Типовые задания по математике для студентов горного института

Тема 1. Векторная алгебра

1.1. Теоретические вопросы

1. Определение вектора. Линейные операции над векторами.

2. Проекции вектора на ось, свойства проекций.

3. Прямоугольная декартова система координат в трехмерном пространстве. Координаты вектора. Направляющие косинусы.

4. Радиус вектор точки. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками.

5. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Определение базиса.

6. Разложение вектора по векторам базиса.

7. Деление отрезка в заданном отношении.

8. Скалярное произведение векторов (определение, свойства).

9. Проекция вектора на вектор.

10. Угол между векторами.

11. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

12. Определение и условие коллинеарности векторов в координатной форме.

13. Векторное произведение векторов (определение, свойства).

14. Геометрический смысл модуля векторного произведения.

15. Векторное произведение в координатной форме.

16. Вычисление площади параллелограмма и треугольника с помощью векторного произведения.

17. Смешанное произведение векторов.

18. Смешенное произведение векторов в координатной форме.

19. Геометрический смысл смешанного произведения.

20. Определители второго порядка и их свойства.

21. Определители третьего порядка и их свойства и вычисление.

22. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Правило Крамера.

1.2.Варианты заданий

Задание №1. Решить задачи, используя скалярное произведение векторов.

Вариант№1. Даны вершины треугольника

Найти его внутренний угол при вершине А.

Вариант№2. Даны вершины треугольника

Вычислить .

Вариант№3. Даны вершины треугольника

Найти его внешний угол при вершине А.

Вариант№4. Даны вершины треугольника

Найти длины его сторон.

Вариант№5. Даны вершины треугольника

Найти его внутренний угол при вершине В.

Вариант№6. Даны координаты точек

Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

Вариант№7. Найти вектор , коллинеарный вектору , удовлетворяющий условию.

Вариант№8. Даны векторы и , гдеи– единичные, взаимно перпендикулярные векторы.

Вычислить угол между векторами и.

Вариант№9. Даны три вектора

Вычислить ).

Вариант№10. Зная, что =2, =5 и угол между этими векторами -, определить, при каком значении α векторыокажутся взаимно перпендикулярными.

Вариант№11. Векторы образуют угол , зная, что, вычислить угол между векторами

Вариант№12. К точке приложена сила Вычислить работу силы при перемещении точки ее приложения из положения А(2, -3, 5) в положение В(3, -2, -1).

Вариант№13. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осьюoz. Зная, что модуль вектора , найти его координаты.

Вариант№14. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию

Вариант№15. Вектор , коллинеарный вектору , образует тупой угол с осьюox. Зная, что модуль вектора , найти его координаты.

Вариант№16. Даны три вектора

Вычислить ).

Вариант№17. Даны две точки А(5, 7, -6) и В(7, -9, 9)

Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

Вариант№18. Даны координаты точек

Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

Вариант№19. Вектор , коллинеарный вектору , образует тупой угол с осьюoy. Зная, что модуль вектора , найти его координаты.

Вариант№20. Даны три вектора

Вычислить ).

Вариант№21. . К точке приложена сила Вычислить работу силы при перемещении точки ее приложения из положения А(-4, -6, 1) в положение В(-3, -4, 5).

Вариант№22. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

Вариант№23. Даны векторы и , гдеи– единичные, взаимно перпендикулярные векторы.

Вычислить угол между векторами и.

Вариант№24. Найти тупой угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

Вариант№25. Зная, что =5, =2 и угол между этими векторами, определить, при каком значении α векторыокажутся взаимно перпендикулярными.

Вариант№26. Найти длину большей диагонали параллелограмма, построенного на векторах

Вариант№27. Найти длину меньшей диагонали параллелограмма, построенного на векторах

Вариант№28. Векторы образуют угол , зная, что, вычислить угол между векторами

Вариант№29. Векторы образуют угол , зная, что, найти модуль вектора

Вариант№30. . К точке приложена сила Вычислить работу силы при перемещении точки ее приложения из положения А(-1, 6, -2) в положение В(-4, 4, -5).

Задание №2. Доказать, что векторы образуют базис и написать разложение вектора по векторам этого базиса.

Вариант№1.

Вариант№2.

Вариант№3.

Вариант№4.

Вариант№5.

Вариант№6.

Вариант№7.

Вариант№8.

Вариант№9.

Вариант№10.

Вариант№11.

Вариант№12.

Вариант№13.

Вариант№14.

Вариант№15.

Вариант№16.

Вариант№17.

Вариант№18.

Вариант№19.

Вариант№20.

Вариант№21.

Вариант№22.

Вариант№23.

Вариант№24.

Вариант№25.

Вариант№26.

Вариант№27.

Вариант№28.

Вариант№29.

Вариант№30.

Задание №3. Даны векторы , выраженные через векторы . Известны модули векторови угол между ними.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Вариант№1. .

Вариант№2.

Вариант№3.

Вариант№4.

Вариант№5.

Вариант№6.

Вариант№7.

Вариант№8..

Вариант№9.

Вариант№10.

Вариант№11..

Вариант№12..

Вариант№13.

Вариант№14.

Вариант№15.

Вариант№16.

Вариант№17..

Вариант№18.

Вариант№19.

Вариант№20.

Вариант№21.

Вариант№22.

Вариант№23..

Вариант№24..

Вариант№25.

Вариант№26..

Вариант№27..

Вариант№28.

Вариант№29..

Вариант№30..

Задание №4. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A, B, C, D и высоту, опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант№1. A(1, 3, 6), B(2, 2, 1), C(-1, 0, 1), D(-4, 6, -3).

Вариант№2. A(-4, 2, 6), B(2, -3, 0), C(-10, 5, 8), D(-5, 2, -4).

Вариант№3. A(7, 2, 4), B(7, -1, -2), C(3, 3, 1), D(-4, 2, 1).

Вариант№4. A(2, 1, 4), B(-1, 5, -2), C(-7, -3, 2), D(-6, -3, 6).

Вариант№5. A(-1, -5, 2), B(-6, 0, -3), C(3, 6, -3), D(10, 6, 7).

Вариант№6. A(0, -1, -1), B(-2, 3, 5), C(1, -5, -9), D(-1, -6, 3).

Вариант№7. A(5, 2, 0), B(2, 5, 0), C(1, 2, 4), D(-1, 1, 1).

Вариант№8. A(1, -1, -2), B(1, 2, 1), C(5, 0, -6), D(-10, 9, -7).

Вариант№9. A(-2, 0, -4), B(-1, 7, 1), C(4, -8, -4), D(1, -4, 6).

Вариант№10. A(14, 4, 5), B(-5, -3, 2), C(-2, -6, -3), D(-2, 2, -1).

Вариант№11. A(1, 2, 0), B(3, 0, -3), C(5, 2, 6), D(8, 4, -9).

Вариант№12. A(2, -1, 2), B(1, 2, -1), C(3, 2, 1), D(-4, 2, 5).

Вариант№13. A(1, 1, 2), B(-1, 1, 3), C(2, -2, 4), D(-1, 0, -2).

Вариант№14. A(2, 3, 1), B(4, 1, -2), C(6, 3, 7), D(7, 5, -3).

Вариант№15. A(1, 1, -1), B(2, 3, 1), C(3, 2, 1), D(5, 9, -8).

Вариант№16. A(1, 5, -7), B(-3, 6, 3), C(-2, 7, 3), D(-4, 8, -312.

Вариант№17. A(-3, 4, -7), B(1, 5, -4), C(-5, -2, 0), D(2, 5, 4).

Вариант№18. A(-1, 2, -3), B(4, -1, 0), C(2, 1, -2), D(3, 4, 5).

Вариант№19. A(4, -1, 3), B(-2, 1, 0), C(0, -5, 1), D(3, 2, -6).

Вариант№20. A(1, -1, 1), B(-2, 0, 3), C(2, 1, -1), D(2, -2, -4).

Вариант№21. A(1, 2, 0), B(1, -1, 2), C(0, 1, -1), D(-3, 0, 1).

Вариант№22. A(1, 0, 2), B(1, 2, -1), C(2, -2, 1), D(2, 1, 0).

Вариант№23. A(1, 2, -3), B(1, 0, 1), C(-2, -1, 6), D(0, -5, -4).

Вариант№24. A(3, 10, -1), B(-2, 3, -5), C(-6, 0, -3), D(1, 6-1 2).

Вариант№25. A(-1, 2, 4), B(-1, -2, -4), C(3, 0, -1), D(7, -3, 1).

Вариант№26. A(0, -3, 1), B(-4, 1, 2), C(2, -1, 5), D(3, 1, -4).

Вариант№27. A(1, 3, 0), B(4, -1, 2), C(3, 0, 1), D(-4, 3, 5).

Вариант№28. A(-2, -1, -1), B(0, 3, 2), C(3, 1, -4), D(-4, 7, 3).

Вариант№29. A(-3, -5, 6), B(2, 1, -4), C(0, -3, -1), D(-5, 2, -8).

Вариант№30. A(2, -4, -3), B(5, -6, 0), C(-1, 3, -3), D(-10, -8, 7).