Раздел 5. Несинусоидальные периодические процессы в линейных электрических цепях

5.1. Основы метода расчета несинусоидальных процессов

5.1.1. Разложение несинусоидальной периодической функции в ряд Фурье

Несинусоидальными периодическими токами и напряжениями называются токи и напряжения, изменяющиеся во времени по несинусоидальному периодическому закону. Они могут возникать в следующих случаях:

1. Источник ЭДС (тока) вырабатывает несинусоидальную ЭДС (ток), а все элементы цепи линейны.

2. Источник ЭДС (тока) вырабатывает синусоидальную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи не линейны.

3. Источник ЭДС (тока) вырабатывает постоянную или синусоидальную ЭДС (ток), а параметр одного или нескольких элементов цепи изменяются периодически во времени.

Несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи можно представить в виде ряда Фурье, который в общем виде содержит постоянную составляющую, основную или первую гармонику, имеющую период, периоду самой функции, и высшие гармоники, частота которых в целое число раз больше частоты первой гармоники

, (5.1)

где U₀ – постоянная составляющая, равная среднему значению несинусоидального напряжения за период, U₁sin(wt+y₁) – основная или первая гармоника. Она имеет тот же период T = 2p/w, что и данное несинусоидальное напряжение. Все остальные гармоники, имеющие частоту не равную частоте w, называются высшими гармониками. Номер гармоники означает во сколько раз угловая частота больше основной частоты w. Следует отметить, что число гармоник стремится к бесконечности, а амплитуды по мере увеличения номера гармоники уменьшаются и стремятся к нулю U_mn®0. Поэтому обычно можно ограничиться некоторым конечным числом ряда.

Ряд Фурье (5.1) можно записать и в виде суммы синусного и косинусного рядов:

где

Коэффициенты ряда (5.2) могут быть определены с помощью известных из высшей математики формул.

Если несинусоидальная периодическая функция обладает тем или иным видом симметрии, то при ее разложении в ряд Фурье отсутствуют некоторые составляющие ряда.

5.1.2. Действующие значения несинусоидальных периодических токов и напряжений

Известно, что действующим значением тока или напряжения называется среднеквадратичное значение их за период, т. е.

, . (5.3)

Примем, что ток несинусоидальный:

(5.4)

Тогда при подстановке (5.4) в (5.3) получаем (вывод можно посмотреть в рекомендованной литературе [1],[2]):

, (5.5)

аналогично для напряжения

. (5.6)

5.1.3. Мощность в цепи при несинусоидальных токе и напряжении

Пусть на входе цепи имеется несинусоидальные напряжение и ток

(5.7)

Известно, что активная мощность цепи равна:

. (5.8)

При подстановке (9.7) в (9.8) получим

. (5.9)

Из (5.9) получаем формулу для расчета активной мощности при несинусоидальных токе и напряжении

. (5.10)

Активная мощность при несинусоидальном режиме, согласно (9.10), равна сумме постоянной мощности и активных мощностей всех гармоник.

Полной мощностью называется произведение действующих значений несинусоидальных напряжения и тока.

Для периодических несинусоидальных процессов вводят понятие о коэффициенте мощности l, определяя его из соотношения

, (5.11)

т. е.

По аналогии с синусоидальным током вводят понятие о реактивной мощности Q, которая определяется как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:

(5.12)