Kr3_4

Согласно формуле для емкости батареи из последовательного соединения конденсаторов (3.11 а):

1	=	1	+	1		,
С		С		С
		1			2

откуда

С= С1 С2 . С1 +С2

Учитывая вышеприведенные формулы для С1 и С2, получим после преобразования:

	С=	e0S
		d2 /e2 +d1/e2 .

Для определения разности на каждом из слоев диэлектрика запишем два соотношения, относящихся к последовательному соединению двух конденсаторов:

U=U1 +U2 , C1U1 =C2 U2 ,

откуда

U =U

C

=

U

1+d1e2 /d2e1 .

1

C1

По найденному значению разности потенциалов на каждом слое диэлек-

трика легко найти соответствующее значение напряженности поля

E =

U1

;

E

2

=

U2

.

1

d1

d2

Подставим численное значение величин

C =

8,85Ч10-12 Ч10-2

= 9,83Ч10-12Ф;

U =

150

= 120В;

2Ч10-3

1,5Ч10-3

2Ч10-3 Ч3

+

1

1 +

5

3

1,5Ч10-3 Ч5

U

= 150 - 120 = 30В; Е =

120

= 60Ч103В/м; Е

=

30

= 2Ч104 В/м.

2

2

1

2Ч10-3

1,5Ч10-3

УСЛОВИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

3.40.Два одинаковых плоских воздушных конденсатора емкостью100 мкФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, насколько изменится емкость батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином.

3.41.Два конденсатора емкостью 5 мФ и 8 мФ соединены последовательно и присоединены к батарее с ЭДС80 В. Определить заряды конденсаторов и разность потенциалов между их обкладками.

21

3.42.Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см каждая. Расстояние между пластинами 2 мм. Конденсатор присоединен

кисточнику напряжения80 В. Определить заряд и напряженность поля в двух случаях: а) диэлектрик - воздух; б) диэлектрик – стекло.

3.43.Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно в батарею, которая присоединена к источнику напряжения с ЭДС 12 В. Определить, насколько изменится напряжение на одном из конденсаторов, если другой погрузить в трансформаторное масло.

3.44.Пространство между пластинами плоского конденсатора заполненного двумя слоями диэлектрика: стекла толщиной 0,2 см и парафина толщиной 0,3 см. Разность потенциалов между обкладками300 В. Определить напряженность Е поля и падение потенциала в каждом из слоев.

3.45.К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов 600 В и отключенному от источника напряжения, присоединили второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком (фарфор). Определить диэлектрическую проницаемость фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до

100 В.

3.46.Два конденсатора емкостью 3 мкФ и 6 мкФ соединены между собой и присоединены к батареи с ЭДС120 В. Определить заряд каждого конденсатора и разность потенциалов между его обкладками, если конденсаторы присоединены: 1) параллельно; 2) последовательно.

3.47.Конденсатор емкостью 0,2 мкФ был заряжен до напряжения 320В. После того, как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до напряжения 450 В, напряжение на нем изменилось до 400 В. Вычислить емкость второго конденсатора.

3.48.Конденсатор емкостью 0,6 мкФ был заряжен до напряжения 300 В и соединен со вторым конденсатором емкостью0,4 мкФ, заряженным до напряжения 150 В. Найти численное значение заряда, перешедшего с пластин первого конденсатора на второй.

3.49.Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, приложена разность потенциалов 300 В. В про-

странстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластина стекла толщиной 0,5 см и плоскопараллельная пластина парафина толщиной 0,5 см. Найти: 1) напряжение электрического поля в каждом слое; 2) падение потенциала в каждом слое; 3) емкость конденсатора, если площадь пластины

100см2.

22

3.5 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПЛОСКОГО

КОНДЕНСАТОРА

Введение

Энергетическая оценка электрического поля на примере простейшего поля плоского конденсатора является продолжением задач предыдущего параграфа. Дополнительными здесь будут формулы(3.12) для определения энергии заряженного конденсатора. Ключевое значение имеет универсальная формула взаимосвязи изменения энергии с работой, поскольку энергия заряженного конденсатора (или любого заряженного проводника) определяется величиной работы внешних сил, которую необходимо совершить для того, чтобы зарядить данный проводник(или величиной работы, которую может совершить электрическое поле заряженного проводника при его разряде).

Условие типичной задачи

Конденсатор емкостью 3·10-3 Ф был заряжен до разности потенциалов 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором5·10-3 Ф. Какое количество энергии первого конденсатора израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.

С1 = 3·10-3 Ф С2 = 5·10-3 Ф

U = 40 B

E - ?

Анализ и решение

Количество энергии, израсходованное на образование искры, будет определяться разностью между энергией Е1, которой обладал первый конденсатор до присоединения к

нему второго конденсатора, и энергии Е, которую имеет

2

батарея, составленная из первого и второго конденсаторов:

Е = Е – Е , где Е =								С U2					С		U2			;
								1 1		;	Е	=		2	2	; С=С + С
	1		2		1		2				2			2		1	2
E	=	С U 2	; Ε	=	С	U	2		; С		=С +С			.
		1 1			Б	Б
1	2		2			2				Б	1		2

Для определения разности потенциалов на зажимах батареи воспользуемся тем обстоятельством, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежний.

Поэтому, записав формулу электроемкости первого конденсатора и электроемкости батареи

С1 =Q/U1; СБ =Q/UБ ,

имеем

С1U1 =СБ UБ ,

откуда

UБ = С1U1 .

СБ

23

Подставляя все формулы в исходное соотношение, получим

D Ε= С1U1 - (С1 +С2 )С1U1 . 2 2(С1 +С2 )2

После простых преобразований найдем

D Ε=	1	Ч	С1С2	U2 .
			1
	2 С1 +С2

В полученное выражение подставим численное значение и вычислим Е:

D Ε= 1 Ч3Ч10-3Ч5Ч10-3 Ч1600=1,5 Дж . 2 3Ч10-3 +5Ч10-3

УСЛОВИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

3.50.Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин100 см 2 и расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В и отключен от источника напряжения. Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм. Найти величину совершенной при этом работы.

3.51.Плоский воздушный конденсатор, расстояние, между пластинами которого равна 5 мм, заряжается от источника напряжения в6 кВ. Площадь

пластин конденсатора равна 12,5 см 2 . Определить возникшее при этом изменение энергии электрического поля.

3.52.Между пластинами плоского конденсатора находится плотно при-

легающая стеклянная пластина. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 100 В, его энергия при этом равна2·10-3 Дж. После того, как конденсатор отключили от источника напряжения, диэлектрик вынули из конденсатора. Найти работу, которую надо совершить против сил электрического поля, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора.

3.53.Емкость плоского конденсатора С= 1,1·10-11 Ф. Диэлектрик – фарфор. Конденсатор зарядили до разности потенциалов U = 600 В и отключили от источника напряжения. Каждую работу нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора? Трение пренебрежительно мало.

3.54.Площадь пластины плоского воздушного конденсатора100 см 2 и расстояния между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов 300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения, пространство между пластинами заполняется эбонитом. Определить, как изменится при этом разность потенциалов между пластинами, емкость конденсатора и его энергия.

3.55.Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и на его пластины подана некоторая разность потенциалов. Его энергия при этом равна2·10-5 Дж. После того, как конденсатор отключили от источника напряжения, диэлектрик вынули из конденсатора. Работа, которую надо было совершить

24

против сил электрического поля, чтобы вынуть диэлектрик, равна 7·10-5 Дж. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика.

3.56. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого 2 см, заряжен до разности потенциалов3000 В. При отключении источника, напряжения раздвигают пластины конденсатора до расстояния5 см. Определить потребную для этого работу. Площадь пластин 100 см 2 .

3.57.Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см каждая. Расстояние между пластинами 1 см. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 1200 В и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, увеличить расстояние между ними до 3,5 см?

3.58.Плоский воздушный конденсатор емкость 2·10-8 Ф заряжен до разности потенциалов 300 В. После отключения от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в пять раз. Определить работу внешних сил по раздвижению пластин.

3.59.Конденсаторы емкостью 1 мкФ, 2 мкФ и 3 мкФ включены в цепь с напряжением 1100 В. Определить энергию каждого конденсатора в случае параллельного и последовательного их включения.

3.6ТОК В МЕТАЛАХ, ЭЛЕКТРОЛИТАХ И ГАЗАХ

Электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц (электронов, ионов и т.д.). Поскольку электрические заряды существуют в двух видах (положительные и отрицательные), то общий электроперенос можно представить как сумму двух противотоков (3.13):

	i =	dQ+	+	dQ-	,	(1)
		dt		dt

где i - сила тока – скалярная величина, равная заряду, переносимому через поперечное сечение проводника в единицу времени; dQ+ - положительный заряд; dQ- - отрицательный заряд; dt – промежуток времени, за который происходит перенос заряда.

Численное значение заряда, прошедшего через сечение проводника, может быть связано с числом движущихся заряженных частиц. Возьмем для простоты рассуждения проводник цилиндрической формы и выделим в нем два поперечных сечения, отстоящих друг от друга на расстояние

dl = u dt ,

(2)

где ‹u› - средняя скорость упорядоченного движения заряженных частиц. Легко видеть, что в заключенном между выделенными сечениями уча-

стке проводника содержится то число заряженных частиц, которое за время наблюдения dt пройдет через указанное сечение. Следовательно, можно записать

dQ = еnS u dt ,

(3)

25

где е - заряд одного носителя тока(электрона, иона и т.д.); n – число заряженных частиц, заключенных в единице объема; S – площадь поперечного сечения проводника. Если ввести еще понятие плотности тока (3.14), которая численно равна отношению силы тока к площади поперечного сечения проводника, то исходную формулу (1) можно преобразовать к виду:

j = е+n+ <u+ > + е-n- <u- > ,

(4)

где j – плотность тока, е+ и е- - абсолютная величина зарядов носителей электрического тока; ‹u+› и ‹u-› - среднее значение скорости носителей положительных и отрицательных зарядов. Выражение (4), отражающее дискретный или атомарный характер электрического заряда, позволяет проводить сравнительные оценки интенсивности электропереноса в различных проводящих средах.

В металлах носителями электрического тока являются свободные электроны. Концентрацию свободных электронов в металлах можно оценить исходя из того, что их образование происходит путем отщепления от атомов в процессе формирования кристаллической решетки, т.е. можно принять, что концентрация свободных электронов равна количеству атомов в единице объема. Число атомов в единице объема можно найти, умножив постоянную Авогадро на число киломолей, а это число получим, поделив плотность металла на массу его киломоля. В результате получим, что для большинства металлов концентрация свободных электронов имеет значение порядка:

n=1028 ...1029м-3 . (5)

Теперь	предоставляется возможность оценить величину скорости упо-
рядоченного	движения электронов. Для этого используем соотношение(4),
которое для металлов следует записать как j = e-n-‹u-› или упрощенно:
	j = e n <u> .	(6)

Известно, что предельно допустимая техническими нормами плотность тока для медных проводов составляет около 107 A/м2. Взяв для n вышеприведенное значение 1029 м-3, получим:

<u> =	j	=		107				»10	-3	м/с .
	en		1,6 ×10		-19	×10	29

Для характеристики упорядоченного движения заряженных частиц в проводящем веществе вводится еще подвижность носителей тока, под которой подразумевается средняя скорость, приобретаемая носителем в поле, напряженность которого равна единице. Если в поле напряженностью Е носители электрического тока приобретают скорость V, то подвижность u0 равна:

u0 = V/ E .

(7)

26

С учетом (7) соотношение (1) преобразуется к виду

j = (e+ n+ u+0 + e-n- u-0 )Е ,

(8)

который представляет собой дифференциальную форму закона Ома.

В электролитах, где молекулы диссоциируют на два иона
e+ =e- =e;	n+ =n- =n
и поэтому
j = en ( u0+ +	u0- )E .	(9)

Подвижность ионов в электролитах очень мала. При комнатной темпера-

туре для водных растворов она составляет примерно10-8 … 10-7 м/с . Под- В/м

вижность электронов в металлах приблизительно на четыре порядка больше. Прохождение тока через электролиты сопровождается химическими

превращениями, в результате чего на электродах происходит выделение вещества.

Согласно первому закону Фарадея масса выделившегося на электроде вещества пропорционально заряду, прошедшему через электролит (3.25)

m=kQ,

(10)

где k - электрохимический эквивалент вещества.

Второй закон Фарадея связывает электрохимический эквивалент вещества с его химическим эквивалентом

k=	1	×	A	,	(11)
	F Z

где А и Z - атомная масса и валентность данного вещества; F – число Фарадея; оно показывает, кокой электрический заряд должен пройти через электрический ток для того, чтобы выделился один килограмм-эквивалент вещества.

В газах различают два режима электропереноса: при слабых полях, когда ток далек от насыщения, выполняется закон Ома (8):

j=en(u+ +u- )E ,

(12)

где n – концентрация ионов (число ионов каждого закона в единице объема). При сильных полях, когда практически все возникающие ионы достига-

ют электродов, и плотность тока является наибольшей(называемой плотностью тока насыщения)

jнас =е n d ,

(13)

где n – число пар ионов, создаваемых ионизатором в единице объема в единицу времени; d – расстояние между электродами.

27

Анализ и решение задачи

а) Ток в металлах

По железному проводнику с диаметром сечения 0,6 мм течет ток силой 16 А. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов считая, что число свободных электронов в единице объема равно числу атомов в единице объема проводника.

d = 6·10-4 м	Решение
I = 16 А	Поскольку в данной задаче затрагивается электронный
‹u› - ?	механизм электропереноса, то в качестве	исходной
	формулы берем соотношения между плотностью тока и
	потока свободных электронов (3.15):
	j=en u ,	(1)

где j - плотность тока; e – заряд электрона; n – концентрация свободных электронов; ‹u›- средняя скорость электронов. Для использования формулы(1) найдем плотность тока по определяющей для нее формуле (3.14)

j=I/S ,

(2)

а число атомов в единице объема металла найдем как произведение постоянной Авогадро NA и отношения плотности ρ металла к массе его киломоля М.

n0 =NА ρ/М .

(3)

Массу киломоля металла найдем, выразив в килограммах значение его относительной атомной массы. Например, для железа найдем таким образом, что М = 56 кг/кмоль.

Принимая найденное значение n0

равным концентрации свободных элек-

тронов n, запишем расчетную формулу для искомых величин

u = j / en = 4 M I / πd2еρNА .

(4)

Подставляя численные значения заданных величин(включая сюда и

табличные данные: NA = 6·1026 кмоль-1; ρ = 7,8·103 кг/м3; е = 1,6·10-19 Кл, по-

лучим

4 ×56 ×16

u =

= 4,2 ×10

-3

м/с .

×10

-8

×1,6 ×10

-19

×7,8 ×10

3

×6 ×10

26

3,14 ×36

б) Ток в электролитах

Электрод в виде медной пластины площадью2,5 см 2 погружен в электролитическую ванну с раствором медного купороса. При прохождении тока, плотность которого 0,02 А/см2, на пластине выделилось 100 мг меди. Определить время пропуска тока.

S = 2,5·10-3 м2	Решение
j = 200 А/м2	Кинетика электролиза определяется двумя законами Фа-

28

Q = I t

m = 10-4 кг

t = ?

радея, первый из которых утверждает, что масса вещества, выделившегося на электроде, пропорционально заряду, прошедшему через электролит (3.25):

m = kQ ,

где k – электрохимический эквивалент вещества.

Если заряд, прошедший через электролит, выразить через силу тока

,

а последнюю величину связать с плотностью тока

I=jS ,

то легко получить расчетную формулу для искомой величины t = m/ kjS .

Подставляя численное значение заданных величин (включая сюда табличное значение k = 0,34·10-6 кг/Кл), получим

t =			10-4		= 6 ×102с = 10 мин .
		-6	×200 ×2,5 ×10	-3
0,34 ×10

в) Ток в газах

Между пластинами конденсатора площадью 2,5 см2 каждая, находится 3,75 см3 водорода. Концентрация ионов в газе 5,3·107 см-3. Какое напряжение нужно приложить к пластинам, чтобы получить ток силой 2·10-6 А?

S = 2,5·10-2 м2	Решение
V = 3,75·10-4 м3	Судя по условию задачи можно заключить, что проте-
n = 5,3·1013 м-3	кающий ток далек от насыщения и поэтому здесь спра-
I = 2·10-6 А	ведлив закон Ома:
	j = en (u0+ + u0- )E ,
U - ?

где j - плотность тока; е – заряд иона; u+0 и u-0 - подвижности, соответственно, положительных и отрицательных ионов; Е – напряженность электрического поля. Зная напряженность поля плоского конденсатора ,Еможно найти напряжение U на его обкладках по известному соотношению между этими величинами

U = Ed,
где d расстояние между пластинами.
Учитывая, что
d = V/S;	j = I/S,

получим исходную формулу для искомой величины:

I V

U= en (u+0 +u-0 )S2 .

Подставляя численные значения заданных величин с учетом табличных значений e = 1,6·10-19 Кл, u+0 = 5,4·10-4 м2/В·с; u-0 = 7,4·10-4 м2/В·с, получим:

29

	2 ×10-6 ×3,75×10-4
U =	1,6 ×10-19 ×5,3(5,4+7,4)×10-4 ×6,25 ×10-4 = 110 B.

УСЛОВИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ

3.60.Сила тока в металлическом проводнике I = 0,8 А, сечение провод-

ника S = 4 мм. Принимая, что в каждом кубическом сантиметре металла содержится n = 2,5·1022 свободных электронов, определить среднюю скорость их упорядоченного движения.

3.61.Определить среднюю скорость упорядоченного движения элек-

тронов в медном проводнике при силе тока I = 10A и сечении проводника S = 1мм2. Принять, что на каждый атом меди приходится два электрона проводимости.

3.62.Плотность тока в алюминиевом проводеj = 1 A/мм2. Найти сред-

нюю скорость упорядоченного движения электронов, предполагая, что число свободных электронов в 1 cм3 алюминия равно числу атомов.

3.63.В медном проводнике длиннойl = 2 м и площадью поперечного сечения S = 0,4 мм2 идет ток. При этом ежесекундно выделяется количество теплоты Q = 0,35 Дж. Сколько электронов проходит за 1 с через поперечное сечение проводника?

3.64.Через электролитическую ванну в течение t = 5 мин шел ток силой I = 2 А. Сколько атомов металла отложится на катоде, если металл двухвалентен.

3.65.Сколько атомов двухвалентного металла выделится на1 см2 поверхности электрода за время t = 5 мин при плотности тока j = 0,1 A/м2?

3.66.При электролизе раствора НСl на катоде за некоторое время выделился 1 г водорода. Сколько за это же время выделилось на аноде хлора?

3.67.Воздух между плоскими электродами ионизационной камеры ио-

низируется рентгеновскими лучами. Сила тока, текущего через камеру, 1,2·10-6А. Площадь каждого электрода 300 см2, расстояния между ними 2 см, разность потенциалов 100 В. Найти концентрацию пар ионов между пласти-

нами, если ток далек от насыщения. Подвижность положительных ионов 1,4·10-4 м2/В·с, и отрицательных 1,9·10-4 м2/В·с. Заряд каждого иона равен заряду электрона (по абсолютному значению).

3.68.Азот ионизируется рентгеновскими лучами в объеме, заключен-

ном между плоскими электродами ионизационной камеры. Площадь одного электрода 200 см2, расстояние между электродами 1,5 см. Сколько пар ионов

образуется ежесекундно в объеме ионизационной камеры, если сила тока, текущего через камеру, 2·10-6А при напряжении на электродах120 В. Подвижность положительных ионов 1,27·10-4 м2/В·с и отрицательных 1,81·10-4 м2/В·с. Заряд иона равен заряду электрона (по абсолютному значению).

3.69.Между плоскими электродами ионизационной камеры течет ток 10-9 А при разности потенциалов между электродами 25 В. Площадь каждого

30