Вариант 038

Вариант 038

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

Исследуемая автоматическая система регулирования режимом работы одного из тепловых объектов задана в виде структурной схемы, передаточных функций звеньев, входящих в систему, а также цифровых данных, характеризующих параметры каждого звена.

Необходимо составить передаточную функцию автоматической системы регулирования: исследовать систему на устойчивость с помощью критерия Михайлова; пользуясь методом частотных характеристик, рассчитать и построить кривую переходного процесса замкнутой системы регулирования при единичном ступенчатом входном воздействии; сделать выводы о качестве процесса регулирования системы.

х_вх. f(x) x_вых

W₃(p)

W₁(p)

(-)

W₂(p)

W₄(p)

W₁(p)= K₁; W₂(p)= ; W₃ = ; W₄(p) = .

К₁ = 2,5; К₂ = 4,0; К₃ = 5,0; К₄ = 1,0;

Т₁ = 15,0 с; Т₂ = 10,0 с; Т₃ = 30,0 с; Т₄ = 40,0 с;

τ = 20,0с.

1. В структурной схеме АСР обрабатываем внутренние связи и определяем передаточные функции эквивалентных связей.

1.1 Параллельное соединение (звенья с передаточными функциями W₁(p) и W₄(p) ).

х_вх. х_вых.

W₁(p)

W₂(p)

(-)

W₄(p)

В этом случае на вход звена одновременно с входной величиной через звено обратной связи W₄ (p) подается его выходная величина.

W_1,2,4(p) = W₁(p) + W₂(p) W₄(p) = * =

Подставим числовые значения:

W_1,2,4(p) = =

2. Последовательное соединение звеньев (звенья с передаточными функциями W₂(p), W_1.4(p), W₃(p)):

W_экв. = W_1,2,4(p) *W₃(p) = *

Подставим числовые значения:

W_экв. = = =

2. Находим передаточную функцию разомкнутой АСР:

W_р(p) = W_экв.(р) =

Находим передаточную функцию замкнутой АСР:

W_р(p) = = =

.

3. Определим устойчивость АСР по критерию Михайлова.

Передаточная функция замкнутой АСР имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение

Произведем замену в характеристическом уравнении оператора (р) комплексным числом (jω):

W(jω) =

-600jω³-330jω²+27 jω+1=0

Выделим из этого выражения мнимую и вещественную части:

вещественная часть U(ω) = 1- 330jω²;

мнимая часть V(ω) =27jω-600jω³= j(27ω-600 ω³)

Определяем значения мнимой и вещественной частей выражения при различных значениях ω (от 0до ∞).

Данные расчетов занесем в таблицу 1.

Таблица 1.

ω	0	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3
U(ω)	1	-2,3	-6,42	-12,2	-19,62	-28,7
V(ω)	0	2,1	2,02	0,6	-2,62	-8,1

U(ω):V(ω):

1- 330ω²= 1-330*0² =1; 27 ω-600 ω³=27 *0- 600*0³=0;

1- 330ω²= 1-330*0,1² = -2,3; 27 ω-600 ω³=27 *0,1-600*0,1³= 2,1;

1- 330ω²= 1-330*0,15² = -6,42; 27 ω-600 ω³=27 *0,15-600*0,15³=2,02;

1- 330ω²= 1-330*0,2² = -12,2; 27 ω-600 ω³=27 *0,2-600*0,2³= 0,6;

1- 330ω²= 1-330*0,25² = -19,62; 27 ω-600 ω³=27 *0,25-600*0,25³= -2,62

1-330ω²= 1-330*0,3² = -28,7; 27 ω-600 ω³=27 *0,3-600*0,3³= -8,1

На основании результатов таблицы 1 строим годограф Михайлова (график 1).

Данная система не устойчива, т.к. годограф направлен против часовой стрелки. АСР будет устойчива, если годограф вектора W(jω) в плоскости комплексного переменного при изменении ω от до обходит последовательно против часовой стрелки n- число квадрантов и не обращается в ноль.

1. Строим кривую переходного процесса замкнутой АСР методом трапецеидальных характеристик.

5.1 В передаточной функции замкнутой АСР заменим оператора р на

jω, получимАФХW(jω), знаменатель АФХ приводим к виду а+jb.

W(jω)= =

2. Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число вида а- jb.

W(jω) = =

=

2. Сгруппируем вещественные и мнимые члены АФХ так, чтобы W(jω)=U(ω)+jV(ω):

W(jω)=+

2. Выписываем вещественную часть U(ω)=f(ω) и строим график этой зависимости:

U(ω)=

Таблица 2.

ω	0	0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
U(ω)	1	1,3891	-14,545	-0,1428	0,2827	0,6912	1,5843	11,589

ω	0,7	0,8	0,9	1	1,5	2	2,5	3
U(ω)	-2,8555	-1,3695	-0,9293	-0,7145	-0,3512	-0,2397	-0,1836	-0,1493

5.5 Разбиваем площадь, заключенную между осями координат и вещественной характеристикой на трапеции таким образом, чтобы суммарная площадь трапеций была равна площади, описываемой вещественной характеристикой (Рис. 1)

5.6 В том же масштабе строим трапеции так, чтобы плюсовые площади их располагались выше абсцисс, а минусовые – ниже (рис. 2)

5.7 Составим таблицу характерных параметров трапеций с учетом знака ординат (для треугольника æ=0)

Таблица 3

№ трапеции	Ι	ΙΙ	ΙΙΙ	IV	V	VI
Ui(0)	-0,6	16,2	-14,6	-11,6	14,6	-3
ω^id(0)	0	0,05	0,1	0,4	0,6	0,7
ω^i0(0)	0,05	0,1	0,2	0,5	0,7	0,9
æ=ωd/ω0	0	0,5	0,5	0,8	0,86	0,77

Выполним проверку условия: U(0)=∑Uⁱ(0)

U(0)= - 0,6 + 16,2 - 14,6-11,6+14,6-3= 1

5.8 Для каждой трапеции составляем таблицу:

Таблица 4

UІ(0)= -0,6; æІ=0; ω^І0=0,05
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,31	0,571	0,755	0,856	0,895	0,903	0,904	0,911	0,925	0,939	0,947
τ	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220
h(τ)	0	-0,186	-0.343	-0,453	-0,514	-0,537	-0,542	-0,542	-0,547	-0,555	-0,563	-0,568
UІІ(0)= 16,2; æІІ=0,5; ω^ІІ0=0,1
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,461	0,831	1,061	1,141	1,117	1,051	0,992	0,966	0,968	0,982	0,993
τ	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110
h(τ)	0	7,468	13,462	17,188	18,484	18,095	17,026	16,070	15,649	15,681	15,908	16,087
UІІІ(0)= -14,6; æІІІ=0,5; ω^ІІІ0=0,2
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,461	0,831	1,061	1,141	1,117	1,051	0,992	0,966	0,968	0,982	0,993
τ	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
h(τ)	0	-6,730	-12,137	-15,490	-16,659	-16,308	-15,345	-14,483	-14,104	-14,133	-14,337	-14,498

UІV(0)= -11,6; æІV=0,8; ω^І^V0=0,5
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,547	0,957	1,154	1,156	1,053	0,949	0,911	0,944	1,006	1,049	1,048
τ	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
h(τ)	0	-6,345	-11,101	-13,386	-13,410	-12,215	-11,008	-10,568	-10,950	-11,670	-12,168	-12,157
UV(0)= 14,6; æV=0,86; ω^V0=0,7
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,561	0,974	1,162	1,150	1,036	0,934	0,909	0,955	1,023	1,059	1,044
τ	0	1,428	2,857	4,286	5,714	7,143	8,571	10	11,428	12,857	14,286	15,714
h(τ)	0	8,191	14,220	16,965	16,79	15,126	13,636	13,271	13,943	14,936	15,461	15,242
UVІ(0)= -3; æVІ=0,77; ω^V^І0=0,9
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
h(t)	0	0,534	0,938	1,143	1,161	1,069	0,956	0,917	0,936	0,990	1,036	1,047
τ	0	1,111	2,222	3,333	4,444	5,555	6,666	7,777	8,888	10	11,111	12,222
h(τ)	0	-1,602	-2,814	-3,429	-3,483	-3,207	-2,868	-2,751	-2,808	-2,97	-3,108	-3,141