6.2.5. Законы Кирхгофа в операторной форме

1. Первый закон Кирхгофа. Для узла электрической цепи можно составить уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений токов:

Преобразуя это уравнение по Лапласу получим:

т. е. (6.20)

Уравнение (6.21) выражает первый закон Кирхгофа в операторной форме.

2. Второй закон Кирхгофа. Для любого контура электрической схемы можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и ЭДС:

(6.22)

где – источник ЭДС в k–й ветви, а – напряжение на этой ветви. Преобразуя уравнение по Лапласу, получим:

или (6.23)

С учетом ненулевых начальных условий для ветви, содержащей элементы R, L, C, и учитывая их операторные уравнения (6.16), (6.17), (6.19), имеем:

(6.24)

Отметим, что это уравнение называют законом Ома в операторной форме с ненулевыми начальными условиями. При нулевых начальных условиях в уравнении (6.24) будут отсутствовать источники .

Используя соотношение (6.24), запишем уравнение (6.23) в виде:

,

Уравнение (6.25) называется вторым законом Кирхгофа в операторной форме.

При составлении уравнений Кирхгофа в операторной форме сохраняются все правила составления уравнений Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений, ЭДС, т. е. необходимо задаваться положительными направлениями операторных токов, напряжений и соблюдать правило знаков при составлении уравнений.

Заметим, что структура записи операторного сопротивления ветви и комплексное сопротивление этой же ветви Z аналогичны, если допустить, что

Отсюда следует, что выражение для операторного сопротивления можно получить из комплексного сопротивления путем замены в нем j на оператор р.

6.2.6. Аналогии уравнений цепей постоянного тока, синусоидального тока в комплексной форме и переходных процессов, записанных в операторной форме

В табл. 6.2 сведены токи, напряжения, ЭДС, параметры цепи, законы Ома и Кирхгофа для различных форм записи.

В силу аналогичности приведенных параметров и уравнений для различных форм записи все методы расчета цепей постоянного тока и цепей синусоидального тока в комплексной форме применяют для расчета операторных схем замещения.

Таблица 6.2

Цепь постоянного тока	Цепь синусоидального тока в комплексной форме	Переходные процессы - операторная форма записи
I
U
E
R
		*
		*

Определение операторных токов выполняется после составления операторной схемы. Данную процедуру следует выполнять в следующей последовательности.

1. Составляем операторную схему замещения для цепи, образовавшейся после коммутации

________

* При ненулевых начальных условиях ( ,) в числитель дроби (закон Ома) и в сумму операторных ЭДС (2-й закон Кирхгофа) надо алгебраически прибавить дополнительные ЭДСи.

2. Для операторной схемы п.1 составляем систему уравнений в операторной форме по законам Кирхгофа, либо используем другие методы для составления уравнений (методы контурных токов, узловых напряжений и т. д.).

3. Решаем линейную алгебраическую систему п. 3 и определяем операторные токи в ветвях операторной схемы замещения.

4. Определяем мгновенные значения токов (ниже будет рассмотрен заключительный этап по определению искомых мгновенных значений токов переходного процесса из полученных операторных токов).

Рассмотрим несколько примеров по определению операторных токов.

Пример 6.1. Цепь, состоящая из последовательно включенных элементов R=10 Ом и L=0,2 Гн с нулевыми начальными условиями, включается под постоянное напряжение U = 100 В. Найти операторный ток в цепи

Решение. Согласно закону Ома, в операторной форме при нулевых начальных условиях

где - изображение постоянного напряжения (табл.2.1);