Матан экзамен щпоры

Билет 1.

1. Задачи математической статистики. 2. Закон нормального распределения. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных результатов наблюдений. Первая задача математической статистики- указать

способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов. Вторая задача математической статистики – разработать методы анализа статистических данных в зависимости

от целей исследования. Сюдаотносятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров

распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.; б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Закон нормального распределения. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается

плотностью.

Билет 2.

1. Генеральная и выборочная сов-ть 2.

Закон равномерного распределения. Пусть требуется изучить совокупность однородных

объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить

стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали. Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое

число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат. то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и

подвергают их изучению. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов,из которых производится выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной)

называют число объектов этой совокупности.

Закон равномерного распределения. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случаи ной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Билет 3.

1. Повторная и бесповторная выборки.

2. Нахождение функция распределения по известной плотности распределения.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии

со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесnовmорной называют выборку, при которой отобранный

объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным

отбором.

Нахождение функции распределения

по известной плотности распределения. Зная плотность распределения f (х), можно найти функцию распределения F (х) по формуле: F(x)= §^x_-∞ f (х) dx.

Билет 4. 1. Репрезентативная выборка. 2. вероятность попадания нсв в заданный интервал. Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами,

выборка должна правильно представлять пропорции генеральиой

совокупности. Эго требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной). в силу закона больших чисел можно утверждать, что

выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из

генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначнтельнvю часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае,

когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие

исчезает.

Вероятность попадания нсв в заданный интервал. Вероятность того, что неnрерывная случайная величина Х nримет значение, принадлежащее интервалу (а, в), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до в: Р(а < Х < Ь) = §^в_а f (х) dx.

Билет 5. 1. Способ отбора простой случайный 2. Плотность распределения, ее свойства. На практике применяются различиые способыотбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида: 1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. сюда относятся: а) типический отбор;

б) механический отбор; в) серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно

различными способами. Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объема N поступают

так: выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку

возвращают в пачку и процесс повторяют, т. е. карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и т. д. Так

поступают n раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема n. Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является

простой случайной бесповторной. При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом

случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для

того чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронумерованной

генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера

которых совпадают с выписанными случаиными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает

число N, ТО такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные

числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.

Плотность распределения , св-ва. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f (х) – первую производную от функции распределения F (х): f (х) = F’(х).

Св-ва: 1. Плотность расnределения- неотрицательная функция: f (х) >=О.

2. Несобсmвенный интеграл от плотности

распределения в пределах от -∞ до ∞ равен едихице: §f (х) dx = 1.

Билет 6. 1. Способ отбора типический.

2. Ф-ия распределения НСВ, ее св-ва. Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят

не из всеи совокупности деталеи, произведенных всеми станками, а из продуки.ии каждого стаи:ка в отд~ьности.

Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно .колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция

изготовляется на нескольких машинах, среди

которых есть более и менее изношенные. то здесь типический отбор целесообразен.

Функция распределения нсв,св-ва. Функцuей расnределенuя называют функцию F (х), определяющую

вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е. F (х) = Р (Х < х).

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Св-ва: 1. Значения функции распределения

принадлежат отрезку [О, 1] ;O<=F (Х)<= 1. 2. F (х)-неубывающая функция, т. е.

F (Х2) >= F (Х1), если Х2 > X 1. 3. Если возможные значения случайной

величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F (х) = О при х<= а; 2) F (х) = 1 при х >=b.

Билет 7. 1.Способ отбора механический 2. Среднее квадратическое отклонение.

Механuческим называют отбор, при котором генеральную совокупность «мехaнчески» делят на столько групп,

сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не

обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем

сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными

резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем. каждый десятый валик из двадцати

обточенных.

Среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

∂(Х) = √D (Х).

Билет 8. 1. Способ отбора серийный 2. Вторая формула для дисперсии. Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если издщелия изготовляются большой

группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.

Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный

отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную

совокупность на серпи одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и. наконец из каждой серии простым случайным oтбором извлекают

отдельные объекты.

Вторая формула для дисперсии. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

D (Х) = м (Х²)-[М (Х)]².

Билет 9. 1. Статистическое распределение выборки. 2. Дисперсия ДСВ, ее свойства. Пусть из генеральной совокупности измечена

выборка, причем Х1 наблюдалось n1 раз, х2 –n1 раз, X_k- n_k раз и Σni=n-объем выборки. Наблюдаемые значения Х; называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,- вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки ni /1t = Wi-относительными частотами. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот

интервал).

Дисперсия ДСВ, св-ва. дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M [Х-М (Х)]². Св-ва 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) =0. 2. постоянныu множитель можно выносить за зnaк дисперсии, возводя его в квадрат: D (СХ) = C²D (Х). 3. Дисперсия суммы двух н,езависимых

случайн,ых величин, равн,а сумме дисперсий этих величин,:

D (Х + У) = D (X)+D(Y). 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (Х-У) = D (Х) + D (У).

Билет 10. 1. Эмпирическая функция распределения, её сравнение с теоретической функцией распределения. Пусть известно статистическое распределение частот

количественного призиака Х. Введем обозначения: n_х-число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; n-общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х < х равна n_х/n. Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т. е. относительная и частота n_х/n есть функция от х. Так как эта Функция

находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют Функцию F* (х), определяющую

для каждого значения х относительную частоту события Х < х. Итак, по определению, F* (х) = n_х/n, где nх-число вариант, меньших х; n-объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения Р (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями

состоит в том, что теоретическая функция F (х) определяет вероятность события Х < х, а эмпирическая функция F* (х) определяет относительную частоту этого

же события.

Билет 11. 1. Построение полигона частот, относительных частот.

2. Математическое ожидание ДСВ и его свойства. Полигоном частот называют ломаную - отрезки которой

соединяют точкн (Х₁;n1 ). (X1 ; n2 ), ••• , (Xk; nk). Для построения полнгона частот на оси абсцисс откладывают

варианты Xj. а на оси ординат соответствующие им частоты n,. Точки (Х,; n,) соединяют отрезками прямых

и получают полигон частот. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (Х1 ; W 1), (Х2 ; w 1), ..., (Xk; W k), Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс отклаДывают варианты Xj, а на

оси ординат-соответствующие им относительные частоты Wi. Точки (Хi; Wi) соединяют отрезками прямых

и получают полигон относительных частот. Мат.ожидание ДСВ и св-ва.

Математическим ожиданием дискретной случаинои величины называют сумму произведении всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть случайная величина Х может принимать только значения X 1 , Х2 , •••• Хn ' вероятности которых соответственно

равны Рl' Р2' ...• Рn' Тогда математическое ожидание М (Х) случайной величины Х определяется равенством м (Х) = Х1Рl + Х2Р2 + ... + ХnРn. Св-ва: 1.Математическое ожидание постоянной

величины равно сам,ой постоянной:

м (с)=с. 2. Постоянный м,ножитель м,ожно выносить за знак м,атем,атического ожидания: М (СХ) = см (Х). 3. Математическое ожидание произведения

двух независи,мых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: м (ХУ) = м (Х) м (У). 4. Математическое ожидание суммы двух

случайных величин равно сумме математических ожиданий

слагаемых: м (Х + У) = М (Х) + м (У).

Билет 12. 1. Построение гистограммы частот и относительных частот в случае непрерывного признака СВ. 2. Закон распределения ДСВ. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую

из прямоугольников,основаниями которых

служат частичные интервалы длиною h, а

высоты равны отношению ni/h (плотность частоты). Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят

отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni/h. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую

фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной

частоты). Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а надними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi/h. Закон распределения ДСВ. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Х	Х1	…	Хн
Р	Р1	…	Рн

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает· одно и только одно возможное значение, заключаем, что события Х = х1 , Х = х2, ••• , Х= Х_N образуют полную группу; следовательно, Рl + Р2 + ... + Рn = 1. Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд Рl +Р2+ ... сходится и его сумма равна

единице.

Билет 13. 1. Генеральная средняя признака . 2. Непрерывные случайные величины (НСВ). Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака Х. Генеральной средней- называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если все значения Х 1 , Х 2 , ••• , XN признака генеральной совокупности объема N различны то =(X1+X1 + ... +xN)/N.

Если же значения признака Х1 , Х 2 , •••• Xk имеют соответственно частоты N l,N 2, … , N k причем N 1 + N 2 + ... + N k = N, то

= (x1N1 +x2N2 + ... +XkNk)/N,

т. е. генеральная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Непрерывные случайные величины. Н еnрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из не которого конечного

или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. (a,b) [a,b) (a,b] [a,b]

Билет 14. 1. Выборочная средняя признака . 2. (ДСВ). Выборочной средней наз. среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения X1 , Х2, … , ХN признака выборки объема n различны, то =(X1+X2 +··· +хn)/n. Если же значения признака X 1 , X 2 , … , Xk имеют соответственно частоты n 1 ,n2,...,nk. причем n1 + nl +... + nk = n, то

= (n1X1 + n 2Х2 + ... + nкXk)/n, т. е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам. Дискретные случайные величины. Дискретной (nрерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Билет 15. 1. Определение экономико-математической модели. 2. Интегральная теорема Лапласа. Если вероятносtnb р наступления события А

в каждом ucnьиnaHии постоянна и отлична от нуля и единицы. то вероятность Р n (k1 , k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз. приближенно

равна определенному интегралу.

Билет 16. 1. Экономические характеристики, целевая функция.

2. Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р n (k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению

функции:

Билет 17. 1. Формулировка экономико-математической модели. 2. Повторные испытания, формула Бернулли. Р_n(k)=c^k_n p^k q^n-k

Вероятность одного сложного

события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз н не наступит n - k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равнаp^k q^n-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т. е. c^k_n .

Билет 18. 1. Определение задачи линейного программирования. 2. Вероятность гипотез, формула Бейеса. Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1 , B2, ••• , Вn , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Формула Байеса отвечает на вопрос, чему равна условная вер.события Вн при условии, что событие А уже произошло.

P(Bi\A)=(p(Bi)p(A\Bi))\p(B1)p(A\B1)+.. +P(Bn) P(A\Bn)

Билет 19. 1. Оптимальный план и два способа его нахождения. 2. Формула полной вероятности. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В 1, В2 ,•••• Вн' образующих полную группу. равна сумме произведений вероятностей каждого

из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: р (А) = Р (В1) Р (А\В) + Р (В2) Р (А\В2) + ...+ р (Вn ) Р(А\Вн).

Билет 20. 1. Геометрический метод решения задач линейного программирования.2. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ).

Билет 21. 1. Задача о коммерческой деятельности предприятия по изготовлению краски для внутренних и наружных работ. Постановка математической модели. 2. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 А 2 , ••• , А n • независимblX в совокуnности, равна разности между единицей и nроизведение.м. вероятностей противоположных событий А1 , А 2 , ••• , Ан: Р(А)=1-q1q2…qn. Если события A1 , А 2 , ••• , А n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Р(А)= 1-q_n.

Билет 22. 1. Задача о коммерческой деятельности предприятия по изготовлению краски для внутренних и наружных работ. Организация целевой функции.2. Независимые события, теорема умножения. Событие В назьюают независимым от события А, если

появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его

безусловной вероятности: р _А (В) = Р (В), Для независимых событий теорема умножения р (АВ) = Р (А) Р _А (В) имеет вид р (АВ) = Р (А) Р (В).

Билет 23. 1. Задача о коммерческой деятельности предприятия по изготовлению краски для внутренних и наружных работ. Построение области допустимых значений экономических показателей. 2. Теорема умножения вероятностей. Произведением. двух событиЙ А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении)

этих событий. Р(АВ)=Р(А)P(B\A)=Р(В)Р(А\В)

Билет 24. 1. Задача о коммерческой деятельности предприятия по изготовлению краски для внутренних и наружных работ. Нахождение опорного плана.2. Противоположные события, связь их вероятностей. Протuвоnоложными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если

одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать неА. Сумма вероятностей противоположных событий

равна единице:Р(А)+Р(А)= 1.

Р(а)=р Р(неА)=q, p+q=1, q=1-p

Билет 25. 1. Задача о коммерческой деятельности предприятия по изготовлению краски для внутренних и наружных работ. Вычисление max значения целевой функции. 2. Теорема о вероятности полной группы событий. Вероятность сумм несовместных событий образующих полную группу =1. Если А1,А2,Ан не образуют полную группу, то их сумма достоверное событие Р(А1+..Ан)=1

Билет 26. 1. Основные особенности задач линейного программирования, динамического программирования, нелинейного программирования.

2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Р(а+в)=р(а)+р(в).

Билет 27. 1. Алгебраический симплексный метод решения задач линейного программирования, основное его назначение.2. Относительная частота. Оnшосumeльнй частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось,к общему числу фактически произведенных испытания. W (А)=m/n, где m- число появлевий события, n - общее число испытаний. Вероятность вычисляют до опыта, а отн.частоту после опыта. Длительные наблюдения показали. что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом нз которых число нспытаний достаточно велико, то относительная частота oбнаруживает свойство устоЙчивости. Эro свойство

состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (чем меньше, тем больше nроuзвeдено ucnытаний). колеблясь около некomорого nоcmoянного чucла. оказалось, что по постоянное число есть вероятность появления события. Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Билет 28. 1. Симплексный метод на примере модели коммерческого предприятия. Составление первого опорного плана. 2. Три основные свойства вероятности. 1.Вероятность достоверного события равна единице. Р(А)= м=н=1 2.Вероятность невозможного события равна нулю. Р(А) = m\n = 0\n = о.

3. Вероятность случайного события есть число заключенное между нулем и единицей.

Билет 29. 1. Симплексный метод на примере модели коммерческого предприятия. Проверка плана на оптимальность.2. Классическое определение вероятности, его недостатки. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Р(А)=м\n . где м-число элементарных исходов, благоприятствующих А; n-число всех возможных элементарных исходов

испытания. Р(А) больше 0, но меньше или = 1. Недостатки: число элементарных исходов не всегда является конечным, а может быть бесконечным. Иногда невозможно определить сов-ть элементарных исходов. Трудно считать элементарные исходы равнозначными. Недостаток относит. Частоты непостоянство его значения.

Билет 30. 1. Симплексный метод на примере модели коммерческого предприятия. Определение ведущего столбца и ведущей строки 2. Полная группа событий. Несколько событий образуют полную группу, если в

результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Билет 31. 1. Симплексный метод на примере модели коммерческого предприятия. Построение нового опорного плана.2. Несовместные и совместные случайные события. События называют нeсoвмecтными, если появлениеодного из них исключает появлеиие других событнй в одном и том же испытании. Вероятность случайного события должна показывать как часто оно будет появляться или не появляться при проведении испытаний.