Математика. Контрольная 1. Задания. 1 семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУВПО ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1 ПО МАТЕМАТИКЕ

Для студентов всех направлений квалификация (степень) «бакалавр» заочной формы обучения

ВОРОНЕЖ

2011

УДК 516 (075.5)

Контрольная работа № 1 по математике [Текст]: методические указания / Воронеж. гос. технол. акад.; сост.: Н.В. Минаева, В.И. Ряжских, Д.С. Сайко, А.Д. Чернышов, А.А. Богер, С.Ф. Кузнецов, Е.Н. Ковалёва, М.В. Половинкина, О.П. Резцов, В.А. Сумин, О.Ю. Никифорова, С.В. Рябов, Е.А. Соболева. – Воронеж: ВГТА, 2011.- 28 с.

Методические указания по разделам «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия» и «Математический анализ» разработаны в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по всем направлениям подготовки бакалавров. Предназначены для закрепления теоретических знаний по математике. Даны варианты контрольных работ.

Библиогр.: 10 назв.

Составители: профессоры Н.В. МИНАЕВА, В.И. РЯЖСКИХ, Д.С. САЙКО, А.Д. ЧЕРНЫШОВ, доценты А.А. БОГЕР, С.Ф. КУЗНЕЦОВ, Е.Н. КОВАЛЁВА, М.В. ПОЛОВИНКИНА, О.П. РЕЗЦОВ, В.А. СУМИН, старшие преподаватели О.Ю. НИКИФОРОВА, С.В. РЯБОВ, Е.А. СОБОЛЕВА

Научный редактор профессор В.И. РЯЖСКИХ Рецензент профессор В.В. ПРОВОТОРОВ (Воронежский государственный университет)

©Минаева Н.В., Ряжских В.И., Сайко Д.С., Чернышов А.Д., Богер А.А., Кузнецов С.Ф., Ковалёва Е.Н., Половинкина М.В., Резцов О.П., Сумин В.А., Никифорова О.Ю., Рябов С.В., Соболева Е.А., 2011

©ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия», 2011

2

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания предназначены для закрепления теоретических знаний по разделам векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа. Являются базовыми для всех направлений бакалавров, и в зависимости от направления производится выборка заданий в соответствии с рабочими программами для каждого направления.

Контрольная работа № 1 состоит из одиннадцати заданий, каждое из которых содержит 40 вариантов. Вариант задания определяется по следующему правилу. Номером варианта будет остаток от деления на 40 числа, образованного из трех последних цифр номера зачетной книжки. Например, 99-007 соответствует 7 варианту (7 = 0 × 40 + 7) . То есть следует решать примеры под номерами 7 из каждого задания. 99-056 соответствует 16 вари-

анту (56 =1× 40 +16) , 99-142 – 22 варианту (142 = 3 × 40 + 22) . Ес-

ли число делится на 40 нацело, то выбирается 40 вариант. Методические указания составлены по программе курса ма-

тематики для студентов факультета безотрывного образования Воронежской государственной технологической академии и направлены на активизацию самостоятельной работы студентов в изучении теоретического материала соответствующих разделов математики и применение полученных знаний для решения практических задач.

При оформлении контрольной работы необходимо вычисления сопровождать пояснениями.

3

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

ЗАДАНИЕ 1

Дана система трех линейных уравнений. Найти решение двумя способами: 1) методом определителей, 2) средствами матричного исчисления.

				a x + b y + c z = h
					1	1	1	1
				a2 x + b2 y + c2 z = h2
				a x + b y + c z = h
					3	3	3	3
№	a1	b1	c1	h1	a2	b2	c2	h2	a3	b3	c3	h3
1.01	1	1	1	3	2	1	-1	2	-1	1	1	1
1.02	2	-1	-1	1	-3	2	0	-3	1	1	5	6
1.03	10	5	-3	2	-7	-1	1	0	1	1	-1	0
1.04	-1	-1	-1	-2	1	-1	3	0	5	3	-1	8
1.05	1	1	-1	-1	-1	-1	2	0	7	3	-10	0
1.06	1	-1	2	-3	3	2	5	1	8	-1	3	-10
1.07	2	-3	3	8	-2	1	-1	-4	1	5	0	1
1.08	8	5	-3	8	-5	-4	1	-5	0	2	-1	0
1.09	1	3	2	5	-1	4	-1	2	3	-2	4	4
1.10	-1	1	-1	-2	2	-1	1	4	3	2	-4	2
1.11	3	-1	7	-2	1	-2	1	-4	-2	1	-1	2
1.12	0	1	2	3	1	1	-1	-2	-2	2	3	9
1.13	3	-1	-1	-4	2	1	2	5	-1	-2	3	-3
1.14	2	1	-1	-6	-2	-2	1	5	1	-1	0	-3
1.15	1	1	1	0	-1	-1	1	4	1	-1	-1	-2
1.16	-1	3	-1	-6	2	2	-1	1	1	-1	1	4
1.17	5	-1	1	-1	7	1	-2	-1	1	-1	-1	-5
1.18	1	1	-1	4	2	-1	3	1	-1	2	-8	-1
1.19	1	-1	3	9	2	4	-5	-3	1	1	-1	1
1.20	2	-1	1	6	5	3	-1	-1	1	7	1	-3
1.21	5	-1	3	14	2	-2	1	3	1	-1	-1	-6
1.22	1	-2	3	-6	3	3	1	0	5	-2	-4	-14
1.23	1	-1	1	-4	2	-1	3	-7	4	2	3	4
1.24	1	5	-7	8	2	3	4	9	-2	2	-2	-4
1.25	1	3	-2	-3	-2	1	1	1	3	6	-2	4
1.26	5	-1	1	1	-6	2	1	-1	2	-3	2	12

4

1.27	2	-2	1	-5	2	2	2	6	-2	-2	-1	-3
1.28	1	1	-1	3	-1	2	-1	0	2	-4	0	-6
1.29	2	1	1	0	5	4	-1	6	-1	1	-1	-3
1.30	5	1	9	-1	3	-1	2	-7	-2	-1	-3	-2
1.31	1	5	-3	0	2	9	4	1	-2	-8	-1	-2
1.32	3	-4	1	1	-3	3	-1	-4	1	-1	-1	0
1.33	2	1	1	2	-2	1	-1	0	3	3	1	2
1.34	2	-2	1	4	3	-2	2	12	-1	2	-1	0
1.35	1	-1	5	7	2	-3	1	3	-1	2	3	3
1.36	2	3	1	0	-2	2	-1	-5	3	1	1	1
1.37	9	-1	2	4	7	1	-2	-4	3	2	0	8
1.38	1	1	-1	-2	-1	7	2	7	3	-8	-2	-1
1.39	1	-5	3	1	2	-9	5	3	-1	8	-1	2
1.40	3	3	-1	-1	2	-8	1	1	5	5	-2	-4

ЗАДАНИЕ 2

Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Надо средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра AB; 2) проекцию

BA на BD ; 3) угол между ребрами AB и AD ; 4) площадь грани ABC ; 5) объем пирамиды ABCD . Сделать чертеж.

№	A	B	C	D
2.01	{5; -1; 3}	{-1; 5; 3}	{3; 5; –1}	{-2; -7; -5}
2.02	{4; -2; 2}	{-2; 4; 2}	{2; 4; -2}	{-3; -8; -6}
2.03	{6; 0; 4}	{0; 6; 4}	{4; 6; 0}	{-1; -6; -4}
2.04	{-1; 6; 4}	{-2; 8; 2}	{6; 8; 9}	{7; 10; 3}
2.05	{7; 1; 5}	{1; 7; 5}	{5; 7; 1}	{0; -5; -3}
2.06	{2; -5; 3}	{3; 2; -5}	{5; -3; -2}	{-5; -3; 0}
2.07	{-2; -9; -1}	{1; -7; -6}	{-1; -2; -9}	{-9; -7; 2}
2.08	{4; 8; 2}	{5; 4; 10}	{11; 2; 8}	{12; 4; 3}
2.09	{-2; -9; -1}	{-1; -2; -9}	{1; -7; -6}	{-9; -7; -2}
2.10	{0; 5; 0}	{4; -1; 4}	{4; 4; 2}	{3; 7; 7}
2.11	{7; 2; 2}	{5; 7; 7}	{5; 3; 1}	{-1; -2; 3}
2.12	{1; -6; 2}	{2; 1; -6}	{4; -4; -3}	{-6; -4; 1}
2.13	{12; 1; 1}	{6; -6; -1}	{10; 2; 7}	{2; 0; 10}
2.14	{0; -7; 1}	{1; 0; -7}	{3; -5; -4}	{-3; -5; 0}
2.15	{-1; -8; 0}	{0; -1; -8}	{2; -6; -5}	{-8; -6; -1}
2.16	{5; 10; 5}	{9; 7; 9}	{9; 9; 7}	{8; 13; 13}
2.17	{11; 2; -5}	{5; -5; -7}	{9; 3; 1}	{1; 1; 4}
2.18	{5; -2; 6}	{6; 5; -2}	{8; 0; 1}	{-2; 0; 5}

5

2.19	{6; -5;	-2}	{8; 3;	2}	{5; -1; 4}	{1; 1; 11}
2.20	{5; -1; 3}		{3; 5; -1}		{-1; 5; 3}	{-2; -7; -5}
2.21	{10; 2; -1}		{4; -5; -3}		{8; 3; 5}	{0; 1; 8}
2.22	{6; 0; 4}		{4; 6; 0}		{0; 6; 4}	{-1; -6; -4}
2.23	{1; -1; -9}		{3; 7; -5}		{10; 3; -3}	{-4; 5; 4}
2.24	{7; 1; 5}		{5; 7; 1}		{1; 7; 5}	{0; -5; -3}
2.25	{9; 3; -6}		{3; -4; -8}		{7; 4; 0}	{-1; 2; 3}
2.26	{-2; 3; -2}		{2; -3; 2}		{2; 2; 0}	{1; 5; 1}
2.27	{8; 5; 1}		{4; -3; -7}		{10; 4; -5}	{0; 3; 4}
2.28	{1; 6; 1}		{5; 0; 5}		{5; 5; 3}	{4; 8; 8}
2.29	{2; -2; -7}		{4; 6; -3}		{1; 2; -1}	{-3; 4; 6}
2.30	{3; -4; 4}		{4; 3; -4}		{6; -2; -1}	{-4; -2; 3}
2.31	{7; 7; 0}		{6; 3; 8}		{3; 5; 8}	{8; 4; 1}
2.32	{7; 0; 8}		{8; 7; 0}		{10; 2; 3}	{0; 2; 7}
2.33	{9; 3; 7}		{3; 9; 7}		{7; 9; 3}	{2; -3; 1}
2.34	{2; -5; 3}		{3; 2; -5}		{5; -3; -2}	{-5; -3; 2}
2.35	{0; -2; 3}		{4; 2; 5}		{6; 4; 2}	{2; -3; 5}
2.36	{0; -7; 1}		{3; -5; -4}		{1; 0; -7}	{-7; -5; 0}
2.37	{1; 4; 3}		{6; 8; 5}		{5; 6; 7}	{5; 5; 11}
2.38	{3; -3; 1}		{1; 3; -3}		{-3; 3; 1}	{-4; -9; -7}
2.39	{1; -1; 4}		{1; -5; -1}		{-5; 1; -1}	{-1; -3; -5}
2.40	{2; -5; 3}		{5; -3; 2}		{3; 2; -5}	{-5; -3; 0}

ЗАДАНИЕ 3

Даны координаты вершин треугольника ABC . Требуется найти: 1) уравнения сторон треугольника; 2) уравнение медианы AE ; 3) длину и уравнение высоты AK ; 4) внутренние углы треугольника ABC . Сделать чертеж.

№	A	B	C
3.01	{-3; -3}	{-3; 6}	{4; 4}
3.02	{-5; -3}	{-3; 5}	{3; 1}
3.03	{-3; -4}	{-6; 4}	{2; 2}
3.04	{2; -6}	{-3; 2}	{4; 4}
3.05	{1; -6}	{-3; 1}	{6; 3}
3.06	{1; -7}	{-5; 3}	{5; -4}
3.07	{-5; -4}	{3; 4}	{2; -7}
3.08	{-3; 1}	{6; 3}	{1; -6}
3.09	{-4; 2}	{3; 5}	{0; -4}
3.10	{-5; 0}	{4; 4}	{4; -4}

6

3.11	{-5; -4]	{3;	4}	{0; -4}
3.12	{-4; 0}	{0;	3}	{7; -8}
3.13	{-3; -7}	{-6; 4}		{6; 3}
3.14	{-3; -3}	{-1; 3}		{3; 1}
3.15	{-8; 1}	{7; 5}		{2; -3}
3.16	{-3; -3}	{-6; 7}		{5; 1}
3.17	{1; 1}	{7; 10}		{13; 3}
3.18	{-13; 4}	{-1; 10}		{-3; 0}
3.19	{-13; -11}	{-7; -1}		{-2; -9}
3.20	{1; -11}	{6; -2}		{15; -4}
3.21	{2; 1}	{2; 9}		{11; 3}
3.22	{-13; 1}	{-3; 11}		{-3; 2}
3.23	{-11; -10}	{-7; 0}		{-5; -5}
3.24	{2; -10}	{2; -2}		{11; -5}
3.25	{2; -4}	{6; 5}		{8; -4}
3.26	{7; -6}	{3; 6}		{10; 5}
3.27	{-11; -5}	{-8; 5}		{-5; -4}
3.28	{-6; -4}	{-11; 6}		{-4; 3}
3.29	{-7; 1}	{-7; 8}		{6; 3}
3.30	{5; 1}	{-5; 4}		{5; 7}
3.31	{-8; -6}	{4; -3}		{4; -13}
3.32	{-11; -8}	{-6; -1}		{3; -4}
3.33	{-5; 0}	{0; 8}		{2; 0}
3.34	{0; 2}	{0; 8}		{9; 0}
3.35	{-8; 0}	{4; 0}		{0; -5}
3.36	{-13; 5}	{0; 8}		{0; 0}
3.37	{-5; 0}	{-11; 6}		{0; 5}
3.38	{2; 0}	{0; 4}		{9; 11}
3.39	{0; -2}	{5; 0}		{11; -9}
3.40	{-11; -7}	{-5; 0}		{0; -3}

Задание 4

Дано уравнение окружности x2 + y2 + ax + by + c = 0 . Ме-

тодом	выделения			полного	квадрата	привести	его	к	виду
( x − x	)2 + ( y − y	0	)2	= R2 . Путем параллельного переноса систе-
0
мы координат			привести		последнее	уравнение		к	виду
X 2 + Y 2 = R2 . Построить обе системы координат,							найти в каж-

дой из них центр окружности. Сделать чертеж.

7

№	a	b	c
4.01	-2	-2	1
4.02	-2	2	-2
4.03	2	-4	-4
4.04	-4	-2	4
4.05	-6	4	9
4.06	-6	2	2
4.07	4	-6	-12
4.08	8	-2	8
4.09	6	8	-75
4.10	-8	2	-8
4.11	10	4	13
4.12	-10	6	-2
4.13	8	-4	-29
4.14	10	10	-31
4.15	-12	-6	41
4.16	4	-14	17
4.17	-2	18	66
4.18	-18	-6	54
4.19	16	8	-20
4.20	4	-20	4
4.21	-6	14	-6
4.22	10	-2	17
4.23	-12	-4	-7
4.24	4	-18	60
4.25	-14	4	49
4.26	-16	6	57
4.27	18	18	18
4.28	-14	-14	-2
4.29	4	-20	-40
4.30	-6	-18	-10
4.31	10	-16	80
4.32	-12	6	-19
4.33	2	-20	-68
4.34	-20	-10	-100
4.35	18	-16	-24
4.36	14	12	-15
4.37	6	-24	9
4.38	8	22	37
4.39	-20	12	-89
4.40	4	-30	4

8

Задание 5

Впирамиде АВСD найти: 1) уравнение плоскости АВС;

2)угол между ребром AD и гранью АВС; 3) уравнение прямой АВ; 4) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС; 5) основание этой высоты.

№	A	B	C	D
2.01	{5; -1; 3}	{-1; 5; 3}	{3; 5; –1}	{-2; -7; -5}
2.02	{4; -2; 2}	{-2; 4; 2}	{2; 4; -2}	{-3; -8; -6}
2.03	{6; 0; 4}	{0; 6; 4}	{4; 6; 0}	{-1; -6; -4}
2.04	{-1; 6; 4}	{-2; 8; 2}	{6; 8; 9}	{7; 10; 3}
2.05	{7; 1; 5}	{1; 7; 5}	{5; 7; 1}	{0; -5; -3}
2.06	{2; -5; 3}	{3; 2; -5}	{5; -3; -2}	{-5; -3; 0}
2.07	{-2; -9; -1}	{1; -7; -6}	{-1; -2; -9}	{-9; -7; 2}
2.08	{4; 8; 2}	{5; 4; 10}	{11; 2; 8}	{12; 4; 3}
2.09	{-2; -9; -1}	{-1; -2; -9}	{1; -7; -6}	{-9; -7; -2}
2.10	{0; 5; 0}	{4; -1; 4}	{4; 4; 2}	{3; 7; 7}
2.11	{7; 2; 2}	{5; 7; 7}	{5; 3; 1}	{-1; -2; 3}
2.12	{1; -6; 2}	{2; 1; -6}	{4; -4; -3}	{-6; -4; 1}
2.13	{12; 1; 1}	{6; -6; -1}	{10; 2; 7}	{2; 0; 10}
2.14	{0; -7; 1}	{1; 0; -7}	{3; -5; -4}	{-3; -5; 0}
2.15	{-1; -8; 0}	{0; -1; -8}	{2; -6; -5}	{-8; -6; -1}
2.16	{5; 10; 5}	{9; 7; 9}	{9; 9; 7}	{8; 13; 13}
2.17	{11; 2; -5}	{5; -5; -7}	{9; 3; 1}	{1; 1; 4}
2.18	{5; -2; 6}	{6; 5; -2}	{8; 0; 1}	{-2; 0; 5}
2.19	{6; -5; -2}	{8; 3; 2}	{5; -1; 4}	{1; 1; 11}
2.20	{5; -1; 3}	{3; 5; -1}	{-1; 5; 3}	{-2; -7; -5}
2.21	{10; 2; -1}	{4; -5; -3}	{8; 3; 5}	{0; 1; 8}
2.22	{6; 0; 4}	{4; 6; 0}	{0; 6; 4}	{-1; -6; -4}
2.23	{1; -1; -9}	{3; 7; -5}	{10; 3; -3}	{-4; 5; 4}
2.24	{7; 1; 5}	{5; 7; 1}	{1; 7; 5}	{0; -5; -3}
2.25	{9; 3; -6}	{3; -4; -8}	{7; 4; 0}	{-1; 2; 3}
2.26	{-2; 3; -2}	{2; -3; 2}	{2; 2; 0}	{1; 5; 1}
2.27	{8; 5; 1}	{4; -3; -7}	{10; 4; -5}	{0; 3; 4}
2.28	{1; 6; 1}	{5; 0; 5}	{5; 5; 3}	{4; 8; 8}
2.29	{2; -2; -7}	{4; 6; -3}	{1; 2; -1}	{-3; 4; 6}
2.30	{3; -4; 4}	{4; 3; -4}	{6; -2; -1}	{-4; -2; 3}
2.31	{7; 7; 0}	{6; 3; 8}	{3; 5; 8}	{8; 4; 1}
2.32	{7; 0; 8}	{8; 7; 0}	{10; 2; 3}	{0; 2; 7}
2.33	{9; 3; 7}	{3; 9; 7}	{7; 9; 3}	{2; -3; 1}

9

2.34	{2; -5; 3}	{3; 2; -5}	{5; -3;	-2}	{-5; -3; 2}
2.35	{0; -2; 3}	{4; 2; 5}	{6; 4;	2}	{2; -3; 5}
2.36	{0; -7; 1}	{3; -5; -4}	{1; 0; -7}		{-7; -5; 0}
2.37	{1; 4; 3}	{6; 8; 5}	{5; 6; 7}		{5; 5; 11}
2.38	{3; -3; 1}	{1; 3; -3}	{-3; 3; 1}		{-4; -9; -7}
2.39	{1; -1; 4}	{1; -5; -1}	{-5; 1; -1}		{-1; -3; -5}
2.40	{2; -5; 3}	{5; -3; 2}	{3; 2; -5}		{-5; -3; 0}

ЗАДАНИЕ 6

Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

6.01

			20x3 −10x2 + 18
а)	lim									;
		11x − 5x3 +
	x→∞							8x2 + 3
				2x3 + 5x2 − 7
б) lim									;
	x→1 8x3 − 4x2 −							3x −1
в) lim				1 − cos 3x				;
				4x − x2
	x→0
			2x −1 x−1
г)	lim				.
	x→∞		2x + 5
6.02

а) lim

17x7 +18x5 +19x6 −15

;

x→∞

2x3 − 7x11 + 5x

4x + 5x

2 − 9x3 −10

б)

lim

;

x→−1

7x3 − x2 + 8

в)

lim

sin x

;

− 5x2

x→0 3x

4x −1

г)

lim (2x + 9)ln

.

x→∞

4x + 9

6.03

13x −11x8 + 3

а)

lim

;

x→∞ 22x7 −15x2 + x − 3

2x3

− 5x + x2 −10

б)

lim

;

8x + x3 − 24

x→2

в)

lim

tg5x

;

x→0 7x2

− 3x

4x + 3 x+2

г)

lim

.

x→∞

4x

− 7

6.04

− x

2 + 12x9 −1

7x3

а)

lim

;

5x7 +

10x9 − x3

x→∞

4x − x3 + 2x2 − 8

б)

lim

;

x→−2 3x3 + 4x2 + 8

в) lim

arcsin 7x

;

x→0

4x + 3x3

г)

lim

(7x −1)ln

x + 3

.

x→∞

x −1

6.05

x2 − x3 + 103x10

а) lim

;

x→∞ x21 − 21x22 + 57

6x2

− 9x + 3

б)

lim

;

x→1 4x2

+ 7 x −11

в) lim

6arctg3x

;

x→0

4x3 − 3x

10