1) Когда украл Карл; 2) когда украла Клара; 3) когда Карл и Клара, действовали

заодно и вместе совершили это преступление.

По-другому дело обстоит с операций ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ:

«Либо Карл украл кларнет, либо Клара украла». Третий случай (совместной

кражи), который был возможен при обычной дизъюнкции, здесь исключён.

Импликация, или логическое следование

Импликация – логическая операция, соответствующая

логической связке «ЕСЛИ, ТО». Обозначается символами →, ,

а также словом «imp». Из таблицы истинности видно, что

выражение a → b равно 1 во всех случаях, кроме a = 1 и b = 0. На

языке логики импликация читается так: из ложного

высказывания может следовать что угодно, но из истинного высказывания

обязательно должна следовать истина.

Пример. «Если сейчас идёт дождь, то на небе имеются тучи». Данное

высказывание истинно при: 1) дождя нет и на небе нет туч; 2) дождя нет и на

небе есть тучи (согласитесь, что такое вполне бывает – присутствие туч на небе

ещё не значит, что обязательно есть дождь); 3) дождь есть и тучи есть. Однако,

если вдруг получилось так, что дождь есть, а на небе туч нет, тогда заданное

высказывание не соответствует действительности, то есть тогда оно ложно.

a b a  b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

a b a → b

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 135

Эквивалентность, или равнозначность

Эквивалентность – логическая операция, соответствующая

логической связке «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА».

Обозначается символами ↔, ~, ≡, а также словом «eqv». Из

таблицы истинности видно, что выражение a ↔ b равно 1 тогда,

когда a = b. На языке логики это значит, что составное

высказывание, образованное с помощью операции эквивалентности будет

истинно тогда, когда исходные высказывания одновременно истинны или

одновременно ложны.

Примеры. «Человек жив тогда и только тогда, когда он дышит»; «Продукт

имеет массу килограмм тогда и только тогда, когда имеет массу 1000 грамм».

Логические элементы

Логический элемент – технический (обычно полупроводниковый)

элемент, выполняющий определённую логическую операцию над подаваемыми

на его вход цифровыми сигналами.

Цифровые сигналы – это сигналы, которые могут принимать только два

значения: «0» или «1». Для электрического цифрового сигнала «0»

соответствует напряжению 0В и «1» соответствует напряжению +5В.

Технические обозначения базовых логических элементов

К базовым логическим элементам относятся элементы, выполняющие

операции:

1) логического умножения – элемент «И» (рис.4);

2) логического сложения – элемент «ИЛИ» (рис.5);

3) инверсии – элемент «НЕ» (рис.6).

Входные линии элементов всегда слева, а выходная линия – справа.

Принцип работы этих логических элементов:

Пример 1. На вход элемента «И» подали сигналы a = 1 и b = 0. На выходе будет

сигнал «0», поскольку a  b = 1  0 = 0 (см. таблицу истинности для

конъюнкции).

a a

b b

a  b

a

& a  b 1

a

1

& 1 1

Рис.4. Элемент «И» Рис.5. Элемент «ИЛИ» Рис.6. Элемент «НЕ»

a b a ↔ b

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 136

Пример 2. На вход элемента «ИЛИ» подали сигналы a = 1 и b = 0. На выходе

будет сигнал «1», поскольку a  b = 1  0 = 1 (см. таблицу истинности для

дизъюнкции).

Пример 3. На вход элемента «НЕ» подали сигнал a = 1. На выходе будет сигнал

«0», поскольку a = 1 = 0 (см. таблицу истинности для инверсии).

Логические элементы «И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ»

В технике также широко применяются сдвоенные логические элементы

«ИЛИ-НЕ» и «И-НЕ».

Логические схемы

Логические схемы – это схемы, построенные из логических элементов.

Составление логической схемы – один из этапов проектирования новых

цифровых устройств (новых микросхем).

Рассмотрим этот процесс на примере создания логической схемы, которая

бы выполняла логическую операцию ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ.

Непосредственного логического элемента для этой операции нет, поэтому мы

составим логическую схему, используя имеющиеся базовые логические

элементы: «И», «ИЛИ» и «НЕ».

Этап 1. На основе таблицы истинности искомой функции составляем

логическое выражение, эквивалентное её значению:

a  b = a  b  a  b

Этап 2. По возможности упрощаем полученное выражение.

В нашем случае упростить выражение a  b  a  b не удастся,

так как оно уже является наиболее простой формой.

Этап 3. Глядя на полученное логическое выражение a  b  a  b , строим

логическую схему из базовых логических элементов:

a b a  b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

a  b

a

b

a  b

a

b

& 1

Рис.7. Элемент «И-НЕ» Рис.8. Элемент «ИЛИ-НЕ»

a b a  b

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

a b a  b

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 037

Этап 4. Избавляемся от явных элементов «НЕ», заменяя их инверсными

входами.

Из подобных схем (только значительно сложнее) составляются любые

цифровые устройства: процессор, кэш-память, контроллеры материнской

платы, контроллеры внешних устройств, микросхемы калькуляторов и др.