MATAN_RGZ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»

Кафедра высшей математики

Расчетно-графическое задание

По дисциплине: МАТЕМАТИКА

^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

Тема: Математическая статистика

Автор: студент гр. ГРП-13-2 ______________ /Марин Е.А./

^{(подпись) (Ф.И.О.)}

Вариант 87

Дата: 01.11.2014

ПРОВЕРИЛ: доцент ______________ /Лебедев И.А./

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2014

Задача 1

Записать вариационный ряд их двадцати значений x_i (с шагом h=3) и соответствующих частот m_i:

Произвести группировку значений по сгруппированному вариационному ряду построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму.

Решение

Составим вариационный ряд из двадцати значений:

Таблица 1

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
xi	1	4	7	10	13	16	19	22	25	28	31	34	37	40	43	46	49	52	55	58
mi	19	8	17	6	15	4	13	2	13	4	15	6	17	8	19	10	21	12	23	14

_{Вводим интегралы группировки:}

_{Для сгруппированного вариационного ряда значения равны серединам интервалов:}

Находим частоты для этих значений (т.е. для интервалов ):

Объем выработки

Вычислим эмпирические вероятности:

Накопленные вероятности следующие:

за

за и

за и

за и

за

_за

Определим эмпирические плотности:

Задача 2

Сгруппированный вариационный ряд задан серединами интервалов x_i и соответствующими частотами m_i:

Таблица 2. 1

xi							mi
x1	x2	x3	x4	x5	x6	m1		m2	m3	m4	m5	m6
3	4	5	6	7	8	4		8	12	14	7	5

Восстановить интервалы и оценить с помощью критерия Пирсона согласие данных с нормальным распределением при уровне значимости .

Решение:

Так как промежутки группировки выбираются равными и нам даны их середины, мы можем определить данные интервалы, а именно: [2,5;3,5], [3,5;4,5], [4,5;5,5], [5,5;6,5], [6,5;7,5], [7,5;8,5]. Введем условную варианту, определив шаг h=1 и выбрав ложный нуль C=6, и найдем и , восстанавливая интервалы.

Таблица 2. 2

интервал (∆i)	xi	mi
2,5-3,5	3	4	-3	-12	9	36
3,5-4,5	4	8	-2	-16	4	32
4,5-5,5	5	12	-1	-12	1	12
5,5-6,5	6	14	0	0	0	0
6,5-7,5	7	7	1	7	1	7
7,5-8,5	8	5	2	10	4	20
		50		-23		107

По данным табл. 2.2. имеем n=50:

Вычислим теоритические частоты (табл. 2. 3) для интервалов используя формулу вероятности попадания значения в этот интервал для нормального распределения с параметрами и :

Таблица 2. 3

2,5-3,5	-2,19	-1,47	-0,4858	-0,4292	0,0566
3,5-4,5	-1,47	-0,75	-0,4292	-0,2734	0,1558
4,5-5,5	-0,75	-0,03	-0,2734	-0,0120	0,2614
5,5-6,5	-0,03	0,69	-0,0120	0,2549	0,2669
6,5-7,5	0,69	1,41	0,2549	0,4207	0,1658
7,5-8,5	1,41	2,13	0,4207	0,4834	0,0627

Найдём выборочное значение (критерий Пирсона):

Таблица 2. 4

Номер интервала
1	2,5-3,5	4	3	1	1	0,333
2	3,5-4,5	8	8	0	0	0
3	4,5-5,5	12	13	-1	1	0,077
4	5,5-6,5	14	13	1	1	0,077
5	6,5-7,5	7	8	-1	1	0,125
6	7,5-8,5	5	3	2	4	1,333

Так как число промежутков k=6, а число наложенных связей ρ=3, то число степеней свободы . Поэтому по таблице критических значений имеем . Сравниваем найденное значение χ²=1,945 с критическим (1,945<9,17), определяем, что рассматриваемые данные можно считать полученными из нормально распределенной совокупности.

Задача 3

Найти выборочные регрессии, построить их графики и точки условных средних на одном чертеже. Оценить качество связи.

Таблица 3. 1

Y	X
	b	b+(10-a)	b+2(10-a)	b+3(10-a)	b+4(10-a)	b+5(10-a)
a	5	10-a		15-b
a+10			2b		20-2b	4
a+20				30-a-b
a+30		5	a			b
a+40	b	a+b		10-b	1

Решение

Расшифруем данные и найдем

Например:

Таблица 3.2

	7	9	11	13	15	17
8	5	2		8			15		10,47
18			14		6	4	24		13
28				15			15		13
38		5	8			7	20		12,6
48	7	15		3	1		26		9,15
	12	22	22	26	7	11	n=100
	31,33	42,09	25,27	24,15	22,29	37,09

Точки условных средних: и

Наибольшая частота, приближенная к центру таблицы, и, следовательно, ложные нули и , шаг (для ) и (для ).

Составим новую таблицу в условных вариантах для расчёта характеристик (табл. 4. 3), где

Таблица 3. 3

	-3	-2	-1	0	1	2
-2	5	2		8			15	-30	60
-1			14		6	4	24	-24	24
0				15			15	0	0
1		5	8			7	20	20	20
2	7	15		3	1		26	52	104
	12	22	22	26	7	11	n=100
	-36	-44	-22	0	7	22
	108	88	22	0	7	44

По данным таблицы получим выборочные характеристики:

Для вычисления найдем средние суммы всех произведений u_iν_jm_ij:

Выборочный коэффициент корреляции равен:

Уравнения выборочных регрессий имеют вид:

для регрессии У на Х.

для регрессии Х на У.

Обе регрессии проходят через точку средних и для построения прямых найдем еще по одной точке для каждой прямой. Для – точка , для прямой – точка .

Так как отлично от нуля (угол между прямыми наилучших линейных регрессий близких к нулю ), то связь между изучаемыми случайными величинами достаточно сильная, и т.к. это значение еще не близко к -1, то связь сильно нелинейная.