Тема 4.1. Производная и дифференциал

Тема 4.1. Производная и дифференциал 1

1. Дифференцируемость функции в точке и в области 1

1.1. Производная функции 1

1.2. Дифференциал 1

1.3. Связь между существованием производной и непрерывностью функции 2

2. Геометрическое и механическое толкование производной 3

3. Производная суммы, произведения и частного от деления двух функций 3

4. Производная сложной и обратной функций. 4

5. Таблица производных 5

6. Односторонние и бесконечные производные 9

1. Дифференцируемость функции в точке и в области

1.1. Производная функции

Определение. Пусть функцияопределена в некоторой окрестности точки. Рассмотрим предел

.

Если он существует, то называется производнойфункциив точке. Производная обозначается одним из следующих способов:

. (1)

Используется также другой вариант записи формулы (1). Если ввести обозначения:

, (2)

то формула (1) может быть записана в виде

. (3)

1.2. Дифференциал

Определение. Дифференциалом функциив точкеназывается выражение

. (1)

Если рассматривать независимую переменную как функцию самой себя, то ее дифференциал представляется выражением

(2)

и определение дифференциала поэтому записывают в виде

(3)

В соответствии с определением дифференциал можно рассматривать как функцию двух независимых аргументов и, причем по второму аргументу эта функция является линейной.

Равенство (3) позволяет рассматривать вариант обозначения производной в виде как частное от деления дифференциала функции на дифференциал аргумента.

Между приращением функции и ее дифференциалом существует тесная связь. Действительно, по свойству предела (1.1.1) отношение отличается от своего пределана бесконечно малую величинупри, т.е.

.

Умножим последнее равенство на и с учетом (3) получим

. (4)

Таким образом, приращение функции есть сумма двух слагаемых: дифференциала, являющегося линейной функцией приращения аргумента, и, вообще говоря, нелинейной относительно приращения аргумента части. Покажем, что эта нелинейная часть является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с дифференциалом при , если производная не равна нулю. Действительно,

. (5)

Следовательно, слагаемое является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем дифференциал. Это дает основание называть дифференциал главной линейной частью приращения функции. Из формулы (5) следует, что приращение функции и дифференциал являются эквивалентными бесконечно малыми величинами. Действительно, разделив формулу (4) нас учетом соотношения (5) получим

. (6)

1.3. Связь между существованием производной и непрерывностью функции

Пусть функция имеет производную в точке. Тогда выполняется соотношение (1.2.4), т.е.

. (1)

После переноса в правую часть соотношения и, переходя к пределу, получим

. (2)

Соотношение (2) обозначает непрерывность функции в точке . Таким образом, из дифференцируемости следует непрерывность функции.

2. Геометрическое и механическое толкование производной

Рассмотрим поведение произвольной функции в окрестности точки. Проведем прямую, проходящую через точку с координатамии пересекающую график функциив соседней точке с координатами. Эта прямая называется секущей.

Тангенс угла между секущей и положительным направлением оси абсцисс определяется соотношением

. (1)

При секущая переходит в касательную, а уголпереходит в уголнаклона касательной к положительному направлению оси абсцисс

. (2)

Соотношение (2) составляет так называемый геометрический смысл производной.

Соотношение (2) позволяет построить уравнение касательной к графику функции в точке. Уравнение прямой в форме с угловым коэффициентом имеет вид

.

Известно, что угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции, т.е., а уравнение прямой проходящей через точку с координатамиимеет вид

. (3)

Легко получить также уравнение перпендикуляра к кривой в точке . Если угол наклона касательной к кривой считать равным, то угол наклона перпендикуляра будет равен. Угловой коэффициент наклона перпендикуляра получается из следующей цепочки соотношений

.

Заменяя в уравнении (3) угловой коэффициент, получим уравнение перпендикуляра в виде

. (4)