Конспект лекций по алгебре (семестр 2)

цесс не может продолжаться бесконечно. Поэтому через конечное число шагов мы получим представление многочлена f в виде произведения неприводимых

многочленов: f = p1 p2 … pk .

Покажем, что найденное разложение единственно с точностью до перестановки множителей и умножения их на ненулевые элементы поля. Предположим, что наряду с найденным справедливо разложение f =q1q2…qs , где qi — не-

приводимые многочлены. Тогда имеет место равенство p1 p2 … pk=q1 q2…qs , обе части которого делятся на p1 . Согласно основному свойству неприводимого многочлена существует такой индекс i , что p1 qi . При этом (см. утвержде-

ние задачи 5) qi=αi p1 , где	αi	— ненулевой элемент поля. Перенумерацией
можно добиться того, чтобы	i=1. Сократив равенство p1 p2… pk=q1 q2 …qs
на p1 , получим соотношение		p2 … pk=α1 q2…qs , к которому применим при-
ведённые выше рассуждения.

В результате через конечное число шагов мы придём к одному из трёх равенств: 1=α1…αk qk+1…qs (если k<s), ps+1 … pk=α1…αs (если k>s) или

1=α1 …αk (если k=s). Так как неприводимые многочлены имеют положитель-

ные степени, то первые два равенства реализоваться не могут.

Итак, если многочлен f допускает два разложения на k и s неприводимых множителей, то k=s и каждый множитель одного разложения ассоциирован с

некоторым множителем другого разложения. □ Задача 6. Разложите на неприводимые множители (над полем комплексных

чисел) многочлен xn−1.

Задача 7. Разложите на неприводимые множители (над полем p , p — простое число) многочлен x p−1.

§24. Поле рациональных дробей

Подобно тому, как кольцо целых чисел расширяется до поля рациональных

чисел, кольцо многочленов можно расширить до поля рациональных дробей.

Пусть

K [ x]

— кольцо многочленов от одной переменной x с коэффициен-

тами из поля

K .

Рассмотрим множество K ( x), состоящее из всех выраже-

ний вида

f

,

где

f , g K [ x].

При этом два таких выражения

f

1

и

f 2

бу-

g

g

1

g2

дем считать равными в том и только том случае, когда f 1 g2= f 2 g1 :

f 1

=

f 2

f 1 g2= f 2 g1 .

g1

g2

Вчастности, для любого h K [ x ], h≠0, hh gf = gf .

Определим теперь сложение и умножение на множестве K ( x) следующими

равенствами

f 1

f 2

f 1 g2

+ f 2 g1

,

f 1

f 2

f 1

f 2

.

(16)

+

=

=

g1

g2

g

1 g2

g2

g1 g2

g1

Задача 1. Докажите, что при замене в левых частях последних равенств лю-

бого выражения	f 1	или	f 2	равным выражением, правые части также заме-
	g1		g2

нятся равными выражениями.

Задача 2. Докажите, что относительно введённых операций сложения и умножения множество K ( x) является полем.

Поле K ( x) и называется полем	рациональных дробей над полем K . Эле-
менты поля K ( x), т. е. выражения		f	называются рациональными дробями.
		g

Замечание. Выше мы привели упрощённую (но вполне рабочую) конструкцию поля рациональных дробей. Полное формальное определение основывается на введении во множестве упорядоченных пар многочленов специального отношения эквивалентности. Элементы соответствующего фактормножества (т. е. классы эквивалентности) и называется рациональными дробями.

Для полноты изложения приведём формальное построение поля		K (x).
Пусть	K [ x ] — кольцо многочленов с коэффициентами из поля	K . Рассмотрим множе-
ство пар	( f , g ), где f , g K [ x ], g ≠0, и определим в нём отношение эквивалентности

по правилу

(f 1 , g1 ) ( f 2 , g2 ) f 1 g2= f 2 g1 .

Вчастности, для любого h K [ x], h≠0, (h f ,h g ) ( f , g ).

Задача 3. Докажите, что введённое бинарное отношение действительно является отношением эквивалентности.

Определим теперь сложение и умножение пар по правилам

( f 1 , g1 )+( f 2 , g 2)=( f 1 g 2+ f 2 g 1 , g 1 g2 ),

( f 1 , g 1) ( f 2 , g2 )=( f 1 f 2 , g1 g2 ).

Утверждение задачи 1 означает, что отношение согласовано с этими операциями. Другими словами, при замене в левой части любой пары многочленов эквивалентной, правые части

	также заменятся на эквивалентные.	f
	Класс эквивалентности, содержащий пару ( f , g ), обозначим через		и будем называть
		g

его рациональной дробью. Множество всех рациональных дробей обозначим через K (x ). Из предыдущего абзаца следует, что формулы (16) корректно15 определяют операции сложения и умножения на множестве K (x). Результат задачи 2 показывает, что относительно операций сложения и умножения множество K (x) является полем.

15Корректность определения, например, сложения означает, что сумма двух рациональных дробей не зависит от выбора представителей слагаемых.

Задача 4. Докажите, что множество дробей вида

f

образуют кольцо, изо-

1

морфное кольцу

K [ x].

f

Используя изоморфизм из последней задачи, можно отождествить дробь

1

с многочленом

f . Это отождествление позволяет считать, что поле K ( x)

ра-

циональных функций содержит кольцо

K [ x] многочленов.

Так как

f

g

f

=

,

g

1

1

то дробь

f

является отношением

многочленов f

и

g (с учётом отожде-

g

ствления). Следовательно, обозначение gf можно понимать содержательным образом.

Легко показать (покажите!), что из всех дробей, равных дроби gf , можно

выбрать дробь	f 0	,	для которой многочлены f 0 , g0 являются взаимно про-
	g0
стыми. Такая дробь называется несократимой.
Определение. Рациональная дробь				f	K (x) ( f , g K [ x ], g≠0), называет-
				g
ся правильной, если			deg f <deg g . В противном случае дробь называется не-
правильной.

Задача 5. Докажите, что если две дроби равны, то они обе либо правильные, либо неправильные.

Задача 6. Докажите, что сумма и произведение правильных дробей являются правильными дробями. Является ли множество правильных дробей кольцом?

§25. Представление рациональных дробей

ввиде суммы простейших

Взаключительном параграфе мы изложим теорию, используемую в математическом анализе при интегрировании рациональных функций.

Теорема 1. Всякая рациональная дробь единственным образом представляется в виде суммы многочлена (называемый целой частью дроби) и правильной дроби.

Доказательство.

	Пусть	f	K (x), где	f , g K [ x], g≠0 . По теореме о делении с остатком
		g

найдутся такие многочлены q и r , причём r=0 или deg r<deg g, что

правильной дроби. Следовательно, q1=q и

f =g q+r .

Тогда

f

=q+

r

,

где дробь

r

— правильная.

g

g

g

f

r1

f

Пусть теперь

=q

+

— другое представление дроби

в виде суммы

g

g1

g

1

r1

r

многочлена и правильной дроби. Тогда q−q

=

−

.

Если

q−q

≠0 , то мы

g1

g

1

1

приходим к противоречию, так как ненулевой многочлен не может равняться

r1 = r . □ g1 g

Теорема 2. Всякая правильная рациональная дробь вида

f , g1 g2 … gs

где многочлены g1 , g2 ,…, g s попарно взаимно просты, разлагается в сумму правильных дробей со знаменателями g1 , g2 ,…, g s .

Доказательство утверждения теоремы проведём методом математической индукции по параметру s.

При s=2, согласно теореме о линейном выражении наибольшего общего делителя, найдутся такие многочлены u и v , что g1 u+g2 v=1. Разделив по-

следнее равенство на g=g1 g2 и умножив полученное выражение на f , получим

f

=

f v

+

f u

.

g

g1

g2

Так как по условию теоремы дробь

f

правильная, то сумма целых частей дро-

g

f v

f u

бей

и

должна быть равна нулю. Выделив их (см. теорему 1), мы по-

g1

g2

f

лучим разложение дроби

в виде суммы правильных дробей со знаменателя-

g

ми g1 и g2 .

s>2

Заметим, что при

многочлены

g1

и g2 …g s взаимно просты16. Поэто-

f

му, согласно только что рассмотренному случаю, дробь

можно раз-

g1 g2… gs

ложить в сумму правильных дробей со знаменателями g1

и g2 …g s :

f

=

a

+

b

,deg a<deg g1 ,degb<deg(g2…g s).

g1 g2… gs

g2

…g s

g1

16 Это утверждение является простым обобщением утверждения задачи 5 из §22.

Вторая из этих дробей по предположению индукции разлагается в сумму пра-

вильных дробей со знаменателями g2 ,…, g s .

□

Предложение. Разложение при условиях теоремы 2 единственно.

Доказательство.

Рассмотрим сначала случай, когда

s=2.

Допустим, что имеется два разло-

жения правильной дроби

f

в сумму двух правильных дробей со знамена-

g1 g2

телями g1 и g2 :

f

=

u1

+

u2

=

v1

+

v2

, deg ui ,deg vi <deg gi .

g1 g2

g1

g2

g1

g2

Тогда, согласно определению равных дробей, верно равенство

u1 g2 +u2 g1=v1 g2+v2 g1 ,

которое можно переписать в виде

(u1−v1) g2=(v2−u2) g1 .

Из определения делимости вытекает, что g1 (u1−v1 )g2 . Но поскольку многочлены g1 , g2 взаимно простые, то (см. §22, следствие 2 из соотношения Безу) многочлен g1 является делителем u1−v1 . С другой стороны (см. §25, задача 6), deg(u1−v1)<deg g1 , поэтому u1=v1 и из равенства 0=(v2−u2) g1 вытекает, что u2=v2.

Если s>2, то пользуясь рассмотренным выше случаем, убеждаемся в

единственности разложения
	f	=	u1	+	f 1	.
	g1 g2 … gs		g1		g2 …g s

По предположению индукции разложение второй дроби в сумму правильных

	дробей со знаменателями g2 ,…, g s		также единственно. □
	Определение. Рациональная дробь			f		над полем K называется простей-
				g
	шей, если знаменатель g= pk , где
			p K [ x] — неприводимый над K много-
	член, k , и	deg f <deg p.					a
	Пример 1. Рациональная дробь		вида					, a , c K ,	будет простейшей
							k
	при любом поле	K .					( x−c)
	Задача 1. Опишите все простейшие дроби над полем .

Пример 2.	Если дискриминант многочлена x2+ p x+q [ x] отрицатель-
ный, то дробь		a x+b	(x)	является простейшей.
	2	k
	( x	+ p x+q)

Замечание. В следующем семестре мы покажем, что многочленами первой степени и многочленами второй степени с отрицательным дискриминантом исчерпывается множество неприводимых многочленов над полем . Из этого утверждения немедленно вытекает, что дроби

a

1

a

x+a

3

,

2

( p2−4 q<0)

k

(x

2

k

( x−c)

+ p x+q)

исчерпывают всё множество простейших дробей над полем .

Теорема 3. Пусть

f

— правильная дробь (над полем K ) и

g

g= p1k1 p2k2 … psks

—

f

разложение многочлена

g на

неприводимые

множители. Тогда дробь

g

единственным способом разлагается в сумму простейших дробей со знаменателями

p1 , p21 ,…, pk11 , p2 , p22 ,…, pk22 ,…, ps , p2s ,…, pks s .

Доказательство.

В силу теоремы 2 дробь gf раскладывается в сумму правильных дробей со

знаменателями p1k1 , pk22 ,…, pks s . Поэтому достаточно доказать теорему в случае, когда g= pk .

Если deg f <deg p, то дробь

f

=

f

уже простейшая. В противном случае,

g

pk

разделив f на p с остатком

получим

( f = f 1 p+r ,deg r<deg p),

f

=

f 1

+

r

.

(17)

pk

pk−1

pk

Вторая дробь в последней сумме является простейшей, а первая — правильной, как разность правильных дробей. Продолжая эту процедуру, мы в конце концов

разложим правильную дробь pfk в сумму простейших дробей со знаменателя-

ми p, p2 ,…, pk .

Единственность полученного разложения установим методом от противного.

	Пусть имеется разложение дроби	f	в сумму простейших дробей, отличное
		pk

от уже найденного. Выделяя простейшую

дробь

со

знаменателем

pk , мы

придём к равенству

f

=

h1

+

r1

,

(18)

pk

pk−1

pk

где deg r1<deg p и дробь

h

— правильная. Из (17) и (18) следует соотно-

pk−1

шение

f 1−h1

r1−r

=

,

pk−1

pk

которое можно переписать в виде

( f 1−h1) p=r1−r .

Из последнего равенства вытекает,

что

p (r1−r). Но deg(r1−r)<deg p ,

поэтому r1=r . Соотношение ( f 1−h1) p=0

возможно

только

при

f 1=h1 .

Следовательно, числитель простейшей дроби со знаменателем

pk определён

однозначно.

f 1

Применяя аналогичные рассуждения к

дроби

, числитель

которой

pk−1

определён однозначно, получим, что дробь со знаменателем pk−1 также определяется единственным образом. После этого мы перейдём к дроби со знамена-

телем pk−2 и т. д. □

Пример 3. Разложим на простейшие дроби следующую правильную рациональную дробь:

2x3−10 x2+12 x−6 (x). x4−2 x3+2 x2−2 x+1

Без труда устанавливается,		что x4−2 x3+2 x2−2 x+1=(x−1)2 ( x2 +1). Так как
многочлены x−1 и x2+1		неприводимые над полем , то искомое разложе-
ние имеет вид
	2 x3−10 x2+12 x−6		=	A	+	B	+ C x+ D ,
				( x−1)2		x−1
	x4−2 x3+2 x2−2 x+1						x2+1

где действительные коэффициенты A, B, C и D подлежат определению. Для их нахождения умножим обе части последнего равенства на (x−1)2 ( x2 +1):

2 x3−10 x2+12 x−6=A( x2 +1)+B(x−1)( x2+1)+(C x+D)(x−1)2 .

(19)

Напомним, что по определению два многочлена называются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Отсюда получаем систему четырёх линейных уравнений с неизвестными A, B, C и D :

{B+C=2,

A−B−2C +D=−10,

B+C−2 D=12,

A−B+D=−6.

Теорема 3 гарантирует, что выписанная система совместная и определённая.

Из первого и третьего уравнений системы находим, что D=−5 , а из второго и четвёртого — что C=2. Далее, из первого уравнения следует, что B=0 и, например, из четвёртого — что A=−1.

Итак,

2 x3−10 x2+12 x−6				=−	1	+	2 x−5		.
4	3	2	−2 x+1		2		2	+1
x	−2 x	+2 x			(x−1)		x

В последнем примере числители простейших дробей были найдены методом неопределённых коэффициентов. Этот же результат можно получить и несколько иным способом. Так как поле бесконечно, то (см. теорему в §14) соотношение (19) можно рассматривать как равенство функций.

Положив в (19) x=i , получим равенство 10 i+4=(C i+ D)(i−1)2 или, экви-

валентно, 2 С−2 Di=4+10 i .	Отсюда следует, что C=2, D=−5 .
При x=1 и x=0 получим	равенства −2=2 A и −6= A−B+D соответ-
ственно, откуда A=−1, B=0.

Задача 2. Разложите на простейшие дроби (над полем комплексных чисел) рациональную дробь xn1−1 .

Задача 3. Разложите на простейшие дроби (над полем p , p — простое

число) рациональную дробь	1	.
	x p−1

Нильс Хендрик Абель

Артур Кэли

Мариус Софус Ли

Паскуаль Йордан

Абрахам де Муавр

Леонард Эйлер

Исаак Ньютон	Этьен Безу

Джероламо Кардано	Никколо Фонтана	Франсуа Виет
	Тарталья

Паоло Руффини

Евклид