Задание

Каждый вариант содержит одну задачу.

Задача о диете.

Для откорма животных употребляют два вида кормов; стоимость 1 кг корма I вида- у.е., а корма - II видау.е. В каждом килограмме корма I вида содержится 5 ед. питательного веществаА, 2.5 ед. питательного веществаBи 1 ед. питательного веществаC. В каждом килограмме корма II вида содержится соответственно 3, 4 и 1.5 ед. Суточный рацион предусматривает питательных единицAне менееед., типаB- не менее150 ед. и типаC- не менееед. Какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты были минимальны, а животные получили питательных веществА,BиCвида не меньше указанных нормативов?

Указание. Значенияиравны 0.4 и -0.4 соответственно или задаются преподавателем,- номер студента в списке группы.

Исполнение: Решить задачу тремя способами:

- графическим методом;

- симплекс-методом;

- с помощью надстройки «Поиск решения» в MSExcel.

Сравнить полученные результаты.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2

Тема: задача о распределении ресурсов

Цель работы: Научиться строить модель задачи об оптимальном плане выпуска продукции в условиях ограниченности ресурсов. Получить понятие о двойственной задаче линейного программирования и её экономическом смысле. Научиться использовать понятие устойчивости для экономического анализа полученного решения.

2. Задача об оптимальном выпуске продукции

2.1. Постановка задачи, основные формулы

Если финансы, оборудование, сырье и даже людей полагать ресурсами, то значительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов. Достаточно часто математической моделью таких задач является задача линейного программирования, которая записывается следующим образом:

	(2.1)
	(2.2)
	(2.3)

Здесь (2.1) - целевая функция; (2.2) - система ограничений; (2.3) - естественные ограничения;

x_j – количество выпускаемой продукцииj-го типа,j=1,2, …n;

b_i- количество ресурса в наличииi-го вида (имеющийся запас),i=1,2,…,m;

a_ij - норма расходаi-го ресурса для выпуска единицы продукцииj-го типа;

c_j - прибыль, получаемая от реализации единицы продукцииj-го типа.

Значение целевой функции - это суммарная величина прибыли от реализации продукции, выпущенной в объемах x₁, x₂,.. .x_n.Левая часть неравенства (2.2) представляет собой общее количество ресурсаi, используемого в соответствии с планом, правая часть - это имеющийся запас.

Каждой задаче линейного программирования соответствует двойственная задача, которая записывается по следующимправилам:

1. Каждому i-му ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачиu_i (двойственная переменная)

2. Каждой j-ой переменной исходной задачи соответствует ограничение двойственной. Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей ограничений исходной. Если в исходной задаче ограничения имеют знак, то в двойственной -.

3. Коэффициенты при двойственных переменных в целевой функции двойственной задачи равны правым частям ограничений исходной задачи

4. Если исходная задача была на нахождение максимума, то двойственная будет на нахождение минимума:

	(2.4)
	(2.5)
	(2.6)

Можно доказать следующие утверждения:

• Для оптимального решения значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают (maxF = minG).

• Если соотношение maxF = minGзаписать в форме, то видно, что двойственная переменнаяu_i является коэффициентом приb_iи, следовательно, показывает, как изменится целевая функция при изменении ресурса b_i на единицу.В литературе по оптимизации двойственные переменные принято называтьдвойственными оценками. В отчетах, полученных с помощью табличного процессораMS Excel, двойственная оценка называетсятеневой ценой.

• Теневая цена ресурса отлична от нуля (точнее, больше нуля) только для тех видов ресурсов, которые используются полностью, т.е. ограничения (2.2) превращаются в равенства.

• Симметричность прямой и двойственной задач заключается в том, что значения теневой цены в прямой задаче совпадают с решением двойственной и наоборот.

• В теории ЛП также рассматриваются дополнительные двойственные переменные, которые в отчетах MS Excelназываютсянормированной стоимостью. Каждой основной переменнойx_j соответствует своя нормированная стоимостьv_j. Известно, что еслиx_j=0(т.е. продукциюj-го типа выпускать не целесообразно), тоv_jотлична от нуля (точнееv_j<0) и наоборот, еслиx_j>0(продукцию выпускать целесообразно), то соответствующееv_j=0.Экономический смысл нормированной стоимости - это величина, которая показывает, на сколько уменьшится значение суммарной прибыли (ЦФ), при принудительном выпуске этой продукции.