Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный горный институт

имени Г.В. Плеханова (технический университет)

Кафедра автоматизации технологических процессов и производств

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания по курсовой работе

для студентов специальности 210301

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2010

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина “Теория автоматического управления” для студентов специальности 220301 “Автоматизация технологических процессов и производств (в металлургии)” является специальной дисциплиной, призванной дать студентам знания об общих принципах построения и законах функционирования систем автоматического управления, об основных методах анализа и синтеза таких систем.

Современный уровень общественного производства - использование более совершенной техники и технологии, автоматизация научного эксперимента требуют от будущих инженеров самых различных специальностей приобретения и расширения знаний в области автоматики. Современному инженеру все чаще приходиться использовать в своей научной и практической деятельности теорию и методы проектирования, создания и эксплуатации систем автоматического регулирования и управления.

Необходимый и достаточный объем знаний и умений в этой области позволит инженеру по специальности 220301 “Автоматизация технологических процессов и производств (в металлургии)” свободно ориентироваться в особенностях управления промышленными объектами и правильно их использовать.

В методических указаниях изложены основные сведения о линейных непрерывных системах автоматического регулирования, т.е. охвачен первый раздел теории автоматического регулирования и управления, который имеет весьма большое значение и широко применяется как студентами во время диплом проектировании, так и специалистами в инженерной практике.

Нами в качестве базовых пособий взяты учебные пособия [1, 2, 3].

Кроме предложенных пособий, для изучения дисциплины “Теория автоматического управления” студентам необходимо вспомнить и уметь применять на практике знания по следующим разделам из курса высшей математики: элементы линейной и матричной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, ряды и интеграл Фурье; элементы теории функций комплексного переменного, операционное исчисление, элементы математической статистики, элементы теории вероятностей и теории случайных процессов.

Линеаризация математической модели объекта управления

В качестве предмета изучения в этом и последующих заданиях будем использовать некоторый объект, описываемый дифференциальным уравнением 2-го порядка.:

(1).

Исходные данные.

В качестве исходных данных служат коэффициенты уравнения (1) а_III, а_II, а_I, b_I ; границы изменения входной переменной X_min и X_max.

Для варианта «Пример» эти значения будут: а_III=6; а_II=17Y; а_I=5Y²Х; b_I = 8YX; X_min=1; X_max=11. Номинальный режим выбран как ½ диапазона изменения Х (z=1/2).

Задание.

Произвести линеаризацию уравнения объекта управления и уточнить границы изменения Х, чтобы ошибка линеаризации была не более 5% от номинального значения Y.

Метод решения

Перепишем уравнение (1), подставив значения коэффициентов:

(2)

Это нелинейное уравнение, так как в нем имеется произведение выходной переменной Y на ее производную (динамическая нелинейность), вторая степень входной переменной Х, третья степень выходной переменной Y и произведение входной и выходной переменной (статическая нелинейность).

Для того чтобы можно было пользоваться стандартными методами теории автоматического управления , применительно к данному объекту, необходимо привести это уравнение к виду:

(3),

где а₂ , а₁, а₀, b – некоторые постоянные коэффициенты.

Уравнение (3) – линейное дифференциальное уравнение. Поэтому процесс приведения к такому виду какого то нелинейного уравнения называют линеаризацией.

Для линеаризации уравнения (2) введем понятие номинального режима: установившегося режима функционирования объекта (производные равны нулю), в котором входная и выходная переменные связываются уравнением статики и каждая имеет какое то определенное постоянное значение. Относительно этих значений рассматриваются величины входных и выходных переменных во время работы объекта управления. Сами значения при номинальном режиме могут определяться из различных соображений: исходя из требований технологического регламента или просто как середина диапазона изменения входной (выходной) величины и т.п.

Найдем уравнение статического режима для объекта (2).

Приравняем нулю все производные в уравнении (2) и получим уравнение статики объекта:

(4)

Уравнение (4) описывает множество возможных установившихся состояний объекта, в том числе и состояние номинального режима.

Найдем значения переменных при номинальном режиме.

Диапазон изменения Х, как уже было сказано от 1 до 11. Номинальное значение для варианта «Пример» Х^Н соответствует середине диапазона (z= ½ ), то есть

Х^Н = X_min+ z ( X_max - X_min )= 1 + 0,5(11-1)=6

По уравнению (3):

Тогда во всех состояниях значения входной и выходной переменных можно записать, как:

Y = Y^H + Y ; X = X^H + X (5).

Линеаризация производится для режимов, имеющих относительно малое отклонение от номинального режима.

Перенесем правую часть уравнения (2) налево и получим

6Y^II + 17Y^IY + 5Y³X + 8YX² = 0 (6)

Обозначим левую часть уравнения (2) через функцию F:

F = 6Y^II + 17Y^IY + 5Y³X - 8YX² (7)

Разложив ее в ряд Тейлора с учетом всех переменных и производных (производные рассматриваются, как самостоятельные переменные) и отбросить все слагаемые второго и больших порядков, получим :

(8),

где F_H – значение F при номинальном режиме, ,,,-значения производных по переменным при подставленных номинальных значениях, Y^II , Y^I , Y , X - отклонения переменных от номинального значения .

Найдем частные производные, необходимые для разложения:

= 6, = 17Y_H= 52.673,

=17Y^II_H+ 15(Y_H)²X_H+ 8(X_H) ²=576 ,

=5(Y_H)³ - 16Y_HX_H = -148.723

Номинальное значение дифференциального оператора выхода (левой части уравнения) F_H= 5(Y_H)³X_H - 8Y_Н(X_H)²= 0

Таким образом подставив все это в уравнение (7) получим

F= 0+ 6Y^II + 52.673Y^I + 576Y –148.723X

где члены высоких порядков отброшены, а линеаризованное уравнение имеет вид:

6Y^II + 52.673Y^I + 576Y = 148.723X (9)

Уравнение (9) является линейным, но описывает объект не в абсолютных физических переменных, а в отклонениях от номинала (приращениях).

Разделим обе части уравнения (9) на коэффициент при Y. Тогда оно примет вид:

а₂Y + а₁Y + а₀Y = kX (10),

где а₂ = 0.01 , а₁ = 0,091 , а₀ = 1 – коэффициенты ; k = 0,258 – коэффициент усиления объекта, Y=и Y= - производные.

Уравнение (10) является линеаризованным дифференциальным уравнением объекта управления в канонической форме записи. Приведение к такой форме (коэффициент при Y равен 1) - очень важный момент для правильного определения параметров объекта (например, коэффициента усиления).

Линеаризация существенно снижает точность математической модели. Эта потеря точности не должна превысить заданного значения (для варианта «Пример» 5 %).

Уточним интервал изменения Х, в котором данная точность реализуется.

Проверка проводится для статического режима.

При линеаризации кривая, соответствующая уравнению (4) заменяется прямой, получаемой из (10) приравниванием к нулю производных:

Y = 0,258X (11)

Сопоставим характеристики (4) и (11).

Поскольку из уравнения (5) Y=3,098+Y и X=6+X , то можем записать на основании (11):

,или

(12)

Ошибку линеаризации можно посчитать по уравнению

 = (13),

где Y_л, Y_нл – значения выходной переменной для линеаризованного уравнения (12) и нелиаризонанного уравнения (5).

Подставляя в (5), (12) и (13) различные значения Х, можно найти значения Y для линеаризованного (Y_л) и нелинеаризованного уравнения (Y_нл). Результаты приведены в таблице.

Х	1	2	3	5	6	7	8	10	11
Yл	1,81	2,07	2,32	2,84	3,098	3,36	3,61	4,13	4,38
Yнл	1,26	1,78	2,19	2,83	3,098	3,34	3,58	4	4,2
,%	17,5	8,9	4,2	0,4	0	0,3	1,2	4,2	6,2

Как видно из таблицы на краях заданного диапазона точность линеаризации не достаточна. Найдем параметры диапазона в котором ошибка не превышала заданного значения 5%. Из уравнения (13) имеем:

= 5

Откуда

, или

Решая это уравнение получаем новые значения гарниц интервала. Они будут: YZ₁ =2,805 и YZ₂ = 10,395.

Построим график (Х).

Рис. 1 График ошибки . YZ₀ и YZ₁ - новые значения границ интервала изменения X.

Построим графики Y_л и Y_нл, то есть линеаризованной и нелинеаризованной статических характеристик (рис. 2.).

Рис. 2. Нелинейная и линеаризованная статические характеристики. Жирной линией обозначен новый интервал, удовлетворяющий точности 5% ; X_min и X_max - заданные значения интервала.

Таким образом, исходное уравнение (1) линеаризуется уравнением вида (10) (сейчас и в дальнейшем знак  будет опускаться при записи дифференциальных уравнений в отклонениях) :

0,01Y + 0,091Y + Y = 0,258X,

а требуемая точность линеаризации достигается в интервале изменения входной переменной от 2,805 до 10,395.