6.1.2. Законы коммутации. Начальные условия

Переходные процессы связаны с изменением магнитной энергии в индуктивности L и электрической энергии в емкостиСи запасом этих энергий на момент коммутации.

Энергия магнитного поля в индуктивности

(6.1)

и энергия электрического поля в емкости

(6.2)

не могут изменяться мгновенно, так как для мгновенного изменения энергии

потребовались бы бесконечно большие мощности источников, что физически невозможно.

Из соотношения (6.1) следует, что ток и потокосцепление в индуктивности не могут изменяться скачком (мгновенно). Это положение известно под названием первого закона коммутации.Из соотношения (6.2) следует, что напряжение на емкости и его заряд не могут изменяться скачком (мгновенно). Это положение называетсявторым законом коммутации.

Для учета влияния энергетического состояния цепи на момент коммутации и для записи законов коммутации введем понятие тока в индуктивности и напряженияна емкости в последний момент перед коммутацией, а также понятие токав индуктивности и напряженияна емкости в первый момент после коммутации. Напомним, что за момент коммутации принято времяt= 0. В соответствии с этим законы коммутации можно записать в виде:

первый закон коммутации или ; (6.3)

второй закон коммутации или . (6.4)

Заметим, что напряжение на индуктивности и ток в емкости могут изменяться мгновенно.

Если цепь содержит только активные сопротивления, то запасенная энергия электрического и магнитного полей несоизмеримо мала с выделяющейся тепловой энергией в сопротивлениях, что обусловливает отсутствие переходных процессов в таких цепях. При этом ток и напряжения изменяются мгновенно от первоначально установившегося режима до нового установившегося режима. Независимыми начальными условиямипринимают токиi_L(–0) в индуктивностях и напряженияu_C(–0) на емкостях, В дальнейшем для краткости будем их называть начальными условиями. Еслиi_L(–0)=0 иu_C(–0)=0, то такие начальные условия называются нулевыми. Следует отметить, что характер переходного процесса зависит от начальных условий.

6.1.3. Расчет переходных процессов

Электромагнитные процессы в электрических цепях описываются дифференциальными уравнениями, составленными согласно первому и второму законам Кирхгофа с использованием уравнений элементов. Порядок дифференциального уравнения определяется тем, сколько в цепи имеется накопителей электрической и магнитной энергии. Если требуется найти ток i_kвк-й ветви, то исключая последовательно все токи остальных ветвей, можно получить одно дифференциальное уравнение, содержащее только токi_k и его производные

(6.5)

Здесь - постоянные коэффициенты, значение которых зависит от конфигурации цепи. Правая частьf(t) содержит в себе заданные ЭДС.

Полный интеграл дифференциального уравнения с правой частью равен сумме частного решения этого уравнения и решения того же уравнения без правой части (однородного) [1].

Частное решениеуравнения (6.5) дает нам значение тока приt = ¥, т. е. при установившемся режиме, наступившем после коммутации. Характер и величина этой составляющей определяются внешними источниками. Поэтому ее часто называют принужденной составляющей и обозначают какi_пр.Например, если источники постоянны, то и принужденный токi_пр = const. Если же ЭДС заданы в виде синусоидальных функций, тоi_пртакже будет синусоидальной функцией. Определениеi_прявляется задачей расчета установившегося режима в цепи, способы и методы которого рассматривались в предыдущих разделах дисциплины.

Общее решениефизически определяет электромагнитные процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии, за счет запаса энергии в индуктивностях и емкостях, который был в начальный момент времени.

Так как в реальных цепях всегда имеет место рассеяние энергии (преобразование в тепло), то запас энергии будет со временем исчерпан и электромагнитные процессы в цепи прекратятся.

Из этого следует, что общее решение однородного уравнения должно стремиться к нулю при t ® ¥.Эта составляющая не зависит от внешних источников и поэтому ее часто называют свободной составляющей и обозначают какi_св.

Общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка, как известно из курса математики в случае простых корней, имеет вид:

i_св=,

где t– время;A_k– постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий;– корень характеристического уравнения

a_nⁿ + a _n-1 ^n-1 + … + a ₁ + a₀ =0. (6.6)

Рассмотренный метод расчета переходных процессов называется классическим. Обратим внимание, что при составлении дифференциальных уравнений в качестве неизвестных необходимо принимать токi_Lв индуктивности и напряжениеu_Cна емкости. При таком выборе неизвестных достаточно легко на основании начальных условий и законов коммутации определить постоянные интегрирования.