Kr3_4

УСЛОВИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

3.10.Три одинаковых точеных задача2·10-9 Кл находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной10 см. Определить модуль и направление силы, действующей на один из зарядов со сторон двух других.

3.11.Три точечных заряда Q1= Q2 =2·10-9 Кл и Q3= -2·10-9 Кл расположены вдоль прямой таким образом, что второй заряд Q2 находится на одинаковом расстоянии а=10см от первого Q1 и третьего Q3 зарядов. Сравнить между собой модули сил, действующих на каждый заряд со стороны других зарядов, и в определенном масштабе изобразить векторы этих сил на схеме расположения зарядов.

3.12.Три точечных заряда Q1=3·10-9 Кл и Q2= Q3 = -3·10-9 Кл расположены вдоль прямой так, что второй заряд Q2 находится между другими на одинаковом расстоянии а=20 см от них. Сравнить между собой модули сил, действующих на каждый заряд со стороны других зарядов, и в определенном масштабе изобразить векторы этих сил на схеме расположения зарядов.

3.13.Два положительных точечных заряда Q и 9Q закреплены на одинаковом расстоянии 1 м друг от друга. Определить, в какую точку на прямой, проходящей через эти заряды, следует поместить третий заряд, так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой заряд должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было достаточным, если перемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

3.14.Расстояние между двумя точечными зарядами 2·10-9 Кл и 4·10-9 Кл равно 0,6 м. Определить точку, в которую нужно поместить третий заряд так, чтобы система зарядов находилась в равновесии.

3.15.Четыре одинаковых заряда Q1=Q2 =Q3=Q4 =40 нКл закреплены в вершинах квадрата со стороной d=0,1 м. Найти силу, действующую на один из этих зарядов со стороны трех остальных.

3.16.В вершинах квадрата находятся одинаковые зарядыQ1=Q2=Q3= =Q4 =8·10-10 Кл. Какой отрицательный зарядQ нужно поместить в центре квадрата, так чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой отрицательного заряда.

317.На расстоянии 20 см находятся два точечных заряда -50 нКл и 100 нКл. Определить силу, действующую на заряд -10 нКл, удаленный от обоих зарядов на одинаковое расстояние, равное на 20 см.

3.18. Точечные заряды 20·10-8 Кл, -10·10-8 Кл находятся на расстоянии 5 см друг от друга. Определить силу, действующую на заряд 10·10-8 Кл, удаленный на расстоянии 3 см от первого и 4 см от второго заряда.

3.19. Точечные заряды Q1= Q2 =3·10-9 Кл находятся на расстоянии 3 см друг от друга. Определить силу, действующую на заряд Q1=2·10-9 Кл, расположенный на прямой, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему первые два заряда, на расстоянии 5 см от первого и второго заряда.

11

3.2 НАПРЯЖЕННОСТЬ И НАПРЯЖЕНИЕ.

ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Введение

Электрические поля могут быть графически изображены с помощью силовых линий, а также с помощью эквипотенциальных поверхностей. Напомним, что силовые линии проводятся так, чтобы касательная к ним в каждой точке пространства совпадали по направлению с вектором напряженности в той же самой точке. Для того чтобы с помощью силовых линий, называемых также линиями напряженности, охарактеризовать не только направление, но и величину вектора напряженности, условно принимают, что число линий, проходящих через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно к этим линиям, должно равняться численной величине напряженности в данной области поля. Тем самым величина напряженности поля характеризуются густотой силовых линий.

Для примера на рис.2 приведены силовые линии электрических полей, с которыми связано большинство ниже приводимых задач. Там же приведены формулы для расчета величины напряженности данных полей и соответствующие им формулы для расчета разности потенциалов(или напряжения).

Графическое изображение распределения потенциала в электрическом поле строится с помощью поверхностей равного потенциала(эквипотенциальных поверхностей), которые представляют собой совокупность всех точек поля, имеющих одно и то же значение потенциала(рис.2). Эти поверхности проводятся так, чтобы численное значение потенциалов на двух соседних поверхностях отличались повсюду на одинаковую величину(например, на 1 вольт). Для любых электрических полей силовые линии перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям в точках их взаимного пересечения. При этом составляющая вектора напряженности в данной точке по любому направлению, например оси Х, равняется производной от потенциала по этому -на правлению, взятой с отрицательным знаком (3.7 б):

dφ Eх = - dx ,

где – Ех проекция вектора Е на направление оси Х; dφ / dx - частная производная от потенциала по направлению оси Х. Знак минус в последней формуле показывает, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для случая однородного поля, для которого вектор напряженности повсюду одинаков и по величине, и по направлению эта формула записывается более простым соотношением (3.7, а).

12

Условие типичной задачи

Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными -за ряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда2·10-6 Кл/м2 и - 4·10-6 Кл/м2. Определить напряженность поля, созданного этими заряженными плоскостями, а также разность потенциалов между плоскостями, если расстояние между ними 2мм. Изобразить картину силовых линий электрического поля, а также график изменения численного значения напряженности поля с расстоянием вдоль прямой, перпендикулярной плоскостям.

Анализ и решение задачи

Поскольку по условию задачи поле создано двумя заряженными объектами, то согласно принципу суперпозиции полей (3.4) напряженность в каждой точке будет определяться геометрической суммой напряженностисо ставляющих полей Е1 и Е2, которые определяются формулой (3.6)

	E=	σ		E=	σ
		2ε0ε ;			ε0ε .

Изобразим силовые линии каждого из полей(рис.3а), соблюдая условное положение о том, что силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Учитывая направление силовых линий и выбирая направление направо за положительное, находим суммарную напряженность по указанным на рис.3 зонам:

Е

=

1

(-

σ

+

σ

)=

-2×10-6 + 4 ×10-6

=1,13×105 В/м;

I

2ε0ε

1

2

2 ×8,85 ×10-12

Е

=

1

(

σ

+

σ

)=

2 ×10-6 + 4 ×10-6

=3,39 ×105 В/м;

II

2ε0ε

1

2

2 ×8,85 ×10-12

Е

=

1

(

σ

-

σ

)=

-2×10-6 - 4 ×10-6

= - 1,13×105 В/м.

Ш

2ε0ε

1

2

2 ×8,85 ×10-12

Поверхностные плоскости зарядов s1 и s2 берутся везде по абсолютной величине, так как знак заряда уже был учтен направлением поля (рис.3б).

Отложив в условном масштабе полученные значения напряженностей, получим график изменения напряженности вдоль силовых линий по трем выделенным зонам результирующего поля (рис.3б).

Разность потенциалов между пластинами легко определяется по фор-

муле (3.7, а):

j 1 -j 2 =EII Чl=3,39Ч105 Ч2Ч10-3 =6,78Ч102 В.

13

			Q				r
Eт.з.	=					;	Е
			4πε	0εr	2
Е, j
			Q
jт.з.	=						Q
		4πε0εr

(при j¥ ® 0)

j = const

j

E

r

Е, j

t

τ

Eз.л.

=

;

r

2πε0εr

Е

jз.л. =j0

+

t

ln

r2

φ=const

2πε0εr

r1

j

E

r

Рис. 2. Формулы расчета и графическое изображение электрических полей точечного заряда и заряженной нити

14

+ σ1

- σ2

а

I	II	III
+ σ1		- σ2

б

E, в/м

4·105

2·105

в

X

0

Рис. 3. Силовые линии и график изменения напряженности поля, созданного двумя заряженными плоскостями

15

УСЛОВИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

3.20. Две параллельно заряженные плоскости, поверхностные плотно-

сти заряда которых2·10	-6	2	-6	2
		Кл/м и -3·10		Кл/м находятся на расстоянии

0,5 см друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями и изобразить график изменения напряженности вдоль прямой, перпендикулярной к пластинам.

3.21.Поле образовано двумя параллельными плоскостями, заряженными до одинаковой поверхностной плоскости заряда2·10-6 Кл/м2. Изобразить силовые линии поля между плоскостями и вне их и найти численное значение напряженности на указанных участках. Построить график изменения напряженности вдоль прямой, перпендикулярной к пластинам.

3.22.Построить график зависимости от расстояния вдоль силовой линии величины напряженности и потенциала для точечного заряда6·10-9 Кл, приняв равным нулю потенциал в бесконечно удаленной точке.

323.Изобразить силовые линии поля, созданного заряженной бесконечной нитью, и построить график изменения с расстоянием вдоль силовой

линии численного значения напряженности для случая, когда линейная плотность заряда нити 2·10-6 Кл/м.

3.24.Две параллельно заряженные плоскости, поверхностные плотно-

сти заряда которых 2·10-6 Кл/м2 и 6·10-6 Кл/м2, находятся на расстоянии 5 мм друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями и построить график изменения с расстоянием вдоль силовой линии численного значения напряженности поля между плоскостями и вне их.

3.25. Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет равномерно распределенный по длине нити заряд с линейной плотностью2·10-10 Кл/м. Построить график изменения с расстоянием вдоль силовой линии численного значения напряженности и определить разность потенциалов двух точек поля, удаленных от нити на расстояния 2 см и 4 см.

3.26. Поле создано двумя заряженными плоскостями, отстоящими на расстоянии а = 0, 6 см друг от друга. Поверхностная плотность заряда на плоскостях 3·10-6 Кл/м2 и -1·10-6 Кл/м2. Найти разность потенциалов между плоскостями и изобразить график изменения напряженности вдоль прямой, перпендикулярной к плоскостям.

3.27.Изобразить картину силовых линий поля, созданного заряженны-

ми параллельными плоскостями, если поверхностная плотность заряда пластин 4·10-6 Кл/м2 и -3·10-6 Кл/м2. Построить график изменения с расстоянием вдоль силовой линии численного значения напряженности поля.

3.28.Построить график изменения с расстоянием вдоль силовой линии численного значения напряженности поля, созданного двумя параллельными

плоскостями, заряженными до поверхностной плотности заряда5·10-6 Кл/м2

и-2·10-6 Кл/м2.

3.29.Электрическое поле создано двумя параллельными пластинами, заряженными одинаково до поверхностной плотности5·10-6 Кл/м2. Постро-

16

ить картину силовых линий суммарного поля и изобразить график изменения численного значения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

3.3 ДВИЖЕНИЕ ЗАРАЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Введение

На заряженную частицу, находящуюся в электрическом поле, действует кулоновская сила (3.2). Если никакие другие силы на частицу не действуют, то согласно второму закону Ньютона частица получает условное движение. Происходящее при этом изменения кинетической энергии частицы будет совершаться за счет работы кулоновской силы:

		mv2		mv2				)2
D Eк =A,	или	2	-	1	=Q j	1	-j		,
		2		(
				2

где m, Q – масса и заряд частицы соответственно; v1 и v2- начальная и конечная скорость частицы; φ1 и φ2 - разность потенциалов в начальной и конечной точках, проходимых частиц. Приведенное энергетическое соотношение являются ключевым для решения задач рассматриваемого типа.

Условия типичной задачи

Электрон летит из состояния покоя от одной пластины плоского конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами равна3 кВ; расстояние между пластинами 5 мм. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение электрона; 3)скорость, с которой электрон приходит ко второй пластине; 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.

φ1 - φ2 = 3·103 В l =5·10-3 м

F - ? а - ? v - ? σ - ?

Анализ и решение задачи

Запишем краткое условие задачи. На электрон в электронном поле действует кулоновская сила(3.2) F=QE , которая сообщает электрону ускорение a=F/m. При этом кулоновская сила будет совершать работу(3.8), равную кинетической энергии, приобретенной электроном:

Q j	-j	)2	= mv2/2	.
( 1

Если теперь учесть, что для рассматриваемого однородного электрического поля применимы соотношения (3.7) и (3.6), т.е.

E=	j 1 -j 2	,	E=	σ	,
				εε0
	l

можно получить все формулы, необходимые для определения всех искомых величин:

17

j 1 -j 2

Q j

-j

)2

2Q j

-j

)2

j 1 -j 2

F=Q

; a =

( 1

; v=

( 1

; σ = ε0

.

ml

m

l

l

Подставляя в эти формулы значения заданных по условию задачи вели-

чин и, учитывая известные значения массы и заряда электрона(m=10-30 кг; Q=1,6·10-19 Кл), получим:

F=

2Ч1,6Ч10-19 Ч3Ч103

=3,1Ч10

4

Н

;

10

-30

-12

3Ч103

-6

2

σ=2Ч8,85Ч10

Ч

-3

=10,6Ч10

Кл/м

;

5Ч10

v =

2 ×1, 6 ×10-19 ×3×103

= 3,1×107 м/с ;

10-30

s = 8,85 ×10-12 ×

3×103

=10, 6 ×10-6 Кл/м2 .

5 ×10-3

УСЛОВИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

3.30.Пылинка массой 2·10-4 кг, несущая на себе заряд 40 нКл, влетела в электрическое поле в направлении силовых линий поля. После прохождения разности потенциалов 200 В пылинка имела скорость10 м/с. Определить скорость пылинки до того, как она влетела в поле.

3.31.Электрон, обладающей кинетической энергией 1,6·10-18 Дж, влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий поля. Какой скоростью будет обладать электрон, пройдя в этом поле разность потенциалов 8 В?

3.32.Найти соотношение скорости ионов Cu++ и К+, прошедших одинаковую разность потенциалов.

3.33.Ион лития Li+ прошел разность потенциалов400 B, ион натрия Na+ прошел разность потенциалов300 B. Найти отношение скоростей этих ионов.

3.34.Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пласти-

ны до другой, приобрел скорость 105 м/с. Расстояние между пластинами8 мм. Найти разность потенциалов между пластинами и поверхностную плотность заряда на пластинах.

3.35.Пылинка массой 5·10-12 кг, несущая на себе 10 электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов1 кВ. Какую скорость приобрела пылинка?

3.36.Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами, находящимися на настоянии2 см друг от друга; разность потенциалов

18

между ними 120 В. Какую скорость приобретет электрон под действием поля, пройдя по силовой линии расстояние 3 м.

3.37. Протон, начальная скорость которого 105 м/с влетает в однородное электрическое поле напряженностью 3 В/м так, что вектор скорости совпадает с направлением линии напряженности. Какой путь должен пройти протон в направлении линии напряженности, чтобы его скорость удвоилась?

3.38.Электрон, находящийся в однородном электрическом поле, получил ускорение, равное 1012 м/с. Найти: 1) напряженность электрического поля; 2) скорость, которую получил электрон за10-6 с своего движения, если начальная скорость его равна нулю; 3) работу сил, электрического поля за это время; 4) разность потенциалов, пройденную при этом электроном.

3.39.Шарик массой 1 г перемещается в однородном поле из точки ,А потенциал которой 600 В в точку В, потенциал которой равен нулю. Опреде-

лить скорость шарика в точке А, если в точке В его скорость стала2 м/с. Заряд шарика 10-8 Кл. Найти ускорение движения шарика, если расстояние между точками А и В равно 2 м.

3.4 ПЛОСКИЙ КОНДЕНСАТОР.

СОЕДИНЕНИЕ КОНДЕНСАТОРОВ

Введение

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных прослойкой диэлектрика. При приложении к конденсатору некоторой разности потенциалов его обкладки заряжаются равными по величине зарядами противоположных знаков. Под электроемкостью конденсатора понимается отношение заряда донной из его обкладок к разности потенциалов между -об кладками (3.9б)

	С=	Q		.
		j 1 -j	2

Плоский конденсатор состоит из двух проводящих пластин, пространст-

во между которыми заполнено диэлектриком с проницаемостьюε. Электрическое поле внутри заряженного конденсатора считается однородным; это позволяет использовать соответствующие формулы для напряженности(3.6) и вывести формулу для емкости плоского конденсатора (3.10):

C= e0eS , d

где ε - диэлектрическая проницаемость диэлектрика; ε - электрическая постоянная; S - площадь одной обкладки; d - расстояние между обкладками.

При параллельном соединении одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал φ1 и другая φ2, т.е. напряжение на всех конденсаторах будет одинаковым. Тогда заряд конденсатора будет прямо пропорционален его ем-

19

кости Qi = CiU, а суммарный заряд, накапливаемый во всей батареи, будет равен

Q=ΣQi =ΣCi U=UΣCi =UC ,

где C = ΣQi (3.11) – емкость батареи, Ci - емкость отдельного конденсатора.

При последовательном соединении конденсаторов к концам батареи приложена разность потенциалов φ1 – φ2 , из-за чего крайние пластины батареи заряжены разными зарядами ±Q. Вследствие электростатической индукции на всех промежутках пластины заведется заряды, так же численно равные ±Q, т.е. заряд всех конденсаторов будет одинаковым. При этом напряжение на каждом конденсаторе будет определяться их емкостью

Ui =Q/Ci ,

а полная разность потенциалов будет равна

U=ΣUi =Σ Q =QΣC-i1 =Q/C , Ci

где C-1 =ΣCi-1 .

Условия типичной задачи

Определить электрическую емкость плоского конденсатора с двумя слоями диэлектрика: фарфора толщиной 2 мм и эбонита толщиной1,5 мм, если площадь пластины равна 100 см2. Чему будет равна напряженность поля и разность потенциалов в каждом из слоев диэлектрика, если на конденсатор будет подано напряжение 150 В?

Анализ и решение задачи

Указанные в условии задачи материалы диэлектрической прослойки (фарфор и эбонит) имеют соответствующие значения диэлектрической проницаемости, которые находим в таблице и записываем в краткое условие задачи:

εф = ε1 = 5			Описываемый в задаче конденсатор с двумя слоями
εэ = ε2 = 3			диэлектрика, можно для наглядности представить
			в виде последовательного соединения конденсаторов,
d1 = 2·10-3 м			каждый из которых имеет только один, тот или иной
d2 = 1.5·10-3 м			диэлектрик. Емкость таких отдельно рассматриваемых
S = 10-2 м			конденсаторов будет:
С - ?, E - ?, E - ?			C = e0e1S		;	C	2	= e0e2S
			1	d1				d2
1		2
U1 - ?,U2 -	?

20