1) Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения.
Квадратная таблица
составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (или просто определителем матрицы A) называется число
Аналогично если
- квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число
Эту
формулу называют "правило треугольника":
одно из трех слагаемых, входящих в правую
часть со знаком "+", есть произведение
элементов главной диагонали матрицы,
каждое из двух других - произведение
элементов лежащих на параллели к этой
диагонали и элемента из противоположного
угла матрицы, а слагаемые, входящие в
со знаком минус, строятся таким же
образом, но относительно второй (побочной)
диагонали.
Свойства определителя:
1) Если матрицу транспонировать, то определитель не изменится: detA =detA.
2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.
3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.
4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые.
5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.
6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).
Минор
Минором 
элемента 
матрицы
n-го
порядка называется определитель матрицы
(n-1)-го
порядка, полученный из матрицы
А вычеркиванием
i-й
строки и j-го
столбца.
При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Алгебраические дополнения
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:
то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.
2) Понятие матрицы
Основные
понятия и обозначения. Пусть
m и n два произвольных натуральных
числа.Матрицей размера
m на n (записывается так 
)называется
совокупность mn вещественных (комплексных)
чисел или элементов другой структуры
(многочлены, функции и т.д.), записанных
в виде прямоугольной таблицы, которая
состоит из m строк и n столбцов и взятая
в круглые или прямоугольные или в двойные
прямые скобки. При этом сами числа
называются элементами
матрицы и
каждому элементу ставится в соответствие
два числа -номер
строки и номер
столбца.
Для
обозначения матрицы используются
прописные латинские буквы, при этом
саму матрицу заключают в круглые или
прямоугольные или в двойные прямые
скобки. Элементы
матрицыобозначают
строчными латинскими буквами, снабженными
двумя индексами: 
-
элемент матрицы, расположенный
в i-й строке
и j-м столбце
или коротко элемент в позиции (i,j).
В общем виде матрица размера m на n может
быть записана следующим образом
Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:
-
множество всех матриц размера m на n;
-
матрица A с
элементами
в
позиции (i,j);
-
матрица размера m на n.
Элементы
,
где i=j,
называются диагональными, а элементы
,
где 
-
внедиагональными. Совокупность
диагональных элементов 
,
где k
= min (m,n),
называется главной диагональю матрицы.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.
Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.
Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.
Матрица
размера 
называется
матрицей-строкой или вектор-строкой.
Матрица размера 
называется
матрицей столбцом или вектор-столбцом.
3)Действия над матрицами, их свойства.
Определение 3.1. Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах.
Определение 3.2. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0.
Определение 3.3. Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.
3) Линейные операции над матрицами.
1. Сложение матриц.
Определение
3.4. Суммой
матриц А
и В одинаковой размерности m
n называется
матрица С той же размерности, каждый
элемент которой равен сумме элементов
матриц А и В, стоящих на тех же местах: 
Свойства сложения:
1. А + В = В + А.
2. (А + В) + С = А + (В + С) .
3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А
Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.
Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.
2. Умножение матрицы на число.
Определение 3.5. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.
Свойства умножения матрицы на число:
1. (km)A=k(mA).
2. k(A + B) = kA + kB.
3. (k + m)A = kA + mA.
Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.
Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е. С = А + (-1)В.
Перемножение матриц.
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.