+(a1 b2+a2 b1)i ,

а операция взятия обратного элемента — равенством7

(a+b i)−1= a2a+b2 + a−2+bb2 i .

Геометрический смысл умножения будет выяснен в следующем параграфе.

6Поскольку (−ab1 1

7 Поскольку (−ab

b1	a2		b2		a1 a2−b1 b2
a1)(−b2			a2)=(−(a1 b2 +b1 a2 )
			a		−b
b −1	=(					).
		a2 +b2			a2 +b2
a)		b			a
		a2 +b2			a2 +b2

a1 b2 +b1 a2 ). a1 a2−b1 b2

в алгебраической форме:

обра-

Пример 1. i2=(0+1 i) (0+1 i)=(0 0−1 1)+(0 1+1 0)i=−1. Пример 2. (a+b i)(a−b i)=(a a+b b)+(a (−b)+a b)i=a2+b2 .

В §9 было указано, что множество квадратных матриц вида

(−ab ba)

зуют поле. Значит множество выражений вида a+b i , где a , b , также является полем относительно введённых операций. Отсюда, в частности, следует, что для вычисления произведения комплексных чисел можно использовать «школьное» правило умножения скобки на скобку.

Отношением комплексного числа z1 к комплексному числу z2 назовём

произведение числа z1 на число z−2	1 ,		обратное к		z2 .	Отношение числа z1 к
числу z2 будем обозначать символом			z1	.
			z2
Определение 1. Числа a+b i и a−b i называются						комплексно сопряжён-
ными числами. Число, комплексно сопряжённое числу						z обозначается z .
Определение 2. Модулем комплексного числа						̄
					z=a+bi называется число,
обозначаемое символом z и равное		√a2 +b2 .

Соотношение из примера 2 показывает, что z z= z 2	. С помощью этого ра-
̄

венства можно предложить следующий алгоритм представления отношения z1

z2

z1			z1 z̄2				z1 z̄2
		=				=			.
z	2		z	2	z		z	2
					̄2			2

В частности, для вычисления числа, обратного к z , получаем простую формулу z−1= z̄z2 .

Пример 3.

2−2 i

=

(2−2i)(1−3i)

=−4−8i =−

2

−

4 i .

1+3i

(1+3i)(1−3i)

10

5 5

Пример 4.

1

=

1+i

,

1=−i .

1−i

2

i

Задача. Докажите следующие соотношения:

z−1 = z −1 ;

а)

z

±z

=z ±z

;

б)

z z

=z z

;

в) z z = z z ; г)

1

2

̄1

̄2

1 2

̄1 ̄2

1 2

1

2

д)

z1±z2 z1 + z2 ;

е)

z1±z2 z1 − z2 .

§11. Тригонометрическая форма комплексного числа

Ясно, что каждое ненулевое комплексное число

z=a+b i

однозначно опреде-

ляется длиной

r

вектора

(a , b) и углом ϕ , который этот вектор образует с

положительным направлением действительной оси. Из чертежа сразу видна связь между действительной и мнимой частью комплексного числа с одной сто-

роны и модулем и аргументом этого же числа с другой

a=r cosϕ , b=r sin ϕ,

r=√a2 +b2 , cosϕ=ar , sin ϕ=br .

Используя первую строчку последних равенств, число z=a+b i можно представить в так называемой тригонометрической форме8

z=r(cosϕ+i sin ϕ).

Число r называется модулем комплексного числа z , что, конечно же, согласуется с прежним определением модуля. Угол ϕ называется аргументом комплексного числа z и обозначается символом arg z .

Выясним геометрический смысл операции умножения комплексных чисел.

Для этого рассмотрим два числа z1 и	z2 , записанных в тригонометрической
форме
z1=r1(cosϕ1+i sin ϕ1),	z2=r2 (cosϕ2+i sin ϕ2 )
и перемножим их:

z1 z2=r1 r2 (cos ϕ1+i sin ϕ1)(cosϕ2+i sin ϕ2)=r1 r2 ((cos ϕ1 cosϕ2−sin ϕ1 sin ϕ2)+ +i (cos ϕ1 sin ϕ2+sin ϕ1 cosϕ2 ))=r1 r2 (cos(ϕ1 +ϕ2)+i sin (ϕ1+ϕ2 )).

Таким образом, геометрически умножение числа z1 на z2 сводится к умножению вектора, изображающего z1 , на положительное число r2 и последующему повороту на угол ϕ2 . Другими словами, умножение комплексных чисел

представляет собой композицию гомотетии с центром в начале координат и поворота вокруг начала координат.

Последние выкладки также показывают, что умножение комплексных чисел в тригонометрической форме осуществляется особенно просто: модули чисел перемножаются, а аргументы — складываются. Если применить это правило к

вычислению степени комплексного числа z=r(cosϕ+i sin ϕ)	с натуральным
показателем n , то получим так называемую формулу Муавраv:
zn=rn(cosn ϕ+isin nϕ).	(1)

8Можно провести такую аналогию. Алгебраическая форма записи комплексного числа отвечает декартовым координатам соответствующей точки, а тригонометрическая — полярным.

Ясно, что формула (1) верна и при n=0.

Нахождение обратного числа, а потому и деление чисел в тригонометриче-

ской форме также не вызывает трудностей:

z−1=

1

=

cosϕ−i sin ϕ

=1

(cos(−ϕ)+i sin (−ϕ)),

r (cos ϕ+i sin

ϕ)

r (cos2 ϕ+i sin2 ϕ)

r

z1

=z

z

−1

r1

(cos(ϕ −ϕ )+i sin(ϕ −ϕ )).

=

z2

1

2

r2

1

2

1

2

Так как z−n=( z−1)n=r−n (cos(−n ϕ)+isin (−n ϕ)),

то формула Муавра (1) ока-

зывается верной и для отрицательных показателей.

Итак, при умножении комплексных чисел модули последних умножаются, а модули — складываются; при делении комплексных чисел модули последних

делятся, а модули — вычитаются.

§12. Формула Эйлера

Для каждого

действительного

числа

ϕ комплексное

число cosϕ+i sin ϕ

обозначим через

f (ϕ).

Из результатов предыдущего параграфа следует, что

f (ϕ

) f (ϕ

)= f (ϕ +ϕ ),

f (ϕ1)

= f (ϕ

−ϕ

).

1

2

1

2

f (ϕ2)

1

2

Последние равенства дают основание полагать, что f (ϕ) можно записать в виде степени. Чтобы выяснить, какими нужно выбрать основание и показатель степени, продифференцируем f (ϕ) по переменной ϕ :

f ' (ϕ)=(cos ϕ+i sin ϕ)' =−sin ϕ+i cosϕ=

=i2 sin ϕ+i cosϕ=i(cos ϕ+i sin ϕ)=i f (ϕ).

Следовательно		f (ϕ) удовлетворяет равенству		f ' (ϕ)=i f (ϕ).		Можно пока-
зать, что для любого числа a равенство				y ' ( x)=a y( x)		будет верным
лишь	в том	случае,	когда y (x)=c ea x , где	c —	некоторая постоянная.
Подставляя формально вместо действительного числа					a комплексное число i,
мы придём к равенству			f (ϕ)=c ei ϕ . Так как f	(0)=cos0+isin 0=1 и e0=1,
то c	должно быть равным 1, т. е. f (ϕ)=ei ϕ .

Рассуждения из предыдущего абзаца делают естественным9 следующее

9Подчеркнём, что рассуждения, предшествующие определению, лишь мотивируют фигурирующее в нём равенство, но не доказывают. Когда мы доказываем равенство, мы утверждаем, что обе его части, вычисленные по отдельности, совпадают при любых значениях

переменных. В нашем же случае левая часть равенства ei ϕ =cos ϕ+isin ϕ может быть вычислена самостоятельно лишь при ϕ=0. При ненулевых значениях ϕ левая часть

Определение. Для каждого действительного числа ei ϕ def cos i sin .

ϕ = ϕ+ ϕ

Равенство из последнего определения называется формулой Эйлераvi. Подставив в формулу Эйлера ϕ=2 π, получим так называемое тождество Эйлера

e2π i=1,

связывающее фундаментальные константы из четырёх разделов математики — арифметики (1, 2), алгебры (i), геометрии (π) и анализа (e).

Приведём ещё одно соображение в пользу формулы Эйлера. Начнём с того,

что вычислим предел nlim→+∞ (cos ϕn +λ sin ϕn )n в котором ϕ и λ — действительные числа. Так как показатель степени стремится к бесконечности, а основание к 1, то значение предела можно найти, основываясь на втором замечательном пределе:

nlim→+∞ (cos nϕ +λ sin nϕ )n=nlim→+∞		1+(cosϕn	−1+λ sin nϕ ) n=nlim→+∞ en (cosnϕ		−1+λ sin nϕ ).
	(		)

Используя, например, первый замечательный предел, можно доказать равенства

nlim→+∞ n(cos	ϕ	−1)=0 ,	nlim→+∞ nsin	ϕ	=ϕ ,
	n			n

с помощью которых получается окончательный ответ

nlim→+∞ (cos ϕn +λ sin ϕn )n=eλ ϕ .

Заменив формально в последнем равенстве действительное число λ комплексным числом i , придём к соотношению

ei ϕ=nlim→+∞ (cos ϕn +isin ϕn )n=cosϕ+isin ϕ ,

последнее равенство в котором получено по формуле Муавра.

Формула Эйлера позволяет использовать тригонометрическую форму в так называемом показательном виде: z=r ei ϕ . Кроме того, из формулы Эйлера вытекают равенства, связывающие синус и косинус с показательной функцией:

cos ϕ=ei ϕ+e−i ϕ ,sin ϕ=ei ϕ−ie−i ϕ . 2 2

равенства считается равной правой части по определению.

В заключение подведём итоги этого параграфа.

1.Имеет место формула Эйлера: ei ϕ=cosϕ+i sin ϕ .

2.Всякое ненулевое комплексное число z можно записать в показательной

форме z=r ei ϕ .

3. Тригонометрические функции выражаются через экспоненциальную.

§13. Вычисление корней n-й степени из комплексного числа. Первообразные корни из единицы

Напомним определение корня n-й степени из школьного курса математики. Определение 1. Корнем n-й степени из числа z называется число w ,

удовлетворяющее равенству wn=z .

Пример 1. Так как i2=(−i)2=−1, то числа i и −i являются квадратными корнями из числа −1.

Пример 2. Поскольку (1+i)2=2i , то число 1+i является квадратным корнем из числа 2 i.

Чтобы вычислить все значения w корня n-й степени из данного числа z , представим z и w в тригонометрической форме

z=r(cosϕ+i sin ϕ), w=ρ(cos ψ+i sin ψ).

Согласно определению корня n-й степени и формуле (1), имеет место равенство

ρn (cosn ψ+i sin n ψ)=r(cosϕ+i sin ϕ),

которое равносильно двум соотношениям ρn=r , n ψ=ϕ+2 π k ,								где	k . От-
сюда находим, что	n			ϕ+	2π k		.
	ρ=√r , ψ=				n
Ясно, что углы	ψ1 и ψ2 ,			соответствующие целым числам				k 1 и	k 2,	будут
определять одно и тоже значение						w тогда и только тогда, когда k 1−k 2				делит-

ся на n . Действительно, в этом случае разность		ψ1−ψ2 является целочислен-
ным кратным	2 π и остаётся сослаться на периодичность тригонометрических
функций. Поэтому для вычисления всех значений		n
		√z , достаточно ограничить-
ся целыми k ,	принимающими, например, значения 0,1,2,…,n−1 .

Итак, каждое ненулевое комплексное число z имеет в точности n значе-

ний w корня n-й степени. Вычислить эти значения можно по формуле
n			ϕ+2 π k		ϕ+2 π k
wk=√r(cos				+i sin		), где k {0 ,1,2 ,…, n−1},	(2)
			n		n

которую мы также будем называть формулой Муавра.

Последнее равенство можно переписать в показательной форме

wk=√r e			i	ϕ+2π k		(3)
				n .
n				n		понимается в арифметическом
Замечание. В формулах (2) и (3) корень √r

смысле. Из школьного курса математики известно, что в рассматриваемом случае, т. е. когда r и r >0, существует единственное значение арифметиче-

ского корня √n r .

Из формулы (2) (или (3)) видно, что угол между векторами, изображающими числа wk и wk +1 , равен 2nπ . Отсюда немедленно следует, что концы векто-

ров, изображающих все значения корней n-й степени из числа z , расположены в вершинах правильного n-угольника. Центр описанной окружности располо-

жен в начале координат, а её радиус равен √n r .

Задача 1. Как расположены на плоскости все значения корня n-й степени из 1? Из −1 при нечётных n ?

Задача 2. Докажите, что для построения всех значений корня n-й степени из комплексного числа z=r(cosϕ+i sin ϕ), где r≠0, можно использовать следующий алгоритм.

Шаг 1. Построить все значения корня n-й степени из 1.

Шаг 2. Построенную на предыдущем шаге фигуру повернуть относительно начала координат против часовой стрелки на угол ϕn .

Шаг 3. К построенной на предыдущем шаге фигуре применить гомотетию с

центром в начале координат и коэффициентом подобия √n r .

Задача 3. Обозначим через ε0 ,ε1 ,…, εn−1 все значения корня n-й степени из единицы. Докажите, что множество Tn={ε0, ε1,…,εn−1} образует мультиплика-

тивную группу, изоморфную аддитивной группе n .
Из результата задачи 3 вытекает, что	Tn является циклической группой.
Задача 4. Докажите, что ε1 является образующим элементом в группе Tn .
Задача 5. Докажите, что число εk Tn	является образующим элементом цик-
лической группы тогда и только тогда, когда целые числа k и n взаимно про-
стые.

Определение 2. Корень n-й степени из единицы называется первообразным (или примитивным) корнем, если он является образующим элементом циклической группы Tn .

Другими словами степенями первообразного корня исчерпываются все элементы группы Tn .

§14. Кольцо многочленов от одной переменной

Пусть K — некоторое поле, x — формальная переменная, коммутирую-

щая, по определению, со всеми элементами из поля K :	a K	a x=x a .
Произведение n экземпляров формальной переменной x	будем	обозначать

символом xn:
		xn := x x … x .
Определение.			n множителей
		Многочленом		от переменной x с коэффициентами из
поля	K называется		выражение	вида a0 +a1 x+a2 x2+…+am xm , где	ai K ,
а m — неотрицательное целое число.
Два	многочлена		a0+a1 x+a2 x2 +…+am xm и b0+b1 x+b2 x2+…+bl xl		называ-
ются равными, если			m=l и a0=b0, a1=b1 , a2=b2 ,… . Многочлен, у которого
все коэффициенты нулевые, называется нулевым многочленом.

Множество всех многочленов от одной переменной x над полем K обозначается символом K [ x].

Для краткой записи многочленов будем использовать функциональные обозначения: f (x), g (x),α(x) и т. п. Иногда, если ясно, о какой переменной идёт речь, мы будем опускать символ x и вместо f (x), g ( x), α(x) писать соответственно f , g , α. Заметим, однако, что несмотря на используемые обозначения, мы не рассматриваем многочлен как функцию специального вида. Это обстоятельство отражено в предыдущем абзаце при определении равных многочленов. Согласно этому определению, каждый многочлен однозначно определяется своими коэффициентами, в то время как функция определяется своими значениями: если рассматривать многочлены как функции, то функциональное

равенство f (x)=g (x) означало		бы справедливость равенств	f (α)=g (α)
для всех α K .	Следующий пример показывает, что эти два определения не
эквивалентны.			f (x)=1+x2 ,
Пример. Пусть	K = 2={0,1}	— поле вычетов по модулю 2,

g ( x)=1+x . Многочлен f не равен многочлену g , поскольку у них разные

коэффициенты, например, при x2. Однако f (0)=g (0)=1 и f (1)=g (1)=0 . Таким образом, разные многочлены могут определять одинаковые функции.

Оказывается, что такое возможно, только в случае конечных полей.
Теорема. Если поле K				бесконечное, то разные многочлены над K					опреде-
ляют разные функции.							K [ x]
Прежде чем доказывать теорему, введём на множестве								операции сло-
жения и умножения.				f (x)=∑ ak xk		g ( x)=∑bk xk
Суммой		многочленов			и		называется		много-
				k		k
член	f (x)+g ( x)=∑(ak +bk ) xk . Произведением многочленов f							и g	называ-
			k		ck = ∑ a j br .
ется многочлен			f (x) g ( x)=∑ck xk , где
				k		j ,r≥0,
Задача 1. Докажите, что множество						j+r=k
					K [ x] является кольцом относительно
введённых операций сложения и умножения.
Результат последней задачи позволяет определить разность								f −g	много-
членов f		и g	как сумму многочлена		f	и многочлена	−g ,	противополож-
ного к	g :		def
		f −g = f +(−g ).

Доказательство теоремы.

Пусть многочлены f , g K [ x ] определяют одну и ту же функцию. Тогда их

разность	h= f −g определяет нулевую функцию. Это означает, что h(c)=0
для всех	c K . Предположим, что многочлен h≠0,	и пусть
	h( x)=a0+a1 x+a2 x2 +…+an−1 xn−1,	an−1≠0.

Выберем попарно различные элементы c1 , c2 ,…, cn K (в этом месте используется бесконечность поля K ) . Совокупность верных равенств

{a0+a1 c1+a2 c21+…+an−1 cn1−1=0, a0+a1 c2+a2 c22+…+an−1 cn2−1=0 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a0+a1 cn+a2 c2n+…+an−1 cnn−1=0 ,

рассмотрим как (квадратную) систему однородных линейных уравнений от n неизвестных a0 , a1 ,…, an−1 . Определитель матрицы коэффициентов этой

системы есть определитель Вандермондаvii:

1	c1	c12 ...	c1n−1
1	c2	c22 ...	c2n−1	=	∏ (ck−c j).
. .		. ...	.		n k > j 1

2	n 1
1 cn cn ...	cn−

Так как элементы c1 , c2 ,…,cn K выбраны попарно различными, то Δ≠0 . Следовательно, система имеет только нулевое решение, что противоречит наше-

му предположению. □ Перечислим в форме задач несколько свойств операции умножения в кольце

многочленов от одной переменной.
Задача 2.	Докажите, что умножение многочленов коммутативно.
Задача 3.	Докажите, что умножение многочленов ассоциативно.
Р е ш е н и е . Пусть f =∑ f k xk , g=∑ gk xk , h=∑ hk xk				— многочлены над
	k	k	k
полем K ,	причём fg=∑ ξk xk , gh=∑ηk		xk ,( fg )h=∑ζl xl , f ( gh)=∑θl xl .
	k	k	l		l
Покажем, что коэффициенты многочленов			( f g)h и f (g h)		при одинаковых
степенях x	равны, т. е. что ζl =θl	для всех l. Для этого выразим коэффициен-
ты ζl и θl	через коэффициенты исходных многочленов			f , g	и h .
По определению произведения многочленов коэффициент					ξk = ∑ f j gr .
					j ,r 0,

j+r =k