Математ.К.Р.№3 Задания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3 ПО МАТЕМАТИКЕ

Для студентов всех направлений квалификация (степень) «бакалавр» заочной формы обучения

ВОРОНЕЖ

2012

УДК 517(075)

Задания для контрольной работы № 3 по математике [Текст]: / Воронеж. гос. универ. инж. технол.; сост.: В.И. Ряжских, Д.С. Сайко, А.Д. Чернышов, Н.В. Минаева, А.А. Богер, В.А. Сумин, С.Ф. Кузнецов, Е.Н. Ковалёва, О.П. Резцов, М.В. Половинкина, О.Ю. Никифорова, Е.А. Соболева, С.В. Рябов. - Воронеж: ВГУИТ, 2012.- 32 с.

Методические указания по разделу «Теория вероятностей» разработаны в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по всем направлениям подготовки бакалавров. Предназначены для закрепления теоретических знаний по математике. Даны варианты контрольных работ.

Библиогр.: 2 назв.

Составители: профессоры В.И. РЯЖСКИХ, Д.С. САЙКО, А.Д. ЧЕРНЫШОВ, Н.В. МИНАЕВА, доценты А.А. БОГЕР, В.А. СУМИН, С.Ф. КУЗНЕЦОВ, Е.Н. КОВАЛЁВА, О.П. РЕЗЦОВ,

старшие преподаватели М.В. ПОЛОВИНКИНА, О.Ю. НИКИФОРОВА, Е.А. СОБОЛЕВА, ассистент С.В. РЯБОВ

Научный редактор профессор В.И. РЯЖСКИХ Рецензент профессор В.В. ПРОВОТОРОВ (Воронежский государственный университет)

© Ряжских В.И., Сайко Д.С., Чернышов А.Д., Минаева Н.В., Богер А.А., Сумин В.А., Кузнецов С.Ф., Ковалёва Е.Н., Резцов О.П.,

Половинкина М.В., Никифорова О.Ю., Соболева Е.А., Рябов С.В.,

2012 © ФГБОУ ВПО «Воронежский

государственный университет

инженерных технологий», 2012

2

Задания составлены по программе курса математики для студентов факультета безотрывного образования Воронежской государственной технологической академии. Они предназначены для закрепления теоретических знаний по разделу теория вероятностей.

Данная контрольная работа содержит шесть заданий, каждое из которых включает в себя сорок вариантов. Вариант определяется по номеру зачетной книжки студента. Для этого надо число, состоящее из трех последних цифр зачетной книжки, разделить на 40 и взять остаток от деления. Например, номер шифра 99-125 соответствует варианту 5, так как 125:40 = 3 целых и 5 в остатке. Следовательно, студент должен выполнять во всех заданиях задачи под номером 5. Если же номер шифра 99-104, то ему соответствует номер варианта 24, потому что 104:40 = 2 целых и 24 в остатке, следовательно, нужно выполнять все задачи под номером 24. Если остаток равен нулю, то решается вариант № 40.

При выполнении заданий 1 – 2 рекомендуется по учебнику [1] изучить разделы: основные понятия теории вероятностей, теоремы сложения и умножения вероятностей, следствия из них.

Задания 3 и 4 предполагают использование формул Бернулли, локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа. Соответствующие главы следует рассмотреть в [1], [2].

Задания 5 и 6 относятся к разделу «Случайные величины». Этот раздел можно также изучить по [1], [2].

При оформлении контрольной работы рекомендуется вычисления сопровождать пояснениями.

3

Задание № 1.

1.В урне 12 белых и 7 черных шаров. Один шар вынули и отложили в сторону. Он оказался белым. Найти вероятность того, что второй вынутый шар окажется белым.

2.В ящике 10 изделий, среди которых 6 имеют знак качества. Какова вероятность того, что 4 наудачу извлеченные изделия будут иметь знак качества?

3.В урне 8 белых и 7 красных шаров. Один шар из урны вынули. Он оказался красным. Шар отложили в сторону. Найти вероятность того, что второй вынутый шар окажется красным.

4.Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,75. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?

5.Для сигнализации об аварии установлено 2 независимо работающих сигнализатора. Вероятность при срабатывании при аварии первого сигнализатора равна 0,9, а второго – 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

6.У сборщика 15 деталей мало отличающихся друг от друга: 7 первого, 5 второго и 3 третьего видов. Какова вероятность того, что среди семи взятых одновременно деталей 4 будут первого вида, 1 − второго и 2 − третьего?

7.Одновременно брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что общая сумма выпавших очков будет не мень-

ше 11.

8.Бизнесмен имеет счета в трех городских банках. Вероятность того, что наличные имеются в 1-ом, во 2-ом и 3-ем банках соответственно равны 0,9; 0,85; 0,7. Определить вероятность того, что нужную сумму наличными выплатят только два банка.

9.Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что изделие окажется высшего сорта, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 4 проверенных из-

4

делий будет только 2 изделия высшего сорта.

10.Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

11.Вероятность попадания в цель каждым из двух стрелков равна 0,6. Найти вероятность попадания при одновременном выстреле, произведенном каждым стрелком.

12.Две одинаковые монеты радиуса r расположены внутри круга R, в который наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что точка упадет на одну из монет, если монеты не пересекаются.

13.Группа из 8 человек занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом (на соседних стульях), если а) число мест равно 8, б) число мест равно 12.

14.Внутрь круга радиуса R наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.

15.Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов будет только одно попадание.

16.В урне 5 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули 2 шара (не возвращая вынутый шар в урну). Найти вероятность того, что оба шара белые.

17.Для проверки шести магазинов нужны три ревизора, каждый из которых должен проверить два магазина. Какова вероятность того, что при случайном распределении первый ревизор будет проверять определенные два магазина? (Ревизоры выбирают объекты по очереди, один за другим.)

18.На полке стоят 15 книг, 7 из них в твердом переплете. Берут (без возвращения) три книги. Какова вероятность того, что все книги в твердом переплете?

19.В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг.

5

20.В урне 18 шаров: 5 белых, 7 черных и 6 красных. Найти вероятность того, что среди вынутых четырех шаров первый будет белым, второй черным, а остальные красными.

21.Наудачу подбрасывает две игральные кости. Найти вероятность того, что а) сумма выпавших очков четна, б) произведение очков четно.

22.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на два из трех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

23.Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,85, вторым 0,7, третьим – 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка одновременно попали в цель.

24.Предприятие изготовляет 95 % стандартных изделий, причем из них 75 % – первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется первого сорта.

25.В первом ящике 6 шаров: 1 белый, 3 красных и 2 синих. Во втором ящике 12 шаров: 2 белых, 6 красных, 4 синих. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что среди них нет синего шара.

26.Внутрь круга радиуса R брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг правильный треугольник.

27.Из 12 лотерейных билетов, среди которых есть 5 выигрышных, наудачу берут 3. Какова вероятность того, что из них будет хотя бы один выигрышный?

28.Имеются три независимо работающих элемента. Два из них отказали. Найти вероятность того, что отказали второй и третий элементы, если вероятность отказа каждого элемента рав-

на 0,3.

29.Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

30.Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

6

31.В партии изделий 90 исправных и 13 бракованных. Найти вероятность того, что среди 10 проданных изделий два бракованных.

32.В урне 16 шаров; 5 белых, 7 черных и 4 красных. Из урны 4 раза вынимают по одному шару, возвращая каждый раз шар в урну. Найти вероятность того, что первый шар будет белым, второй – черным, а третий и четвертый – красными.

33.В урне 12 шаров: 5 белых и 7 черных. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

34.У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1, и 4 детали – заводом № 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.

35.Одновременно брошены четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.

36.Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным девяти.

37.Одновременно брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что общая сумма выпавших очков будет не больше 7.

38.Найти вероятность того, что выбранное наудачу изделие является стандартным, если известно, что 11 % всех изделий является браком, а 85 % не бракованных удовлетворяют требуемому стандарту.

39.В двух урнах находятся шары, причем в первой урне 5 белых, 11 черных и 8 красных шаров, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу, извлекается по 1 шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

40.В коробке 20 карандашей: 7 зеленых, 6 красных, 3 желтых и 4 синих. Вынимается наугад два карандаша (без возвращения). Какова вероятность того, что оба вынутых карандаша одинакового цвета?

7

Задание № 2.

1.В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из которых одна нестандартная; во втором – 10 ламп, из них тоже 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

2.В пирамиде установлено 10 винтовок, из которых 4 имеют оптический прицел. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, а без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень. Какова вероятность того, что он стрелял из винтовки с оптическим прицелом?

3.Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,9, а второго – 0,7. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется нестандартной.

4.Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Среди них грузовых машин 60 %. Вероятность того, что машина заедет на заправку для грузовых машин равна 0,1, для легковых – 0,2. На заправку заехала машина. Какова вероятность того, что она грузовая?

5.Два наборщика набрали по одинаковому числу страниц текста. Вероятность допущения ошибки для 1-го наборщика равна 0,01; для 2-го – 0,03. а) Какова вероятность обнаружить ошибку на случайно взятой странице? б) На случайно взятой странице обнаружена ошибка. Какова вероятность того, что ее допустил 1-й наборщик?

6.На двух автоматических станках изготавливаются одинаковые валики. Вероятность изготовления валика высшего сорта на 1-ом станке равна 0,92, а на 2-ом − 0,8. Изготовленные на обоих станках не рассортированные валики находятся на складе в случайно образовавшемся порядке. Среди них валиков, изготовленных на 1-м станке, в три раза больше, чем на 2-м. Взятый наудачу со склада валик оказался высшего сорта. Какова вероятность того, что он с 1-ого станка?

8

7.Некто, заблудившийся в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятности выхода из леса за один час для этих дорог соответственно равны 0,3; 0,4; 0,2; 0,7 и 0,1. Чему равна вероятность того, что заблудившейся пошел по второй дороге, если известно, что он вышел из леса через час?

8.Из партии, состоящей из четырех изделий, наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?

9.Из 18 стрелков 5 попадают в цель с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6; 2 – с вероятностью 0,5. Выбранный стрелок в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?

10.Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике равна 0,5; во втором − 0,8; в третьем − 0,65. Формула была найдена. Найти вероятность того, что формула находилась во втором справочнике.

11.Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти находится по два черных и по два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров?

12.В урну, содержащую 5 шаров, опущен белый шар, после чего из нее извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар будет белый, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

13.Литье в болванках поступает из двух цехов: 70 % – из первого цеха и 30% – из второго. При этом материал первого цеха имеет 10 % брака, а второго – 20 % . Найти вероятность того, что взятая наугад болванка не имеет дефектов.

14.B группе из 10 студентов трое подготовлены отлично, четверо − хорошо, двое − удовлетворительно и один − плохо. Имеется 20 вопросов. Отличник может ответить на все 20 вопро-

9

сов, хорошист – на 16, троечник – на 10, плохо подготовленный – на 5. Вызванный студент ответил на 3 вопроса. Найти вероятность того, что он подготовлен на хорошо.

15.Имеется 3 одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

16.В собранной электрической цепи может быть поставлен предохранитель первого типа, который при перегрузке срабатывает с вероятностью 0,8 или второго типа, срабатывавший с вероятностью 0,9. Предохранитель первого типа может быть поставлен с вероятностью 0,6, а второго – с вероятностью 0,4. Предохранитель сработал. Что вероятнее: поставлен предохранитель первого типа или второго?

17.Известно, что 96 % выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрошенная схема контроля признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,96 и нестандартную – с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

18.В ящике содержится 12 деталей завода 1, 20 – завода 2, 18 – завода 3. Вероятность того, что деталь завода 1 отличного качества, равна 0,9; второго и третьего – 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества.

19.Изделие может поступить для обработки на первый станок с вероятностью 0,2, на второй – 0,3. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,03. Выбранное изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что изделие было обработано первым станком?

20.Контролер ОТК проверяет однотипные детали, поступающие из трех цехов, производительности которых одинаковы. Брак составляет в среднем для первого цеха – 2 % , для второго – 1,5 %, для третьего – 2,5 %. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной, Какова вероятность того, что она поступила из

10