Первичные изм. преобразователи. Часть 1

Bϕcp = 0,351 x

r

	1	x 3			1
					.
		− 0,351*1/ 3
		r
	0				0

Рис. 2.3.2. Зависимость конструктивных коэффициентов от текущего

радиуса мембраны, деформаций

Рис. 2.3.3. Зависимость средних конструктивных коэффициентов

от величины используемой зоны

80

Bϕcp

= 0,351− 0,117 = 0,234 .

Аналогичные вычисления, проведенные для промежуточных величин использования зоны, позволили построить зависимость Вφ=f(∆x/∆r), где ∆x-текущая ширина используемой зоны (рис. 2.3.3). На том же рисунке

представлены зависимости В' = f(∆x/∆r) и В'' = f(∆x/∆r), вычисленные

rcp rcp

путем интегрирования выражения (2.2.15) для µ=0,3. В этих случаях вычисления производились и для случаев «переиспользования» зоны, когда ∆x/∆r > 1 (∆r — ширина рассматриваемой зоны). При полном использовании второй зоны, как видно из рис. 2.3.3, конструктивный коэффициент чувствительности В'rcp=0,24, а при полном использовании третьей зоны

коэффициент В'' = -0,35.

rcp

Следовательно, в рассматриваемой мембране как преобразователе давления в относительную деформацию имеющиеся три зоны деформаций характеризуются тем, что для каждой зоны в зависимости от полноты использования конструктивный коэффициент чувствительности может иметь разную величину и знак в пределах ±0,704. Следует заметить, что кривые конструктивных коэффициентов чувствительности дают характер распределения напряжений в мембране, находящейся под давлением.

Изложенное выше позволяет написать функцию преобразования и чувствительность мембранного упругого элемента, преобразующего давление в деформацию:

ε =	B		MP	r 2		p ;	(2.3.5)
		Eh		2
S MP =		BMP r 2				,	(2.3.6)
			Eh2

где ВМР — конструктивный коэффициент чувствительности мембраны к давлению; r и h — радиус и толщина мембраны соответственно; Е — модуль упругости материала мембраны.

Если мембрана является преобразователем давления в перемещение, то чаще всего используется перемещение центра мембраны. Функция

81

преобразования для этого случая

δ = 0,17r 4

Eh3 P .

Собственная частота колебаний этого упругого элемента не зависит от входной величины и поэтому определяется выражением (2.3.15).

Мембрана постоянного сечения. Под действием приложенной силы F в мембране возникают изгибающие моменты в радиальном и меридиональном сечениях мембраны

M r =		F		(1 + μ )ln	r	− 1 ;
		4π			x
M ϕ =		F		(1 + μ )ln	r	− μ	,
		4π			x
где Mr – изгибающий момент в радиальном сечении; Mφ – изгибающий

момент в меридиональном сечении; F – приложенное к мембране усилие; r – радиус мембраны; x – текущая координата радиуса; µ – коэффициент Пуассона.

Под действием этих моментов возникают соответственно радиальные и окружные напряжения, максимальное значение которых

σ r = ± 6M2 r ;

h

σ ϕ = ± 6M ϕ ,

h2

где h – толщина мембраны.

Решая приведенные уравнения попарно и используя закон Гука, найдем зависимость между приложенной силой и соответствующими деформациями (функцию преобразования мембраны).

Для радиальных деформаций

	0,478			2		r
ε r =			(1 − μ		) ln		− 1 F = Sr F ,	(2.3.7)
	Eh	2				x

где Sr — чувствительность мембраны при использовании радиальных деформаций;

82

для окружных деформаций

εϕ	=	0,478	(1 − μ 2 )ln	r	F = Sϕ F ,	(2.3.8)
		2
		Eh		x

где Sϕ — чувствительность мембраны при использовании окружных деформаций.

Как видно из (2.3.7) и (2.3.8), чувствительность мембраны определяется геометрическими размерами, модулем упругости мембраны и коэффициентом Пуассона. Ее величина зависит от того, какая деформация используется в качестве рабочей (выходной) величины, и от величины текущего радиуса.

Обозначим

	Br	= 0,478(1 − μ 2 ) ln		r		− 1	;	(2.3.9)
				x
	Bϕ = 0,478(1− μ 2 )ln		r					(2.3.10)
			x

и назовем величины Вr и Вφ, аналогично предыдущему, конструктивными коэффициентами чувствительности соответственно в радиальном и окружном направлениях.

Зависимость этих коэффициентов для µ=0,3, рассчитанная по формулам (2.3.9) и (2.3.10), представлена на рис. 2.3.4. Конструктивные коэффициенты чувствительности в центре мембраны имеют бесконечное значение. Но, поскольку вычисление их производилось по формулам, выведенным для элементарной теории изгиба круглой пластинки, и использование зоны мембраны вблизи точки приложения силы практически затруднено, значения Вr и Вφ будем рассматривать в пределах x/r =0,05-1,00.

В этих пределах, как показывает график рис. 2.3.4, оба коэффициента с увеличением относительного радиуса мембраны уменьшаются нелинейно. Коэффициент Вφ со значением 1,31 при х/r = 0,05 уменьшается до нуля в точке заделки мембраны (х/r = 1). Коэффициент Вr уменьшается от значения 0,876 до -0,434, переходя через нуль при х/r = 0,369.

83

Рис. 2.3.4. Зависимость конструктивных

коэффициентов чувствительности от радиуса мембраны

Как и в случае кольцевого упругого элемента, представляют интерес средние значения конструктивных коэффициентов чувствительности мембраны. Их можно получить из графиков рис. 2.3.4, либо интегрируя функции Вφ и Вr в соответствующих пределах, либо графически нахождением площади, ограниченной кривой и заданными участками абсцисс.

На рис. 2.3.5 представлена зависимость средних коэффициентов чувствительности мембраны от относительного использования зоны деформаций хδ/2 ∆r, где хδ — длина используемой зоны деформации; ∆r— ширина зоны деформации.

Для коэффициента В'φ ширина зоны деформации ∆r = х, для коэффициента В'r ∆r=0,369 х и для В"r = 0,631 х, причем увеличение зоны использования производилось с зоны, соответствующей максимальным значениям конструктивных коэффициентов чувствительности.

Графики рис. 2.3.5 показывают, что конструктивные коэффициенты чувствительности мембраны с увеличением зоны использования уменьшаются и при полном использовании зоны составляют В'φср = 0,47,

В'rср = 0,37 и В"rср =0,18.

84

Таким образом, при использовании для работы окружных напряжений в мембранном упругом элементе имеется одна зона деформаций, конструктивный коэффициент чувствительности в которой может иметь значения от 0 до 1,31. При использовании радиальных напряжений в мембране имеются две зоны деформаций. Одна зона лежит в пределах х/r = 0,05÷0,369 и конструктивный коэффициент чувствительности в этой зоне изменяется в пределах от 0 до 0,876.

Рис.2.3.5 Зависимость средних коэффициентов чувствительности

мембраны от относительно использования зоны деформации

Другая зона лежит в пределах х/r =0,369÷l,0. В этой зоне конструктивный коэффициент чувствительности может иметь отрицательные значения от 0

до -0,434.

Таким образом, функция преобразования мембраны может быть представлена в общем виде:

	B	M
ε =			F	(2.3.11)
Eh 2

	откуда ее чувствительность
	S =	BM	,	(2.3.12)
		Eh2

где ВМ — конструктивный коэффициент чувствительности мембраны; h — толщина мембраны; E— модуль упругости материала мембраны.

Величина и знак ВМ определяются зоной деформации и относительной

85

шириной использования этой зоны. Знак конструктивного коэффициента зависит также от того, какая поверхность мембраны (верхняя или нижняя) используется для работы. В зависимости от этого величина ВМ может быть определена из графиков рис. 2.3.4 и 2.3.5. Как и в предыдущих случаях, конструктивные коэффициенты являются пропорциональными напряжениям. Поэтому кривые рис. 2.3.4 показывают распределение напряжений в мембране, а кривые рис. 2.3.5 дают возможность определить средние напряжения каждой зоны деформации. При использовании в качестве выходной величины перемещения представляет интерес зависимость прогиба центра мембраны от приложенной силы. Этот прогиб при µ = 0,3

	δ = 0,217	r 2	F
		Eh3
			(2.3.13)

зависит от радиуса мембраны, тогда как при использовании в качестве выходной величины деформации она от радиуса не зависит. Для определения собственной частоты в направлении действия силы воспользуемся соотношением

	f0	=	10,21		H
			2πr 2		mv h	,	(2.3.14)
	где H=Eh2/12(1-µ2) - цилиндрическая жесткость						мембраны; mv — масса

единицы объема мембраны; r - радиус мембраны. Заменяя mv,- на плотность материала, подставляя значение Н и производя соответствующие преобразования и вычисления, получим для µ=0,3

f		=	0,492h		E
	0		r 2		ρ .		(2.3.15)

Как видно из (2.3.15), и в этом случае характеристики материала упругого элемента так же, как и в предыдущих случаях, влияют на собственную частоту. Выбор геометрических размеров мембраны позволяет в широких пределах варьировать собственной частотой мембраны. Совместное рассмотрение выражений (2.3.14) и (2.3.15) показывает, что рекомендации по

86

выбору материала упругого элемента совпадают с рекомендациями, данными для стержневого и кольцевого упругих элементов. Влияние толщины мембраны на чувствительность и собственную частоту колебания такое же как влияние толщины на эти параметры в кольцевом упругом элементе. Однако радиус мембраны определяет только собственную частоту, не влияя на чувствительность, и поэтому при проектировании таких упругих элементов заданную величину собственной частоты можно обеспечить соответствующим выбором радиуса мембраны.

Таким образом, функции преобразования и чувствительность наиболее распространенных конструкций упругих элементов, преобразующих давление в деформацию, определяются конструктивными размерами и параметрами материала упругого элемента; чувствительность зависит также от конструктивного коэффициента чувствительности, который необходимо выбирать в зависимости от конструкции упругого элемента и вида используемых в работе деформаций. Собственная частота упругих элементов определяется характеристиками материала и размерами упругого элемента.

Для удобства анализа и использования аналитические выражения чувствительности и собственной частоты рассматриваемых упругих элементов сведены в табл. 2.2.

Как видно из этой таблицы, наибольшими возможностями варьирования чувствительностью обладает мембрана. В этом упругом элементе чувствительность прямо пропорциональна квадрату отношения продольного размера к поперечному, тогда как в других элементах она пропорциональна первой степени этого отношения. Поэтому мембрану выгодно применять для построения ряда датчиков на различные пределы измерения. Незначительным диапазоном изменения отношения размеров можно перекрыть значительный диапазон изменения чувствительностей. Кроме того, мембрана отличается от других упругих элементов еще двумя существенными преимуществами.

Первое – это прямолинейность рабочих поверхностей, что делает ее

87

достаточно технологичной в изготовлении и облегчает использование деформаций всех зон. Второе заключается в том, что при прочих равных условиях мембрана имеет наибольшее значение собственной частоты по сравнению с другими элементами. Благодаря таким преимуществам мембрана как упругий элемент, преобразующий давление в относительную деформацию, получила широкое распространение при построении датчиков давления. Прямолинейность рабочей поверхности определила также использование мембраны для изготовления полупроводниковых датчиков давления.

Конусные, полусферические и цилиндрические оболочки как упругие элементы применяют для построения специальных датчиков давления, когда использование мембраны исключено требованиями конструкции объекта измерения, в частности требованиями к прочности. Наиболее полно этим требованиям удовлетворяет полусферический упругий элемент, так как в нем наименьшая разность между минимальными и максимальными напряжениями.

88

89

Параметры некоторых преобразователей давления

Таблица 2.2

Тип

упругого Чувстви-

Пределы

Собственная частота

Общее

элемента

тельность

изменения

Частное выражение

выражение

0,246

B

r 2

E

0,492h

E

MP

0,351-0,704

r

ρ

r 2

ρ

h 2 E

при h = 0,5r

0,196-0,506

0,143

BKPl

0,32

E

cosα

E

при

r

ρ

hE

l

ρ

α =26,50

при l = 2r

BШ r

0,224

E

0,224

E

0,35-0,494

r

ρ

r

ρ

hE

0,093

BЦ r

0,32

E

E

r

ρ

0,2-0,87

ρ

2rl + 2l 2

hE

при l = 2r