Первичные изм. преобразователи. Часть 1

Электрическая схема позволяет электрические параметры пересчитать в механические. Связь между ними на схеме показана при помощи трансформатора связи. Все сопротивления, приведенные на схеме, зависят от частоты, а rп1, rп2 характеризуют потери на внутреннее трение. Трансформатор обладает небезразмерным коэффициентом трансформации.

4.6. Колебания стержня в электрическом поле, перпендикулярном его толщине. Поперечный пьезоэффект

Рассмотрим случай, когда стержень расположен так, что его длина направлена вдоль оси Y, толщина вдоль оси X, высота вдоль оси Z (рис.

4.6.1,а)

В этом случае электроды расположены перпендикулярно оси X, а толщина мала по сравнению с длиной стержня. Так как электроды являются эквипотенциальными поверхностями, в качестве электрических граничных условий примем условие постоянства поля. Тогда независимой переменной можно считать Е. В качестве второй независимой переменной примем величину напряжений δ, поскольку границы стержня являются свободными

.Уравнения пьезоэффекта запишем в виде

	E
εi = Sij		δ j + dmi Em ,				(4.6.1)
	= ε	δ		+ d δ
D			E		.
m	nm		m	mi	i

Направлением, в котором распространяется волна, является длина стержня, расположенная вдоль оси Y.

Площадь электродов можно найти из соотношения

Snm =bd.

(4.6.2)

Так как поле направлено вдоль оси Х, а волна распространяется вдоль оси Y, то

ε yy	E	+ d12 Ex
	= S22δ yy		,	(4.6.3)
D = ε δ E + d δ .
x	11 x	12 yy

160

Из первого уравнения определим δyy:

	δ		=	ε yy	−	d	E		(4.6.4)
		yy				12		.
				S E		S E
				22		22

Рис. 4.6.1. Стержень в электрическом поле, перпендикулярном его

толщине:

а – к общей постановке задачи; б – схема с учетом граничных условий; в – электромеханическая схема

Уравнение (4.6.4) подставим во второе уравнение системы получим

	D = ε δ		E		+ d	ε yy
				x		E
	x	11			12
						S22

Если учесть, что

	d12 Ey			ε11δ −	d 2
−			=		12	Ex
	E				E
	S22				S22

∂Dx = ε11ε ,

∂Ex

		d12
	+			ε yy .
		E
		S22

последнее уравнение можно записать следующим образом:

(4.6.3) и

(4.6.5)

(4.6.6)

161

D = ε δ		E		+	d12	ε		.	(4.6.7)
					S E
x	11		x				yy
				22

Так же, как и в случае продольного пьезоэффекта, для вывода одного уравнения движений воспользуемся законом Ньютона:

	¶2η				¶δ yy
ρ				=		.	(4.6.8)
	¶t	2			¶y

Уравнение движения получено из условия, что размеры стержня вдоль осей Z и X достаточно малы. Отсюда

δzz = δyz = δxz =0.

(4.6.9)

Аналогичное выражение можно записать и для напряжений вдоль оси X:

δxx = δxy = δxz =0.

(4.6.10)

Первую часть уравнения движения (4.6.8) определим из (4.6.4)

¶δ yy

=

1

×

¶ε yy

-

d

×

¶E

x

.

(4.6.11)

12

¶y

S22E

¶y

S22E

¶y

Второе слагаемое в уравнении (4.6.11) равно нулю, так как Ex = const. Уравнение движения (4.6.8) с учетом (4.6.11) можно представить виде

				¶2η	=	1	×	¶2η	,	(4.6.12)
				¶t 2		ρS22E		¶y2
где	¶ε yy	=	¶2η	;						(4.6.13)
	¶y		¶y2

η – смещение вдоль оси Y. Из уравнения (4.6.12) определяется скорость распространения волны вдоль оси Y:

	V δ =	1	.	(4.6.14)
		ρS E
		22

Как и в случае продольного пьезоэффекта решение уравнения (4.6.12) будем искать в виде

η =	A sin		W		y + A	cos	W		y	e jΩt .	(4.6.15)
		1	V	δ	2		V	δ

Так как нас интересуют только амплитудные значения всех переменных величин, множитель ejΩt можно отбросить. Зададимся граничными

162

условиями:

η		y=0 = -η1; δ yy				= -V1Z1 -		F
				y=0				1		,
								Scm			(4.6.16)
							F2
η		=η ; δ			= -V Z -				.
		y=d 2 yy	y=d			2 2	Scm

Уравнение (4.6.16) получены из условия, что на стержень падает акустическая волна, создавая давление на его поверхности (рис. 4.6.1.,б).

С учетом колебательной скорости Vi = j Ω ηi и граничных условий (4.6.16) из уравнения (4.6.15) можно определить A1 и A2. Общее решение может быть представлено в виде

η +η			cos	W		d sin		W	y
η =	1	2	V δ				V δ			.	(4.6.17)
			sin		W		d
					δ
				V

Воспользуемся уравнениями пезоэффекта (4.6.3) с учетом граничных условий на двух гранях стержня:

-V Z - F =

1

ε

S

-

d12 Scm

×

V

,

y=0

y=0

S22E

S22E

1 1

1

yy

cm

l

(4.6.18)

-V Z

2

- F =

1

ε

yy

S

cm

y=d

-

d12 Scm

×

V

.

E

2

2

E

l

y=d

S22

S22

Определим значение εyy, предварительно проделав те же математические операции, что и в случае продольного пьезоэффекта:

ε

=

1

- j

V +V

+ jV tg

W

y=0

1

2

d

,

yy

δ

W

2V δ

V

sin

d

1

V δ

(4.6.19)

ε yy

=

1

- j

V +V

+ jV2tg

W

y=d

1

2

d .

V

δ

W

2V

δ

sin

d

V δ

Если учесть, что

1

×

1

× Scm

=

1

× ρ (V δ )2

Scm = ρV δ Scm = Z0

V δ

S E

V δ

22

163

окончательно получим

- j

Z0

(V1

+V2 ) + jV1Z0tg

W

d +V1Z1 + F1

= ϕV ,

W

2V δ

sin

d

V δ

(4.6.20)

Z0

(V +V ) + jV Z tg

W

- j

d +V Z + F = ϕV .

W

2V δ

sin

1

2

2

0

2

2

2

d

V

δ

Выражение (4.6.20) сравним с (4.5.29) и (4.5.30). Найдем что при поперечном пьезоэффекте отсутствует слагаемое

j	ϕ 2	(V +V		) .	(4.6.21)
	1		2
	WCcm

Найдем выражение для тока, протекающего через пластину в случае поперечного пьезоэффекта:

d

I = b∫idy,

0

но

	¶δ		ε ε V		d
i =		= jWδ = jW	11	+	12	.
					E
	dt		l
					S22ε yy

Значение Dx берем из уравнения (4.6.7). Подставим (4.6.23) в получим

	d	ε				ε	d12b
I = jWb	V	ε11 +	d12	× ¶η	dy = jW	ε11bd V + jW		(η1 +η2 ).
	∫0	l S22E		dy		l	S22E

В этом случае выражения для емкости Ccr и φ будут иметь вид

(4.6.22)

(4.6.23)

(4.6.22) и

(4.6.24)

C =		ε ε bd			(4.6.25)
			11	;
	cr		l
ϕ =	d12 Scr		=	d12b	(4.6.26)
				S E
	S E l
22				22

так как S cr = b l.

Выражение (4.6.24) с учетом (4.6.25) и (4.6.26) может быть записано следующим образом:

I = jΩ Ccr V + φ(V1 + V2) .

(4.6.27)

164

Нетрудно видеть, что выражение для тока в случае поперечного пьезэффекта такое же, как и в случае продольного пьезоэффекта. Используя выражения (4.6.20) и (4.6.27), можно составить эквивалентную схему для поперечного пьезоэффекта (рис.4.6.1,в).

В эквивалентной схеме также отсутствует сопротивление, равное,

I 2 jΩCcr (V1 + V2 ) , в отличие от продольного пьезоэффекта, где присутствие его объясняется неравномерностью распределения поля.

4.7. Продольные колебания пластины по толщине

Рассмотрим пластину, боковые размеры которой l и b велики по сравнению с ее толщиной δ (рис.4.7.1.). Электроды наложены на большие грани, перпендикулярные оси Z. Можно считать, что по отношению к плоской волне, распространяющейся по толщине, пластина закреплена по боковым поверхностям, так как вдоль направлений l и b смещения отсутствуют. Учитывая, что индукция D3 = const, так как дD3/дz = 0, целесообразно принять уравнение пьезоэффекта с независимыми переменными D и S.

Рис.3.7.1. Пьезоэлектрическая пластина при продольном пьезоэффекте

В этом случае уравнения имеют вид

T = C D ∂ξ −		e33	D ;
3	33 ∂z ε s		3
	33

165

	E =	1	D -	e33	×	∂ξ .	(4.7.1)
		ε33s		ε33s
	3		3			¶z

Волновое уравнение для случая D = const

¶2ξ C D		¶2ξ	D2 ¶2ξ
¶t 2 =	33	× ¶z2 = C		(4.7.2)
	ρ		¶z2

его решение

ξ (z,t) = [ Asin(кz) + B cos(кz)]exp(iωt ) .

Используя граничные условия на свободных поверхностях z = δ), получим

C De D

δ

к

ξ (z,t) =

33

3

× sin(кz) - tg

cos(кz) .

ε

s D

33C33ω

2

(T3 =0 при z = 0 и

(4.7.3)

Разность

потенциалов

на

электродах

пластины

определяют

интегрирование второго уравнения (4.7.1)

δ

D

2

δ

C

e33

кδ

2

кδ

U = ∫ E3dz =

-

sin (кδ ) +

2tg

sin

D3 .

s

(ε s

)

2

C Dω

2

0

ε33

2

33

33

Сила тока через пластину I = iωblD3. Электрический импеданс

колебательной системы

1 - e2 tg

δ

δ

к

U

33

2

Z =

=

×

s

s

D

I

iωε

bl

2ε

C

кδ

33

33

33

или

1 - K 2 tg

δ

к

1

33

2

Z =

×

,

(4.7.4)

δ

iωC0

к

2

где

2

=

e2

(4.7.5)

33

K33

.

ε s C D

33

33

Из условия z = 0 получаем уравнение для определения резонансной

166

частоты

	0δ	ctg			0δ	= K 2 .
к				к			(4.7.6)
2			2			33

Максимум z будет на частоте антирезонанса, определяемой из уравнения

δ

C D

к

= π , откуда

fа =

.

0

2

2δ

Измерив частотыƒ 0 и ƒ а, можно рассчитать КЭМС

π f

π f

(4.7.7)

K332 =

0

ctg

0

.

2 fа

2 fа

Эквивалентная схема рассматриваемой пластины имеет вид,

представленной на

рис.4.4.2,

постоянные

d33

и

S D

заменяются

S E

33

33

соответственно на e33

и

I

, так что скорость звука CD

и коэффициент N

C D

33

трансформации определяют по выражениям

C D =

C33D

;

ρ

N =

e S

= K S

ε s C D

(4.7.8)

33

33

,

δ

δ

t

Рис. 4.7.2. Электромеханическая схема пьезоэлектрического стержня

при продольном пьезоэффекте

167

где ρ(rms) —

где K	t	= e	ε s C D	– КЭМС для колебаний по толщине параллельных
		33	33

направлению электрического поля.

4.8. Уровень звукового давления

Обычно уровень звукового давления в децибелах (дБ) определяют из уравнения

SPL = 20log	ρ(rms)			,	(4.8.1)
10	ρ	ref	(rms)

эффективное давление звука;

ρref (rms) — опорное давление звука, которое должно устанавливаться до проведения измерений.

Измерение уровня звукового давления включает в себя непосредственно определение давления на всех частотах звука, поэтому указанные уровни давления точно известны на этих частотах. Они представляют собой объективно существующие количественные величины. Однако громкость звука есть взвешенная величина: сигнал с выхода микрофона проходит через взвешивающую схему, которая выделяет составляющие сигнала определенных частот и подавляет составляющие других частот.

Цель этой операции заключается в том, чтобы приблизить измерения громкости звука в наибольшей степени к его субъективному восприятию человеческим ухом. Сами по себе измерения звукового давления не учитывают и не могут учитывать чувствительности человеческого уха. Характеристики взвешивающей схемы определяются национальными стандартами и обозначаются эталонными буквами (например А, В, С), чтобы их можно было использовать совместно с частотной характеристикой.

Измерители громкости звука и звукового давления выполняются в виде единого переносного блока, содержащего в себе взвешивающую схему,

168

предусилитель и дисплей.

4.9. Микрофоны, пьезоэлектрические микрофоны и гидрофоны Микрофоны

Звуковое давление изменяется в чрезвычайно широком диапазоне низких частот. Широка также и частотная характеристика звуковых колебаний. Поэтому чувствительные элементы преобразователей должны быть жесткими и иметь малую массу, а также небольшое отклонение. Обычно в микрофонах применяются чувствительные элементы в виде плоских диафрагм измерителей давления [2].

Наиболее распространенными типами микрофонов, используемых при звуковых измерениях, являются кристаллические (работающие на пьезоэлектрическом эффекте) и конденсаторные (работающие на емкостном эффекте).

Пьезоэлектрические микрофоны

Диафрагма микрофона механически связана с небольшой керамической пластинкой или кристаллом кварца и воздействует на них так, что появляющийся вследствие пьезоэлектрического эффекта выходной сигнал пропорционален звуку, падающему на диафрагму.

Довольно часто микрофоны оснащаются интегральными предусилителями, которые используются в качестве преобразователей сопротивления для того, чтобы получить более низкое выходное сопротивление (порядка 100— 1000 Ом), чем дает кристалл (мегаомы). Это позволяет инженеру обеспечить допустимый уровень помех в системах с длинными линиями передачи информации. Мощность для питания предусилителя может поступать от самой измерительной системы или от интегральной ячейки, расположенной в корпусе микрофона.

169