2.3 Операции с приближенными числами

При записи любого числа значащими цифрами являются 1, 2, ...,9. Нуль является значащей цифрой если он стоит в середине или конце числа, и – не значащей, если он стоит в десятичной дроби с левой стороны и указывает лишь разряд остальных чисел (цифр).

Цифра верна, если абсолютная погрешность числа меньше одной единицы разряда этой цифры. Сомнительной называют цифру справа от верной, а все последующие за ней – неверные цифры, которые отбрасываются не только в результате, но и в исходных данных без округления числа. Например, в числе А = 0,0070350, ошибка которого равна = ± 0,0003; цифра 7 – верная, 0 – сомнительная, обе они являются значащими цифрами, а остальные – незначащие. Тогда А = (7,0 ± 0,3)·10^-3.

Погрешность конечного результата – находят по выражениям, рассматриваемым ниже, а для результатов промежуточных вычислений пользуются следующими правилами вычислений с приближенными числами:

а) сложение и вычитание понимают как алгебраическое сложение (с учетом знаков). Слагаемые записывают как без множителя 10, так и с ним. В последнем случае показатель степени должен быть одинаков для всех слагаемых.

Разряд сомнительной цифры суммы при этом совпадает со старшим разрядом сомнительных цифр слагаемых. Например, сложить числа: 3,141·10⁴; 2,6·10²; -1,26·10³, последние цифры в которых сомнительные; получают: (314,1 + 2,6 - 12,6) ·10²= =304,1 ·10².

б) умножение и деление удобно выполнять, когда числа записаны с множителем 10. Результат содержит столько значащих цифр, сколько их в том исходном числе, которое содержит наименьшее их количество. Например, умножить числа 4311 и 0,056; получают: 4,31·10³·5,6·10^-2 = 2,4·10²; разделить 92 на 0,354; получают: 9,2·10¹/3,54·10^-1 = 2,6·10².

в) возведение в степень является умножением одинаковых сомножителей. В результирующем числе количество значащих цифр оставляют такое же, как и в основании степени. Например, (3,92·10²)³= 6,02·10⁶. Извлечение корня из приближенного числа проводят до тех пор, пока не сравняется число значащих цифр в результате и в подкоренном выражении. Например, = 2,06.

г) при логарифмировании приближенного числа мантисса логарифма должна содержать то же количество значащих цифр, что и само число. Потенцирование, т.е. нахождение числа по его логарифму, подчиняется тем же правилам.

Основные правила округления чисел. При необходимости числа можно брать с различной точностью, т.е. оставлять в них различное количество десятичных знаков. Но при этом всегда полезно производить необходимые округления, чтобы не было впечатления о большей, чем это есть на самом деле, точности результата. Чтобы не допустить дополнительной погрешности при округлении, отбрасывают только неверные цифры.

При округлении отбрасывают все цифры, стоящие справа от разряда, до которого производится округление; последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу, если отбрасываемая цифра равна или больше 5, или не изменяют, если эта цифра меньше 5. Если отбрасывают лишь цифру 5 (или за ней стоят нули), то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, если она нечетная, и оставляют без изменения, если она четная.

Для уменьшения погрешности округления при выполнении всех операций вычислений необходимо в исходных данных, если это возможно, оставлять на одну единицу больше, чем это требуют правила округления.

В экспериментальных данных последняя цифра всегда сомнительная. В числах, взятых из таблиц, содержатся всегда только верные цифры, и их погрешности не превышают половины единицы разряда последней цифры. Отсюда, при вычислениях с использованием тех и других чисел можно не сохранять сомнительную цифру.

Абсолютную погрешность результата следует округлять до одной значащей цифры (или до двух, если первая из них меньше или равна 3) (±0,05; ±0,37). Относительную погрешность принято округлять до двух значащих цифр (0,12; 2,8%).

Результат прямого или косвенного измерения принято округлять до числовых разрядов абсолютной погрешности измерения так, чтобы значения измеряемой величины и ее погрешности оканчивались одинаковыми десятичными разрядами. Например, неверная запись: 0,00526 ± 0,000121; 4003,314 ± 50,82; верная запись: (5,26 ± 0,12)·10³; (4,00 ± 0,05) ·10³.